ຕົວຢ່າງຄຳຖາມ ແລະ ການສົນທະນາກ່ຽວກັບອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິ
ອະນຸພັນແມ່ນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານໃນແຄລຄູລັສ, ເຊິ່ງມັກໃຊ້ເພື່ອອະທິບາຍອັດຕາການປ່ຽນແປງຂອງຟັງຊັນ. ໃນກໍລະນີຂອງຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິ, ອະນຸພັນຊ່ວຍໃຫ້ພວກເຮົາເຂົ້າໃຈວ່າການປ່ຽນແປງຂອງມຸມມີຜົນກະທົບຕໍ່ຄ່າຂອງຟັງຊັນແນວໃດ. ໃນບົດຄວາມນີ້, ພວກເຮົາຈະປຶກສາຫາລືບັນຫາຕົວຢ່າງ ແລະ ວິທີແກ້ໄຂທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິ.
ການແນະນຳກ່ຽວກັບຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິ
ຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິຫຼັກໆທີ່ໃຊ້ທົ່ວໄປປະກອບມີ sine (sin), cosine (cos), tangent (tan), secant (sec), cosecant (cosec), ແລະ cotangent (cot). ແຕ່ລະຟັງຊັນມີອະນຸພັນສະເພາະ:
1. \( \frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x) \)
2. \( \frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x) \)
3. \( \frac{d}{dx} \tan(x) = \ວິນາທີ^2(x) \)
4. \( \frac{d}{dx} \ວິນາທີ(x) = \ວິນາທີ(x) \tan(x) \)
5. \( \frac{d}{dx} \csc(x) = -\csc(x) \cot(x) \)
6. \( \frac{d}{dx} \cot(x) = -\csc^2(x) \)
ດ້ວຍຄວາມເຂົ້າໃຈພື້ນຖານນີ້, ພວກເຮົາສາມາດກ້າວໄປສູ່ບັນຫາ ແລະ ວິທີແກ້ໄຂຕົວຢ່າງທີ່ເລິກເຊິ່ງກວ່າ.
ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 1: ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນໄຊນ໌
ດິນ
ຊອກຫາອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນ f(x) = 3\sin(x)\).
ວິທີແກ້ໄຂ
ເພື່ອຊອກຫາອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນ \( f(x) = 3\sin(x)\), ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ກົດພື້ນຖານຂອງອະນຸພັນພ້ອມທັງຄ່າຄົງທີ່ໃນແຄລຄູລັສ. ອະນຸພັນຂອງ \( \sin(x)\) ແມ່ນ \( \cos(x)\).
\[
f'(x) = 3 ψψψητα d}{dx} ψψψητα (x) = 3 ψψψητα (x)
\]
ສະນັ້ນ, ອະນຸພັນຂອງ f(x) = 3\sin(x)\) ແມ່ນ \(3\cos(x)\).
ຕົວຢ່າງທີ 2: ການລວມກັນຂອງຟັງຊັນໄຊນ໌ ແລະ ໂຄໄຊນ໌
ດິນ
ຊອກຫາອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນ g(x) = 2\sin(x) + 4\cos(x)\).
ວິທີແກ້ໄຂ
ເພື່ອຊອກຫາອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນ g(x) = 2\sin(x) + 4\cos(x)\), ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ກົດອະນຸພັນພື້ນຖານ ແລະ ລະບຸອະນຸພັນແຕ່ລະອັນຂອງ \(\sin(x)\) ແລະ \(\cos(x)\).
\[
g'(x) = 2 x \cdot \frac{d}{dx} \sin(x) + 4 x \cdot \frac{d}{dx} \cos(x)
\]
ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ:
\[
\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x)
\]
\[
\frac{d}{dx} \cos(x) = -sin(x)
\]
ດັ່ງນັ້ນ:
\[
g'(x) = 2 \cos(x) + 4(-\sin(x)) = 2\cos(x) – 4\sin(x)
\]
ສະນັ້ນ, ອະນຸພັນຂອງ g(x) = 2\sin(x) + 4\cos(x)\) ແມ່ນ 2\cos(x) – 4\sin(x)\).
ຕົວຢ່າງທີ 3: ຟັງຊັນກຳລັງສອງຂອງໄຊນ໌
ດິນ
ຊອກຫາອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນ \( h(x) = (\sin(x))^2 \).
ວິທີແກ້ໄຂ
ເພື່ອຊອກຫາອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນ \( h(x) = (\sin(x))^2 \), ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້ໄດ້.
ກ່ອນອື່ນໝົດ, ພວກເຮົາກຳນົດ \(u = \sin(x)\), ເພື່ອໃຫ້ \(h(x) = u^2\).
ພວກເຮົາຮູ້ວ່າອະນຸພັນຂອງ \(u^2\) ທຽບກັບ \(u\) ແມ່ນ \(2u\), ແລະອະນຸພັນຂອງ \(u\) ທຽບກັບ \(x\) ແມ່ນ \(\cos(x)\).
ສະນັ້ນ,
\[
\frac{d}{dx} (\sin(x))^2 = 2 (\sin(x)) \cdot \cos(x)
\]
ສະນັ້ນ, ອະນຸພັນຂອງ h(x) = (sin(x))^2\) ແມ່ນ \(2sin(x)\cos(x)\).
ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 4: ຟັງຊັນແທງເຈນ
ດິນ
ຊອກຫາອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນ f(x) = tan(x)).
ວິທີແກ້ໄຂ
ເພື່ອຊອກຫາອະນຸພັນຂອງ \( f(x) = \tan(x) \), ເຮົາໃຊ້ຄຳນິຍາມຂອງອະນຸພັນຂອງ tangent.
\[
\frac{d}{dx} \tan(x) = \ວິນາທີ^2(x)
\]
ສະນັ້ນ, ອະນຸພັນຂອງ f(x) = \tan(x) \) ແມ່ນ \( \sec^2(x) \).
ຕົວຢ່າງທີ 5: ການລວມກັນຂອງຟັງຊັນ Tangent ແລະ Secant
ດິນ
ຊອກຫາອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນ \( p(x) = \tan(x)\sec(x) \).
ວິທີແກ້ໄຂ
ເພື່ອຊອກຫາອະນຸພັນຂອງຜົນຄູນຂອງສອງຟັງຊັນ, ພວກເຮົາຕ້ອງໃຊ້ກົດຜົນຄູນ.
\[
(fg)' = f'g + fg'
\]
ບ່ອນທີ່ f(x) = \tan(x) \) ແລະ g(x) = \sec(x) \).
ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ:
\[
f'(x) = ວິນາທີ^2(x)
\]
\[
g'(x) = \ວິນາທີ(x)\tan(x)
\]
ດັ່ງນັ້ນ:
\[
p'(x) = \tan(x) \cdot \ວິນາທີ(x) \tan(x) + \ວິນາທີ(x) \cdot \ວິນາທີ^2(x)
\]
\[
p'(x) = \ວິນາທີ^2(x) \tan^2(x) + \ວິນາທີ^3(x)
\]
ສະນັ້ນ, ອະນຸພັນຂອງ \(p(x) = \tan(x)\sec(x) \) ແມ່ນ \( \sec^2(x) \tan^2(x) + \sec^3(x) \).
ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 6: ຟັງຊັນໂຄເຊແຄນ ແລະ ໂຄແທນເຈນ
ດິນ
ຊອກຫາອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນ q(x) = csc(x) – cot(x) \).
ວິທີແກ້ໄຂ
ເພື່ອຊອກຫາອະນຸພັນຂອງ \( q(x) = \csc(x) – \cot(x) \), ເຮົາໃຊ້ຄຳນິຍາມຂອງອະນຸພັນຂອງໂຄຊິແຄນ ແລະ ໂຄແທນເຈນ.
\[
\frac{d}{dx} \csc(x) = -\csc(x)\cot(x)
\]
\[
\frac{d}{dx} \cot(x) = -\csc^2(x)
\]
ດັ່ງນັ້ນ:
\[
q'(x) = -\csc(x)\cot(x) – (-\csc^2(x))
\]
\[
q'(x) = -\csc(x)\cot(x) + \csc^2(x)
\]
ສະນັ້ນ, ອະນຸພັນຂອງ \( q(x) = \csc(x) – \cot(x) \) ແມ່ນ \( -\csc(x)\cot(x) + \csc^2(x) \).
ສະຫຼຸບ
ໃນບົດຄວາມນີ້, ພວກເຮົາໄດ້ສົນທະນາກ່ຽວກັບຕົວຢ່າງ ແລະ ວິທີແກ້ໄຂຕ່າງໆທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິ. ຕັ້ງແຕ່ຟັງຊັນພື້ນຖານເຊັ່ນ: ຊິນ ແລະ ໂຄໄຊນ໌, ຈົນເຖິງການປະສົມປະສານທີ່ສັບສົນຫຼາຍຂຶ້ນເຊັ່ນ: ຜົນຄູນຂອງສຳຜັດ ແລະ ເຊແຄນ, ແລະ ອະນຸພັນຂອງໂຄເຊແຄນ ແລະ ໂຄແທນເຈນ. ການເຂົ້າໃຈອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິບໍ່ພຽງແຕ່ເປັນປະໂຫຍດໃນຄະນິດສາດບໍລິສຸດເທົ່ານັ້ນ, ແຕ່ຍັງມີການນຳໃຊ້ຢ່າງກວ້າງຂວາງໃນຟີຊິກ, ວິສະວະກຳ, ແລະ ຂົງເຂດອື່ນໆທີ່ນຳໃຊ້ການປ່ຽນແປງຂອງຟັງຊັນ ແລະ ອັດຕາການປ່ຽນແປງ.
ໂດຍການຝຶກຝົນບັນຫາຫຼາຍຂຶ້ນ, ຄວາມເຂົ້າໃຈຂອງພວກເຮົາກ່ຽວກັບອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິຈະດີຂຶ້ນ. ຫວັງວ່າບົດຄວາມນີ້ຈະຊ່ວຍໃຫ້ທ່ານເຂົ້າໃຈແນວຄວາມຄິດ ແລະ ການນຳໃຊ້ອະນຸພັນໃນຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິ!
