ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ່ສົນທະນາກ່ຽວກັບຄວາມແปรປ່ວນ ແລະ ຄວາມຜັນຜວນມາດຕະຖານຂອງຂໍ້ມູນດ່ຽວ

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມ ແລະ ການສົນທະນາ: ຄວາມແปรປ່ວນ ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານຂອງຂໍ້ມູນດຽວ

ສະຖິຕິແມ່ນສາຂາໜຶ່ງຂອງຄະນິດສາດທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບການເກັບກຳ, ການວິເຄາະ, ການຕີຄວາມ, ການນຳສະເໜີ ແລະ ການຈັດລະບຽບຂໍ້ມູນ. ສອງແນວຄວາມຄິດທີ່ສຳຄັນໃນສະຖິຕິແມ່ນຄວາມແปรປ່ວນ ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ. ບົດຄວາມນີ້ຈະປຶກສາຫາລືຢ່າງລະອຽດກ່ຽວກັບວິທີການຄິດໄລ່ຄວາມແปรປ່ວນ ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານຂອງຊຸດຂໍ້ມູນດຽວຜ່ານບັນຫາຕົວຢ່າງຫຼາຍຢ່າງ.

ເຂົ້າໃຈຄວາມແปรປ່ວນ ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ

ຄວາມແปรປ່ວນແມ່ນມາດຕະການທີ່ວັດແທກວ່າຕົວເລກໃນຊຸດຂໍ້ມູນມີຄວາມກະຈາຍອອກໄປໄກເທົ່າໃດຈາກຄ່າສະເລ່ຍ ຫຼື ຄ່າສະເລ່ຍ. ຄວາມແปรປ່ວນແມ່ນສະແດງອອກເປັນຫົວໜ່ວຍກຳລັງສອງຂອງຂໍ້ມູນຕົ້ນສະບັບ, ເຊິ່ງມັກຈະເຮັດໃຫ້ມັນຍາກທີ່ຈະຕີຄວາມໝາຍ.

ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານແມ່ນຮາກຂັ້ນສອງຂອງຄວາມແปรປ່ວນ. ມັນໃຫ້ການວັດແທກທີ່ເຂົ້າໃຈງ່າຍກວ່າວ່າຂໍ້ມູນໂດຍທົ່ວໄປມີຄວາມບ່ຽງເບນຈາກຄ່າສະເລ່ຍຫຼາຍປານໃດ ເພາະວ່າຫົວໜ່ວຍຂອງມັນຄືກັນກັບຫົວໜ່ວຍຕົ້ນສະບັບຂອງຂໍ້ມູນ.

ສູດທົ່ວໄປ

ສຳລັບຂໍ້ມູນດຽວ, ສູດສຳລັບຄວາມແปรປ່ວນ \( \sigma^2 \) ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ \( \sigma \) ຂອງປະຊາກອນມີດັ່ງນີ້:

1. ຄວາມແປປ່ວນ (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)

2. ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ (σ):
\( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)

ຢູ່ໃສ:
– \( N \) ແມ່ນຈຳນວນຂໍ້ມູນໃນປະຊາກອນ.
- \( x_i \) ແມ່ນຄ່າຂໍ້ມູນ ith.
– \( \mu \) ແມ່ນ ຄ່າສະເລ່ຍ ຫຼື ຄ່າສະເລ່ຍຂອງຂໍ້ມູນ.

ຖ້າພວກເຮົາຄິດໄລ່ຄວາມແปรປ່ວນ ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານຂອງຕົວຢ່າງ, ສູດຂ້າງເທິງນີ້ຈະຖືກດັດແປງເລັກນ້ອຍ:

1. ຕົວຢ່າງຄວາມແປປ່ວນ (s²):
\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)

2. ຕົວຢ່າງຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ:
\( s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – x)^2} \)

ຢູ່ໃສ:
– \( n \) ແມ່ນຈຳນວນຂໍ້ມູນໃນຕົວຢ່າງ.
– \( \bar{x} \) ແມ່ນ ຄ່າສະເລ່ຍ ຫຼື ຄ່າສະເລ່ຍຂອງຕົວຢ່າງ.

Contoh Soal ແລະ Pembahasan

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 1:

ໂດຍໃຫ້ຂໍ້ມູນຕໍ່ໄປນີ້:
8, 10, 10, 10, 12, 14

ຄິດໄລ່ຄ່າຄວາມແปรປ່ວນ ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານຂອງຂໍ້ມູນ!

