ຕົວຢ່າງຄຳຖາມ ແລະ ການສົນທະນາກ່ຽວກັບການເສື່ອມສະພາບແບບເລກກຳລັງ
ການເສື່ອມສະພາບແບບເອັກໂປເນນຊຽວ ເປັນປະກົດການທາງທຳມະຊາດທີ່ພົບໃນສາຂາວິຊາຕ່າງໆເຊັ່ນ: ຟີຊິກສາດ, ເຄມີສາດ, ຊີວະສາດ ແລະ ເສດຖະສາດ. ໃນຖານະເປັນຕົວແບບທາງຄະນິດສາດ, ການເສື່ອມສະພາບແບບເອັກໂປເນນຊຽວ ອະທິບາຍເຖິງຂະບວນການທີ່ປະລິມານທີ່ໃຫ້ມາຫຼຸດລົງຕາມສັດສ່ວນກັບປະລິມານປະຈຸບັນຂອງມັນ. ໃນຄະນິດສາດ, ການເສື່ອມສະພາບແບບເອັກໂປເນນຊຽວ ປະຕິບັດຕາມຮູບແບບທົ່ວໄປ:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
ຢູ່ໃສ:
- \( N(t) \) ແມ່ນຈຳນວນທີ່ຍັງເຫຼືອຢູ່ໃນເວລາທີ່ \( t \),
– \( N_0 \) ແມ່ນຕົວເລກເບື້ອງຕົ້ນ,
- \( \lambda \) ແມ່ນຄ່າຄົງທີ່ຂອງການເສື່ອມສະພາບ (ມັກເອີ້ນວ່າອັດຕາການເສື່ອມສະພາບ),
- \( t \) ແມ່ນເວລາ,
-\( e\) ແມ່ນພື້ນຖານຂອງໂລກາລິດທຳມະຊາດ (ປະມານ 2.718).
ໃນບົດຄວາມນີ້, ພວກເຮົາຈະປຶກສາຫາລືບາງຕົວຢ່າງຂອງບັນຫາການເສື່ອມສະພາບແບບເອັກໂປເນນຊຽລພ້ອມກັບຄຳອະທິບາຍຂອງມັນເພື່ອຊ່ວຍໃຫ້ເຂົ້າໃຈແນວຄວາມຄິດນີ້ຢ່າງເລິກເຊິ່ງກວ່າເກົ່າ.
ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 1: ການເນົ່າເປື່ອຍຂອງກຳມັນຕະພາບລັງສີ
ຄຳຖາມ:
ສານກຳມັນຕະພາບລັງສີມີອາຍຸເຄິ່ງໜຶ່ງ 5 ປີ. ຖ້າໃນເບື້ອງຕົ້ນມີສານ 100 ກຣາມ, ຈະເຫຼືອເທົ່າໃດຫຼັງຈາກ 15 ປີ?
ເປບບາຮາຊານ:
ການເນົ່າເປື່ອຍຂອງລັງສີສາມາດຈຳລອງໄດ້ໂດຍໃຊ້ສູດການເນົ່າເປື່ອຍແບບເອັກໂປເນນຊຽລ. ເຄິ່ງອາຍຸ (\( t_{1/2} \)) ແມ່ນເວລາທີ່ຕ້ອງການໃຫ້ເຄິ່ງໜຶ່ງຂອງປະລິມານຂອງວັດສະດຸລັງສີເນົ່າເປື່ອຍ. ເປັນທີ່ຮູ້ກັນວ່າ \( t_{1/2} = 5 \) ປີ.
