ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ່ສົນທະນາກ່ຽວກັບການຫັນປ່ຽນໃນລະນາບ Cartesian
ການຫັນປ່ຽນໃນລະນາບຄາທີຊຽນແມ່ນຫົວຂໍ້ສຳຄັນໃນຄະນິດສາດ, ໂດຍສະເພາະແມ່ນເລຂາຄະນິດ. ການຫັນປ່ຽນເຫຼົ່ານີ້ກ່ຽວຂ້ອງກັບການດຳເນີນງານຕ່າງໆເຊັ່ນ: ການແປ, ການສະທ້ອນ, ການໝຸນ, ແລະ ການຂະຫຍາຍ, ເຊິ່ງມີຈຸດປະສົງເພື່ອຍ້າຍ ຫຼື ປ່ຽນຮູບຮ່າງຂອງວັດຖຸໃນລະນາບສອງມິຕິ. ບົດຄວາມນີ້ຈະທົບທວນບັນຫາຕົວຢ່າງຫຼາຍຢ່າງ ແລະ ປຶກສາຫາລືກ່ຽວກັບບັນຫາທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບການຫັນປ່ຽນໃນລະນາບຄາທີຊຽນ.
ປະເພດຂອງການຫັນປ່ຽນ
ກ່ອນທີ່ພວກເຮົາຈະເຂົ້າໄປໃນບັນຫາຕົວຢ່າງ, ກ່ອນອື່ນໝົດໃຫ້ພວກເຮົາທົບທວນຄືນປະເພດຂອງການຫັນປ່ຽນຕໍ່ໄປນີ້:
1. ການແປພາສາ (ປ່ຽນ)
ການແປແມ່ນການປ່ຽນຈຸດ ຫຼື ວັດຖຸໃນລະນາບໂດຍໄລຍະທາງທີ່ແນ່ນອນໃນທິດທາງທີ່ແນ່ນອນ. ການແປສາມາດນິຍາມໄດ້ດັ່ງນີ້:
\[
(x, y) \arrow ຂວາ (x+a, y+b)
\]
ບ່ອນທີ່ \(a\) ແລະ \(b\) ແມ່ນໄລຍະທາງການເຄື່ອນຍ້າຍຕາມແນວນອນ ແລະ ແນວຕັ້ງ.
2. ການສະທ້ອນ
ການສະທ້ອນແມ່ນການສະທ້ອນຂອງຈຸດ ຫຼື ວັດຖຸຂ້າມແກນ, ບໍ່ວ່າຈະເປັນແກນ x, ແກນ y, ຫຼື ເສັ້ນອື່ນ. ຕົວຢ່າງ, ການສະທ້ອນຂ້າມແກນ x:
\[
(x, y) \ລູກສອນຂວາ (x, -y)
\]
3. ການໝຸນ (ໝຸນ)
ການໝຸນແມ່ນການໝຸນຂອງຈຸດ ຫຼື ວັດຖຸອ້ອມຮອບຈຸດກາງດ້ວຍມຸມທີ່ແນ່ນອນ. ການໝຸນທວນເຂັມໂມງດ້ວຍມຸມ \(\theta\) ສາມາດສະແດງໄດ້ດັ່ງນີ້:
\[
(x, y) \rightarrow (x \cos \theta – y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)
\]
4. ການຂະຫຍາຍ (ການຂະຫຍະ)
ການຂະຫຍາຍແມ່ນການປ່ຽນແປງຂະໜາດຂອງວັດຖຸໂດຍຕົວຄູນຂະໜາດທີ່ແນ່ນອນ. ຖ້າຕົວຄູນຂະໜາດແມ່ນ \(k\), ການຂະຫຍາຍສາມາດສະແດງອອກໄດ້ດັ່ງນີ້:
\[
(x, y) \rightarrow (kx, ky)
\]
Contoh Soal ແລະ Pembahasan
ຄຳຖາມທີ 1: ການແປ
ຄຳຖາມ:
ປະຕິບັດການແປພາສາຢູ່ຈຸດ \(A(2, 3)\) ດ້ວຍການເລື່ອນໄປທາງຂວາ 5 ໜ່ວຍ ແລະ ເລື່ອນຂຶ້ນ 4 ໜ່ວຍ.
