ຕົວຢ່າງຄຳຖາມ ແລະ ການສົນທະນາກ່ຽວກັບເວັກເຕີສາມມິຕິໃນລະບົບພິກັດຄາທີຊຽນ
ເວັກເຕີສາມມິຕິແມ່ນແນວຄວາມຄິດທີ່ສຳຄັນໃນຄະນິດສາດ ແລະ ຟີຊິກສາດ, ມັກໃຊ້ເພື່ອເປັນຕົວແທນຂອງວັດຖຸ ຫຼື ປະກົດການໃນພື້ນທີ່ສາມມິຕິ. ໃນລະບົບພິກັດຄາທີຊຽນ, ເວັກເຕີເຫຼົ່ານີ້ຖືກສະແດງໂດຍສາມອົງປະກອບ, ໂດຍປົກກະຕິແລ້ວຈະໝາຍເປັນ \( (x, y, z) \). ບົດຄວາມນີ້ຈະປຶກສາຫາລືກ່ຽວກັບບັນຫາຕົວຢ່າງ ແລະ ວິທີແກ້ໄຂຫຼາຍຢ່າງທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບເວັກເຕີສາມມິຕິໃນລະບົບພິກັດຄາທີຊຽນ.
ເຂົ້າໃຈເວັກເຕີສາມມິຕິ
ເວັກເຕີໃນພື້ນທີ່ສາມມິຕິສາມາດສະແດງເປັນ \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\), ບ່ອນທີ່:
- \(A_x\) ແມ່ນອົງປະກອບເວັກເຕີຕາມແກນ x.
- \(A_y\) ແມ່ນອົງປະກອບເວັກເຕີຕາມແກນ y.
- \(A_z\) ແມ່ນອົງປະກອບເວັກເຕີຕາມແກນ z.
Contoh Soal ແລະ Pembahasan
ຄຳຖາມທີ 1: ການດຳເນີນການບວກເວັກເຕີ
ໃຫ້ສອງເວັກເຕີ, \(\mathbf{A} = (2, -3, 4)\) ແລະ \(\mathbf{B} = (-1, 5, 2)\). ຈົ່ງຄິດໄລ່ຜົນບວກຂອງສອງເວັກເຕີເຫຼົ່ານີ້.
ເປບບາຮາຊານ:
ການເພີ່ມສອງເວັກເຕີ \(\mathbf{A}\) ແລະ \(\mathbf{B}\) ແມ່ນເຮັດໄດ້ໂດຍການເພີ່ມອົງປະກອບທີ່ສອດຄ້ອງກັນຂອງພວກມັນ. ດັ່ງນັ້ນ, ພວກເຮົາມີ:
\[
\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y, A_z + B_z)
\]
ແທນຄ່າເວັກເຕີທີ່ກຳນົດໃຫ້:
\[
\mathbf{C} = (2 + (−1), -3 + 5, 4 + 2) = (1, 2, 6)
\]
ສະນັ້ນ, ຜົນຂອງການເພີ່ມເວັກເຕີ \(\mathbf{A}\) ແລະ \(\mathbf{B}\) ແມ່ນ \(\mathbf{C} = (1, 2, 6)\).
ຄຳຖາມທີ 2: ການດຳເນີນງານການລົບເວັກເຕີ
ໃຫ້ສອງເວັກເຕີ, \(\mathbf{A} = (4, 1, -2)\) ແລະ \(\mathbf{B} = (5, -3, 6)\). ຈົ່ງຄິດໄລ່ການລົບຂອງສອງເວັກເຕີເຫຼົ່ານີ້, ຄື \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\).
ເປບບາຮາຊານ:
ການລົບສອງເວັກເຕີ \(\mathbf{A}\) ແລະ \(\mathbf{B}\) ແມ່ນເຮັດໄດ້ໂດຍການລົບອົງປະກອບທີ່ສອດຄ້ອງກັນຂອງພວກມັນ. ດັ່ງນັ້ນ, ພວກເຮົາມີ:
\[
\mathbf{D} = \mathbf{A} – \mathbf{B} = (A_x – B_x, A_y – B_y, A_z – B_z)
\]
ແທນຄ່າເວັກເຕີທີ່ກຳນົດໃຫ້:
\[
\mathbf{D} = (4–5, 1–(3), −2–6) = (−1, 4, −8)
\]
ສະນັ້ນ, ຜົນຂອງການຫັກເວັກເຕີ \(\mathbf{A}\) ແລະ \(\mathbf{B}\) ແມ່ນ \(\mathbf{D} = (-1, 4, -8)\).
ຄຳຖາມທີ 3: ການດຳເນີນງານຄູນສະເກລາ
ໃຫ້ເວັກເຕີ \(\mathbf{A} = (3, -2, 7)\) ແລະ ສະເກລາ \(k = 4\). ຄິດໄລ່ຜົນຄູນສະເກລາຂອງເວັກເຕີເຫຼົ່ານີ້.