ກ່ອນອື່ນໝົດພວກເຮົາຈຳເປັນຕ້ອງຊອກຫາຄ່າຄົງທີ່ຂອງການເສື່ອມສະພາບ \( \lambda \) ດ້ວຍສູດ:
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{5} \approx 0.1386 \text{ ປີ}^{-1} \]
ດັ່ງນັ້ນ, ສູດການເສື່ອມໂຊມແບບ exponential ແມ່ນ:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\[ N(t) = 100 e^{-0.1386 \ຄູນ 15} \]
ດຽວນີ້, ພວກເຮົາຄິດໄລ່ຄ່າ:
\[ N(t) = 100 e^{-2.079} \]
\[ N(t) = 100 ຄູນ 0.125 \]
\[ N(t) \ປະມານ 12.5 \text{ ກຣາມ} \]
ສະນັ້ນ, ຫຼັງຈາກ 15 ປີ, ຍັງມີວັດສະດຸກຳມັນຕະພາບລັງສີເຫຼືອຢູ່ປະມານ 12.5 ກຣາມ.
ຕົວຢ່າງທີ 2: ການເສື່ອມສະພາບຂອງຕົວເກັບປະຈຸ
ຄຳຖາມ:
ຕົວເກັບປະຈຸທີ່ມີປະຈຸເລີ່ມຕົ້ນ \( Q_0 = 200 \text{ C} \) ແມ່ນອະນຸຍາດໃຫ້ປ່ອຍປະຈຸໃນວົງຈອນ. ຄ່າຄົງທີ່ຂອງເວລາແມ່ນ \( \tau = 4 \text{ s} \). ປະຈຸຍັງເຫຼືອເທົ່າໃດຫຼັງຈາກ 10 ວິນາທີ?
ເປບບາຮາຊານ:
ໃນກໍລະນີຂອງການເສື່ອມສະພາບຂອງປະຈຸໄຟຟ້າຂອງຕົວເກັບປະຈຸໄຟຟ້າ, ຮູບແບບເອັກໂປເນນຊຽລທີ່ໃຊ້ແມ່ນ:
\[ Q(t) = Q_0 e^{-t/\tau} \]
ໃຫ້ \( Q_0 = 200 \text{ C} \) ແລະ \( \tau = 4 \text{ s} \). ພວກເຮົາຈຳເປັນຕ້ອງຊອກຫາ \( Q(10) \):
\[ Q(10) = 200 e^{-10/4} \]
\[ Q(10) = 200 e^{-2.5} \]
ການຄິດໄລ່ຄ່າເອັກໂປເນນຊຽລ:
\[ Q(10) = 200 ຄູນ 0.0821 \]
\[ Q(10) \ປະມານ 16.42 \text{ C} \]
ດັ່ງນັ້ນ, ຫຼັງຈາກ 10 ວິນາທີ, ປະຈຸທີ່ຍັງເຫຼືອຢູ່ໃນຕົວເກັບປະຈຸແມ່ນປະມານ 16.42 ອົງສາເຊ.
ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 3: ການເນົ່າເປື່ອຍທາງເຄມີ
ຄຳຖາມ:
ສານເຄມີມີຄ່າຄົງທີ່ການເສື່ອມສະພາບເທົ່າກັບ \( \lambda = 0.05 \text{ ມື້ }^{-1} \). ມັນຈະໃຊ້ເວລາດົນປານໃດເພື່ອໃຫ້ສານເຄມີຫຼຸດລົງເຖິງ 25% ຂອງປະລິມານເດີມ?
ເປບບາຮາຊານ:
ພວກເຮົາເລີ່ມຕົ້ນດ້ວຍສູດທົ່ວໄປສຳລັບການເສື່ອມໂຊມແບບເອັກໂປເນນຊຽລ:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
ພວກເຮົາຕ້ອງການໃຫ້ N(t) ເປັນ 25% ຂອງ \( N_0 \), ດັ່ງນັ້ນ:
\[ 0.25 N_0 = N_0 e^{-0.05 t} \]
ການກຳຈັດ \( N_0 \) ອອກຈາກທັງສອງຝ່າຍ:
\[ 0.25 = e^{-0.05 t} \]
ການໃຊ້ logarithm ທຳມະຊາດເພື່ອແກ້ໄຂກໍລະນີ exponential:
\[ \ln 0.25 = -0.05 t \]
\[ -1.3863 = -0.05 ໂຕນ \]
ການແກ້ສຳລັບ \(t\):
\[ t = \frac{1.3863}{0.05} \]
\[ t \ປະມານ 27.726 \ຂໍ້ຄວາມ{ ມື້} \]
ສະນັ້ນ, ເວລາທີ່ຕ້ອງການໃຫ້ສານເຄມີຫຼຸດລົງເຖິງ 25% ຂອງປະລິມານເບື້ອງຕົ້ນແມ່ນປະມານ 27.726 ມື້.
ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 4: ການເນົ່າເປື່ອຍຂອງປະຊາກອນເຊື້ອແບັກທີເຣັຍ
ຄຳຖາມ:
ປະຊາກອນເຊື້ອແບັກທີເຣຍຫຼຸດລົງໃນອັດຕາທີ່ເພີ່ມຂຶ້ນຢ່າງໄວວາ ດັ່ງນັ້ນຫຼັງຈາກ 3 ຊົ່ວໂມງ ປະຊາກອນຈະເຫຼືອພຽງເຄິ່ງໜຶ່ງຂອງຈຳນວນເບື້ອງຕົ້ນ. ຖ້າປະຊາກອນເບື້ອງຕົ້ນແມ່ນເຊື້ອແບັກທີເຣຍ 8000 ໂຕ, ຈະເຫຼືອເຊື້ອແບັກທີເຣຍຈັກໂຕຫຼັງຈາກ 9 ຊົ່ວໂມງ?
ເປບບາຮາຊານ:
ເປັນທີ່ຮູ້ກັນວ່າເຄິ່ງຊີວິດ \( t_{1/2} = 3 \) ຊົ່ວໂມງ. ກ່ອນອື່ນໝົດພວກເຮົາພົບຄ່າຄົງທີ່ຂອງການເສື່ອມສະພາບ \( \lambda \):
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231 \text{ ຊົ່ວໂມງ}^{-1} \]
ຫຼັງຈາກນັ້ນ, ພວກເຮົາໃຊ້ສູດການຊຸດໂຊມແບບ exponential:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\[ N(9) = 8000 e^{-0.231 \ຄູນ 9} \]
ການຄິດໄລ່ຄ່າເອັກໂປເນນຊຽລ:
\[ N(9) = 8000 e^{-2.079} \]
\[ N(9) = 8000 ຄູນ 0.125 \]
\[ N(9) \ປະມານ 1000 \]
ສະນັ້ນ, ຫຼັງຈາກ 9 ຊົ່ວໂມງ, ຈະຍັງມີເຊື້ອແບັກທີເຣັຍປະມານ 1000 ຊະນິດເຫຼືອຢູ່.
ສະຫຼຸບ
ຮູບແບບການເສື່ອມໂຊມແບບເອັກໂປເນນຊຽລໃຫ້ວິທີການທີ່ມີປະສິດທິພາບໃນການແກ້ໄຂບັນຫາທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບຂະບວນການເສື່ອມໂຊມໃນການນຳໃຊ້ທາງວິທະຍາສາດ ແລະ ວິສະວະກຳທີ່ຫຼາກຫຼາຍ. ໂດຍການເຂົ້າໃຈແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານເຊັ່ນ: ຄ່າຄົງທີ່ການເສື່ອມໂຊມ, ເຄິ່ງຊີວິດ, ແລະ ການນຳໃຊ້ສູດເອັກໂປເນນຊຽລ, ພວກເຮົາສາມາດຄິດໄລ່ການປ່ຽນແປງຂອງປະລິມານໃນໄລຍະເວລາໄດ້ຢ່າງງ່າຍດາຍ. ບັນຫາການປະຕິບັດທີ່ໄດ້ກ່າວມາຂ້າງເທິງຄວນຊ່ວຍໃຫ້ພວກເຮົາເຂົ້າໃຈ ແລະ ນຳໃຊ້ແນວຄວາມຄິດຂອງການເສື່ອມໂຊມແບບເອັກໂປເນນຊຽລກັບສະຖານະການທີ່ສັບສົນຫຼາຍຂຶ້ນ.