ເປບບາຮາຊານ:
ການແປຫົວໜ່ວຍ \(5\) ໄປທາງຂວາໝາຍເຖິງການເພີ່ມພິກັດ x ຂຶ້ນໄປ \(5\). ຄຳວ່າ "ຂຶ້ນ 4 ຫົວໜ່ວຍ" ໝາຍເຖິງການເພີ່ມພິກັດ y ຂຶ້ນໄປ \(4\). ຜົນຂອງການແປແມ່ນ:
\[
(x, y) \arrow ຂວາ (x+5, y+4)
\]
ສະນັ້ນຈຸດ \(A(2, 3)\) ຫຼັງຈາກການແປຈະກາຍເປັນ:
\[
(x+5, y+4) \ລູກສອນຂວາ (2+5, 3+4) \ລູກສອນຂວາ (7, 7)
\]
ສະນັ້ນ, ຈຸດ \(A(2, 3)\) ຫຼັງຈາກການແປແມ່ນ \(A'(7, 7)\).
ຄຳຖາມທີ 2: ການສະທ້ອນ
ຄຳຖາມ:
ສະທ້ອນຈຸດ \(B(-4, 7)\) ກ່ຽວກັບແກນ y.
ເປບບາຮາຊານ:
ການສະທ້ອນກ່ຽວກັບແກນ y ປ່ຽນພິກັດ x ໄປເປັນລົບຂອງພິກັດ x ເດີມ, ໃນຂະນະທີ່ພິກັດ y ຍັງຄົງຄືເກົ່າ.
\[
(x, y) \ລູກສອນຂວາ (-x, y)
\]
ສະນັ້ນຈຸດ \(B(-4, 7)\) ຫຼັງຈາກການສະທ້ອນຈະກາຍເປັນ:
\[
(x, y) \ລູກສອນຂວາ (-(-4), 7) \ລູກສອນຂວາ (4, 7)
\]
ສະນັ້ນ, ຈຸດ \(B(-4, 7)\) ຫຼັງຈາກການສະທ້ອນອ້ອມແກນ y ແມ່ນ \(B'(4, 7)\).
ຄຳຖາມທີ 3: ການໝູນວຽນ
ຄຳຖາມ:
ໝຸນຈຸດ \(C(1, 2)\) ດ້ວຍ \(90^\circ\) ທວນກັບເຂັມໂມງ ໂດຍໃຫ້ຈຸດກາງຢູ່ທີ່ຈຸດເລີ່ມຕົ້ນ \((0, 0)\).
ເປບບາຮາຊານ:
ການໝຸນຂອງ \(90^\circ\) ທວນເຂັມໂມງສາມາດສະແດງໄດ້ດັ່ງນີ້:
\[
(x, y) \ລູກສອນຂວາ (-y, x)
\]
ດັ່ງນັ້ນຈຸດ \(C(1, 2)\) ຫຼັງຈາກການໝຸນຈະກາຍເປັນ:
\[
(x, y) \rightarrow (-2, 1)
\]
ສະນັ້ນ, ຈຸດ \(C(1, 2)\) ຫຼັງຈາກການໝຸນ \(90^\circ\) ທວນເຂັມໂມງ ແມ່ນ \(C'(-2, 1)\).
ຄຳຖາມທີ 4: ການຂະຫຍາຍ
ຄຳຖາມ:
ຂະຫຍາຍຈຸດ \(D(3, 4)\) ດ້ວຍຕົວຄູນຂະໜາດ \(k = 2\).
ເປບບາຮາຊານ:
ການຂະຫຍາຍດ້ວຍຕົວຄູນຂະໜາດຂອງ \(2\) ໝາຍເຖິງການຄູນພິກັດທັງສອງດ້ວຍ \(2\).
\[
(x, y) \ລູກສອນຂວາ (2x, 2y)
\]
ສະນັ້ນຈຸດ \(D(3, 4)\) ຫຼັງຈາກການຂະຫຍາຍຈະກາຍເປັນ:
\[
(x, y) \ລູກສອນຂວາ (2 \ຄູນ 3, 2 \ຄູນ 4) \ລູກສອນຂວາ (6, 8)
\]
ສະນັ້ນ, ຈຸດ \(D(3, 4)\) ຫຼັງຈາກການຂະຫຍາຍດ້ວຍຕົວຄູນຂະໜາດ \(2\) ແມ່ນ \(D'(6, 8)\).