ເປບບາຮາຊານ:
ການຄູນສະເກລາ \(k\) ດ້ວຍເວັກເຕີ \(\mathbf{A}\) ແມ່ນເຮັດໄດ້ໂດຍການຄູນແຕ່ລະອົງປະກອບຂອງເວັກເຕີດ້ວຍສະເກລານັ້ນ. ດັ່ງນັ້ນ, ພວກເຮົາມີ:
\[
{\mathbf{E} = k\cdot {\mathbf{A}} = k\cdot (A_x, A_y, A_z) = (k\cdot A_x, k\cdot A_y, k\cdot A_z)
\]
ແທນຄ່າທີ່ກຳນົດໃຫ້:
\[
\mathbf{E} = 4 \cdot (3, -2, 7) = (4 \cdot 3, 4 \cdot -2, 4 \cdot 7) = (12, -8, 28)
\]
ສະນັ້ນ, ຜົນຂອງການຄູນສະເກລາ \(k\) ດ້ວຍເວັກເຕີ \(\mathbf{A}\) ແມ່ນ \(\mathbf{E} = (12, -8, 28)\).
ຄຳຖາມທີ 4: ຄວາມຍາວຂອງເວັກເຕີ
ຄິດໄລ່ຄວາມຍາວ (ຂະໜາດ) ຂອງເວັກເຕີ \(\mathbf{A} = (1, 2, 2)\).
ເປບບາຮາຊານ:
ຄວາມຍາວ ຫຼື ຂະໜາດຂອງເວັກເຕີ \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) ສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ໂດຍໃຊ້ສູດ:
\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}
\]
ແທນຄ່າທີ່ກຳນົດໃຫ້:
\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
\]
ສະນັ້ນ, ຄວາມຍາວຂອງເວັກເຕີ \(\mathbf{A}\) ແມ່ນ 3.
ຄຳຖາມທີ 5: ຜົນຄູນຈຸດ
ໃຫ້ສອງເວັກເຕີ, \(\mathbf{A} = (1, 0, -1)\) ແລະ \(\mathbf{B} = (2, 3, 4)\). ຈົ່ງຄິດໄລ່ຜົນຄູນຈຸດຂອງສອງເວັກເຕີເຫຼົ່ານີ້.
ເປບບາຮາຊານ:
ຜົນຄູນຈຸດຂອງສອງເວັກເຕີ \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) ແລະ \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) ແມ່ນເຮັດໄດ້ໂດຍການຄູນອົງປະກອບທີ່ສອດຄ້ອງກັນ ແລະ ຈາກນັ້ນບວກພວກມັນເຂົ້າກັນ. ດັ່ງນັ້ນ, ພວກເຮົາມີ:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z
\]
ແທນຄ່າທີ່ກຳນົດໃຫ້:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (1 \cdot 2) + (0 \cdot 3) + (−1 \cdot 4) = 2 + 0 − 4 = −2
\]
ສະນັ້ນ, ຜົນຄູນຂອງເວັກເຕີ \(\mathbf{A}\) ແລະ \(\mathbf{B}\) ແມ່ນ -2.
ຄຳຖາມທີ 6: ຜົນຄູນຂ້າມ
ໃຫ້ສອງເວັກເຕີ, \(\mathbf{A} = (1, 2, 3)\) ແລະ \(\mathbf{B} = (4, 5, 6)\). ຈົ່ງຄິດໄລ່ຜົນຄູນຕັດຂອງສອງເວັກເຕີເຫຼົ່ານີ້.
ເປບບາຮາຊານ:
ຜົນຄູນຕັດຂອງສອງເວັກເຕີ \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) ແລະ \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) ແມ່ນເຮັດໄດ້ໂດຍໃຊ້ສູດຕໍ່ໄປນີ້:
\[
\mathbf{A} \ຄູນ \mathbf{B} = \left( (A_y \cdot B_z – A_z \cdot B_y), (A_z \cdot B_x – A_x \cdot B_z), (A_x \cdot B_y – A_y \cdot B_x) \right)
\]
ແທນຄ່າທີ່ກຳນົດໃຫ້:
\[
\mathbf{A} \ຄູນ \mathbf{B} = \left( (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5), (3 \cdot 4 – 1 \cdot 6), (1 \cdot 5 – 2 \cdot 4) \right) = (12 – 15, 12 – 6, 5 – 8) = (-3, 6, -3)
\]
ສະນັ້ນ, ຜົນຄູນຕັດຂອງເວັກເຕີ \(\mathbf{A}\) ແລະ \(\mathbf{B}\) ແມ່ນ \(\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (-3, 6, -3)\).
ສະຫຼຸບ
ເວັກເຕີສາມມິຕິໃນລະບົບພິກັດຄາທີຊຽນແມ່ນເຄື່ອງມືທີ່ສຳຄັນໃນສາຂາວິທະຍາສາດ ແລະ ວິສະວະກຳຕ່າງໆ. ຜ່ານຕົວຢ່າງ ແລະ ການສົນທະນາຂ້າງເທິງ, ພວກເຮົາໄດ້ເຫັນວິທີການປະຕິບັດການພື້ນຖານຕ່າງໆໃນເວັກເຕີ, ເຊັ່ນ: ການບວກ, ການລົບ, ການຄູນສະເກລາ, ແລະ ຜົນຄູນຈຸດ ແລະ ຜົນຄູນຕັດກັນ. ຄວາມເຂົ້າໃຈທີ່ໜັກແໜ້ນກ່ຽວກັບແນວຄວາມຄິດເຫຼົ່ານີ້ຈະມີຄຸນຄ່າບໍ່ພຽງແຕ່ໃນຄະນິດສາດເທົ່ານັ້ນ ແຕ່ຍັງໃນການນຳໃຊ້ຕົວຈິງໃນຟີຊິກ, ວິສະວະກຳ, ແລະ ວິທະຍາສາດຄອມພິວເຕີ.