ຂັ້ນຕອນການແກ້ໄຂ:

1. ການຄິດໄລ່ຄ່າສະເລ່ຍ (ຄ່າສະເລ່ຍ) \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]

2. ຄິດໄລ່ຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງຂໍ້ມູນ ແລະ ຄ່າສະເລ່ຍ, ຈາກນັ້ນຍົກກຳລັງສອງ:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]

3. ການເພີ່ມຜົນໄດ້ຮັບທັງໝົດທີ່ກຳລັງສອງ:
\[
\sum (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]

4. ການຄິດໄລ່ຄວາມແปรປ່ວນ (σ²) ຂອງຂໍ້ມູນປະຊາກອນ:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]

ໝາຍເຫດ: ເນື່ອງຈາກຂໍ້ມູນນີ້ຖືກລະບຸເປັນຂໍ້ມູນປະຊາກອນ, ພວກເຮົາຫານດ້ວຍ 6.

5. ການຄິດໄລ່ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ (σ):
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \ປະມານ 1.886
\]

ດັ່ງນັ້ນ, ຄວາມແปรປ່ວນຂອງຂໍ້ມູນແມ່ນ 3.559 ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານແມ່ນ 1.886.

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 2:

ໂດຍໃຫ້ຂໍ້ມູນຕົວຢ່າງຕໍ່ໄປນີ້:
5, 6, 8, 9, 10, 11

ຄິດໄລ່ຄ່າຄວາມແปรປ່ວນ ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານຂອງຕົວຢ່າງ!

ຂັ້ນຕອນການແກ້ໄຂ:

1. ການຄິດໄລ່ຄ່າສະເລ່ຍ (ຄ່າສະເລ່ຍ) \( \bar{x} \):
\[
x = 5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = 49}{6} = 8.167
\]

2. ຄິດໄລ່ຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງຂໍ້ມູນ ແລະ ຄ່າສະເລ່ຍ, ຈາກນັ້ນຍົກກຳລັງສອງ:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]

3. ການເພີ່ມຜົນໄດ້ຮັບທັງໝົດທີ່ກຳລັງສອງ:
\[
ຜົນລວມ (x_i – x)^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]

4. ການຄິດໄລ່ຄວາມແປປ່ວນຂອງຕົວຢ່າງ (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]

ໝາຍເຫດ: ເນື່ອງຈາກນີ້ແມ່ນຂໍ້ມູນຕົວຢ່າງ, ພວກເຮົາຫານດ້ວຍ 5 (n-1).

5. ການຄິດໄລ່ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ (standard deviation):
\[
s = 5.351 x 2.313
\]

ສະນັ້ນ, ຄວາມແปรປ່ວນຂອງຂໍ້ມູນຕົວຢ່າງແມ່ນ 5.351 ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານແມ່ນ 2.313.

ສະຫຼຸບ

ການຄິດໄລ່ຄວາມແปรປ່ວນ ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານແມ່ນມີຄວາມສຳຄັນຫຼາຍຕໍ່ການເຂົ້າໃຈວ່າຂໍ້ມູນກະຈາຍຢູ່ພາຍໃນຊຸດທີ່ກຳນົດໃຫ້ແນວໃດ. ໃນຂະນະທີ່ຄວາມແปรປ່ວນໃຫ້ມາດຕະການທາງທິດສະດີຂອງການກະຈາຍຕົວເປັນກຳລັງສອງຂອງຫົວໜ່ວຍຕົ້ນສະບັບ, ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານຕີຄວາມມາດຕະການຂອງການກະຈາຍຕົວໃນແງ່ຂອງຫົວໜ່ວຍຕົ້ນສະບັບຂອງຂໍ້ມູນ, ເຮັດໃຫ້ມັນງ່າຍຕໍ່ການເຂົ້າໃຈ. ໃນການວິເຄາະຂໍ້ມູນ, ສອງມາດຕະການນີ້ມັກຖືກນຳໃຊ້ເພື່ອປະເມີນຄວາມແปรປ່ວນຂອງຂໍ້ມູນ ແລະ ຕັດສິນໃຈທາງສະຖິຕິ.

ໂດຍການເຂົ້າໃຈຂັ້ນຕອນ ແລະ ສູດທີ່ຈຳເປັນ, ພວກເຮົາສາມາດຄິດໄລ່ຄ່າແปรປ່ວນ ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານໄດ້ຢ່າງງ່າຍດາຍສຳລັບສະຖານະການຕ່າງໆທີ່ພວກເຮົາພົບໃນການເກັບກຳ ແລະ ການວິເຄາະຂໍ້ມູນປະຈຳວັນ. ຫວັງວ່າບົດຄວາມນີ້ຈະໃຫ້ຄວາມເຂົ້າໃຈທີ່ເລິກເຊິ່ງກວ່າກ່ຽວກັບແນວຄວາມຄິດຂອງຄ່າແปรປ່ວນ ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານໃນຊຸດຂໍ້ມູນດຽວ.