ຄຳຖາມທີ 5: ການປະສົມປະສານຂອງການຫັນປ່ຽນ
ຄຳຖາມ:
ສະທ້ອນອ້ອມແກນ x ແລະ ຫຼັງຈາກນັ້ນຂະຫຍາຍອອກດ້ວຍຕົວຄູນຂະໜາດ \(k = 0.5\) ຢູ່ຈຸດ \(E(8, -6)\).
ເປບບາຮາຊານ:
ຂັ້ນຕອນທຳອິດແມ່ນການສະທ້ອນກ່ຽວກັບແກນ x:
\[
(x, y) \ລູກສອນຂວາ (x, -y)
\]
\[
(8, -6) \ລູກສອນຂວາ (8, 6)
\]
ຂັ້ນຕອນທີສອງແມ່ນການປະຕິບັດການຂະຫຍາຍດ້ວຍຕົວຄູນຂະໜາດຂອງ \(0.5\):
\[
(x, y) \ລູກສອນຂວາ (0.5x, 0.5y)
\]
\[
(8, 6) \ລູກສອນຂວາ (0.5 \ຄູນ 8, 0.5 \ຄູນ 6) \ລູກສອນຂວາ (4, 3)
\]
ສະນັ້ນ, ຈຸດ \(E(8, -6)\) ຫຼັງຈາກການສະທ້ອນອ້ອມແກນ x ແລະ ການຂະຫຍາຍໂດຍຕົວຄູນຂະໜາດ \(0.5\) ແມ່ນ \(E'(4, 3)\).
ຄຳຖາມທີ 6: ການຫັນປ່ຽນດ້ວຍການໝູນວຽນ ແລະ ການແປ
ຄຳຖາມ:
ໝຸນຈຸດ \(F(-3, 4)\) ດ້ວຍ \(180^\circ\) ທວນກັບເຂັມໂມງ, ຈາກນັ້ນແປຜົນໄດ້ຮັບດ້ວຍເວັກເຕີ \((2, -1)\).
ເປບບາຮາຊານ:
ຂັ້ນຕອນທຳອິດແມ່ນການໝຸນ \(180^\circ\) ທວນເຂັມໂມງ:
\[
(x, y) \rightarrow (-x, -y)
\]
\[
(-3, 4) ລູກສອນຂວາ (3, -4)
\]
ຂັ້ນຕອນທີສອງແມ່ນການປະຕິບັດການແປດ້ວຍເວັກເຕີ \((2, -1)\):
\[
(x, y) \arrow ຂວາ (x+2, y-1)
\]
\[
(3, -4) \ລູກສອນຂວາ (3+2, -4-1) \ລູກສອນຂວາ (5, -5)
\]
ສະນັ້ນ, ຈຸດ \(F(-3, 4)\) ຫຼັງຈາກການໝຸນ \(180^\circ\) ແລະ ການແປໂດຍເວັກເຕີ \((2, -1)\) ແມ່ນ \(F'(5, -5)\).
ສະຫຼຸບ
ການຫັນປ່ຽນໃນລະນາບຄາທີຊຽນແມ່ນແນວຄວາມຄິດທີ່ສຳຄັນໃນເລຂາຄະນິດ, ເຊິ່ງກວມເອົາການດຳເນີນງານຕ່າງໆເຊັ່ນ: ການແປ, ການສະທ້ອນ, ການໝຸນ, ແລະ ການຂະຫຍາຍ. ໂດຍການເຂົ້າໃຈວິທີການເຮັດວຽກຂອງແຕ່ລະປະເພດຂອງການຫັນປ່ຽນ, ພວກເຮົາສາມາດປ່ຽນຕຳແໜ່ງ ຫຼື ຮູບຮ່າງຂອງວັດຖຸໃນລະນາບໄດ້ຢ່າງງ່າຍດາຍ. ຜ່ານຕົວຢ່າງຂ້າງເທິງ, ພວກເຮົາສາມາດເຫັນການນຳໃຊ້ຕົວຈິງຂອງການຫັນປ່ຽນຕ່າງໆ ແລະ ວິທີທີ່ພວກມັນສາມາດລວມເຂົ້າກັນເພື່ອບັນລຸການຫັນປ່ຽນທີ່ສັບສົນຫຼາຍຂຶ້ນ. ຫວັງວ່າບົດຄວາມນີ້ຈະເປັນປະໂຫຍດໃນການເຂົ້າໃຈການຫັນປ່ຽນໃນລະນາບຄາທີຊຽນ.
