ຕົວຢ່າງຄຳຖາມ ແລະ ການສົນທະນາກ່ຽວກັບການນຳໃຊ້ອິນທິກຣອລໃນການຄິດໄລ່ເນື້ອທີ່ຂອງລະນາບຮາບ
ໃນການສອນຄະນິດສາດ, ອິນທິກຣານມັກພົບໃນແຄລຄູລັສ. ໜຶ່ງໃນການນຳໃຊ້ອິນທິກຣານທີ່ຮູ້ຈັກກັນດີທີ່ສຸດແມ່ນການຄິດໄລ່ເນື້ອທີ່ພາຍໃຕ້ເສັ້ນໂຄ້ງ ຫຼື ລະນາບ. ບົດຄວາມນີ້ຈະປຶກສາຫາລືບັນຫາຕົວຢ່າງຫຼາຍຢ່າງ ແລະ ປຶກສາຫາລືການນຳໃຊ້ອິນທິກຣານເຂົ້າໃນການຄິດໄລ່ເນື້ອທີ່ຂອງລະນາບ.
ການນຳສະເໜີທິດສະດີ
ກ່ອນທີ່ຈະກ້າວໄປສູ່ບັນຫາຕົວຢ່າງ, ໃຫ້ພວກເຮົາທົບທວນຄືນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານຂອງການຄິດໄລ່ເນື້ອທີ່ພາຍໃຕ້ເສັ້ນໂຄ້ງໂດຍໃຊ້ອິນທິກຣອນ. ຖ້າພວກເຮົາມີຟັງຊັນ f(x) ທີ່ເປັນຕໍ່ເນື່ອງໃນຊ່ວງ [a, b], ຫຼັງຈາກນັ້ນເນື້ອທີ່ພາຍໃຕ້ເສັ້ນໂຄ້ງ y = f(x) ຈາກ x = a ຫາ x = b ແມ່ນ:
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
ໃນດ້ານເລຂາຄະນິດ, ນີ້ໝາຍຄວາມວ່າພວກເຮົາກຳລັງລວມເນື້ອທີ່ຂອງຮູບສີ່ແຈສາກບາງໆຈາກ x = a ຫາ x = b.
ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 1
ດິນ
ຄິດໄລ່ເນື້ອທີ່ພາຍໃຕ້ເສັ້ນໂຄ້ງ y = x² ໃນຊ່ວງ [1, 3].
ສົນທະນາ
ເພື່ອຄິດໄລ່ພື້ນທີ່, ພວກເຮົາໃຊ້ອິນທິກຣອນ:
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 dx\]
ພວກເຮົາເລີ່ມຕົ້ນດ້ວຍການຊອກຫາອະນຸພັນຂອງ \( x^2 \). ອະນຸພັນຂອງ \( x^2 \) ແມ່ນ \( \frac{x^3}{3} \). ຫຼັງຈາກນັ້ນ, ອິນທິກຣອນຈະກາຍເປັນ:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
ຈົ່ງຈື່ໄວ້ວ່າພວກເຮົາຕ້ອງປະເມີນຕົວຕ້ານອະນຸພັນໃນຂອບເຂດຂອງອິນທິກຣອນ:
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = \left( \frac{27}{3} \right) – \left( \frac{1}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
ສະນັ້ນ, ເນື້ອທີ່ພາຍໃຕ້ເສັ້ນໂຄ້ງ y = x² ຈາກ x = 1 ຫາ x = 3 ແມ່ນ:
\[ \frac{26}{3} \, \text{ຫົວໜ່ວຍພື້ນທີ່} \]
ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 2
ດິນ
ກຳນົດເນື້ອທີ່ຂອງພື້ນທີ່ທີ່ຖືກຜູກມັດດ້ວຍເສັ້ນໂຄ້ງ y = x³ ແລະ ເສັ້ນ x = 1 ແລະ x = 2.
ສົນທະນາ
ເພື່ອຄິດໄລ່ພື້ນທີ່, ພວກເຮົາໃຊ້ອິນທິກຣອນ:
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 dx\]
ຕາມປົກກະຕິ, ພວກເຮົາເລີ່ມຕົ້ນດ້ວຍການຊອກຫາອະນຸພັນຂອງ \( x^3 \). ອະນຸພັນຂອງ \( x^3 \) ແມ່ນ \( \frac{x^4}{4} \). ອິນທິກຣອນຈະກາຍເປັນ:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
ປະເມີນຂອບເຂດຂອງອິນທິກຣອນ:
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = \left( \frac{16}{4} \right) – \left( \frac{1}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
ສະນັ້ນ, ເນື້ອທີ່ພາຍໃຕ້ເສັ້ນໂຄ້ງ y = x³ ຈາກ x = 1 ຫາ x = 2 ແມ່ນ:
\[ \frac{15}{4} \, \text{ຫົວໜ່ວຍພື້ນທີ່} \]
ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 3
ດິນ
ກຳນົດເນື້ອທີ່ຂອງພື້ນທີ່ທີ່ຖືກຈຳກັດໂດຍເສັ້ນໂຄ້ງ y = x² + 1 ແລະ y = 2x + 2 ໃນຊ່ວງ x = 0 ຫາ x = 1.
ສົນທະນາ
ກ່ອນອື່ນໝົດ, ພວກເຮົາຈຳເປັນຕ້ອງຊອກຫາຈຸດຕັດກັນເພື່ອກຳນົດຂອບເຂດຂອງການເຊື່ອມໂຍງ. ວິທີແກ້ຂອງ \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
ການນໍາໃຊ້ສູດ quadratic:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
ເຖິງຢ່າງໃດກໍ່ຕາມ, ສຳລັບຂອບເຂດສູງສຸດ ແລະ ຂອບເຂດລຸ່ມລະຫວ່າງ 0 ແລະ 1, ພວກເຮົາບໍ່ຈຳເປັນຕ້ອງໃຊ້ວິທີແກ້ໄຂກຳລັງສອງ, ພຽງແຕ່ຂອບເຂດລວມທຳມະດາຈາກ 0 ຫາ 1. ຕໍ່ໄປ, ໃຫ້ຄິດໄລ່ເນື້ອທີ່ຂອງເສັ້ນໂຄ້ງ y ເທິງລົບເສັ້ນໂຄ້ງ y ລຸ່ມຕາມຂອບເຂດເຫຼົ່ານີ້:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
ການເຮັດໃຫ້ຟັງຊັນງ່າຍຂຶ້ນ:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
ຕໍ່ໄປ, ພວກເຮົາຊອກຫາຕົວຕ້ານອະນຸພັນ:
ຕົວຕ້ານຂອງ \( (-x^2) \) ແມ່ນ \( -\frac{x^3}{3} \),
ຕົວຕ້ານຂອງ \((2x)\) ແມ່ນ \(x^2\),
ຕົວຕ້ານຂອງ \((1) \) ແມ່ນ \(x \).
ດັ່ງນັ້ນ,
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
ການປະເມີນຜົນຄັ້ງຕໍ່ໄປ:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2\]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
ດັ່ງນັ້ນ, ເນື້ອທີ່ຂອງພື້ນທີ່ທີ່ຖືກຈຳກັດໂດຍເສັ້ນໂຄ້ງ y = x² + 1 ແລະ y = 2x + 2 ໃນຊ່ວງ [0, 1] ແມ່ນ:
\[ \frac{5}{3} \, \text{ຫົວໜ່ວຍພື້ນທີ່} \]
-
ຈາກຕົວຢ່າງຂ້າງເທິງ, ພວກເຮົາສາມາດເຫັນໄດ້ວ່າອິນທິກຣອນສາມາດໃຊ້ເພື່ອຄິດໄລ່ພື້ນທີ່ພາຍໃຕ້ເສັ້ນໂຄ້ງ ຫຼື ລະຫວ່າງສອງເສັ້ນໂຄ້ງໄດ້ແນວໃດ. ດ້ວຍຄວາມເຂົ້າໃຈຢ່າງຖືກຕ້ອງກ່ຽວກັບແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານຂອງອິນທິກຣອນ ແລະ ເຕັກນິກການຕ້ານອະນຸພັນ, ການຄິດໄລ່ພື້ນທີ່ເຫຼົ່ານີ້ຈະກາຍເປັນລະບົບ ແລະ ມີປະສິດທິພາບຫຼາຍ. ຫວັງວ່າບົດຄວາມນີ້ຈະເພີ່ມຄວາມເຂົ້າໃຈຂອງພວກເຮົາກ່ຽວກັບການນຳໃຊ້ອິນທິກຣອນໃນໂລກຕົວຈິງ, ໂດຍສະເພາະໃນຂົງເຂດການວັດແທກພື້ນທີ່ຂອງໜ້າດິນຮາບພຽງ.
