ຕົວຢ່າງຂອງຄຳຖາມສົນທະນາກ່ຽວກັບຄ່າທີ່ຄາດໄວ້ຂອງການແຈກຢາຍປົກກະຕິ
ການແຈກຢາຍແບບປົກກະຕິ, ເຊິ່ງເອີ້ນກັນວ່າ ການແຈກຢາຍແບບ Gaussian, ແມ່ນໜຶ່ງໃນການແຈກຢາຍຄວາມເປັນໄປໄດ້ຕໍ່ເນື່ອງທີ່ໃຊ້ເລື້ອຍທີ່ສຸດໃນສະຖິຕິ ແລະ ຄວາມເປັນໄປໄດ້. ການແຈກຢາຍນີ້ມັກຖືກໃຊ້ເປັນສົມມຸດຖານພື້ນຖານໃນການອະນຸມານທາງສະຖິຕິຕ່າງໆ ເນື່ອງຈາກຄຸນສົມບັດທາງຄະນິດສາດທີ່ເອື້ອອຳນວຍ, ເຊັ່ນ: ຄວາມສົມມາດ ແລະ ຄວາມເປັນເອກະລັກໃນການກຳນົດພາລາມິເຕີດ້ວຍຄ່າສະເລ່ຍ (µ) ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ (σ). ບົດຄວາມນີ້ຈະປຶກສາຫາລືຕົວຢ່າງ ແລະ ປຶກສາຫາລືກ່ຽວກັບຄ່າທີ່ຄາດໄວ້ຂອງການແຈກຢາຍແບບປົກກະຕິເພື່ອໃຫ້ຄວາມເຂົ້າໃຈທີ່ເລິກເຊິ່ງກວ່າກ່ຽວກັບແນວຄວາມຄິດນີ້.
ເຂົ້າໃຈການແຈກຢາຍປົກກະຕິ
ການແຈກຢາຍປົກກະຕິແມ່ນສະແດງໂດຍເສັ້ນໂຄ້ງລະຄັງທີ່ສົມມາດ, ໂດຍມີຄ່າສ່ວນໃຫຍ່ສຸມໃສ່ຄ່າກາງ, ຫຼືຄ່າສະເລ່ຍ. ພາຍໃນການແຈກຢາຍນີ້, ຄ່າສະເລ່ຍ (µ) ແລະຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ (σ) ແມ່ນສອງພາລາມິເຕີທີ່ສຳຄັນທີ່ກຳນົດສະຖານທີ່ ແລະ ປະລິມານຂອງການແຜ່ກະຈາຍໃນຂໍ້ມູນ.
ຟັງຊັນຄວາມໜາແໜ້ນຂອງຄວາມເປັນໄປໄດ້ (PDF) ຂອງການແຈກຢາຍປົກກະຕິແມ່ນ:
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\]
ຢູ່ໃສ:
– \( \mu \) ແມ່ນ ຄ່າສະເລ່ຍ ຫຼື ຄ່າສະເລ່ຍ
- \( \sigma \) ແມ່ນຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ
-\(x\) ເປັນຕົວແປແບບສຸ່ມ
ຄ່າທີ່ຄາດໄວ້ໃນການແຈກຢາຍປົກກະຕິ
ຄ່າທີ່ຄາດໄວ້ຂອງຕົວແປແບບສຸ່ມທີ່ມີການແຈກຢາຍປົກກະຕິເທົ່າກັບຄ່າສະເລ່ຍຂອງການແຈກຢາຍ. ຖ້າ \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \), ແລ້ວຄ່າທີ່ຄາດໄວ້ \( E(X) \) ແມ່ນ:
\[ E(X) = \mu \]
ຂໍໃຫ້ສືບຕໍ່ດ້ວຍຕົວຢ່າງບາງຢ່າງຂອງບັນຫາກ່ຽວກັບຄ່າທີ່ຄາດໄວ້ໃນການແຈກຢາຍປົກກະຕິເພື່ອເສີມສ້າງຄວາມເຂົ້າໃຈຂອງພວກເຮົາ.
Contoh Soal ແລະ Pembahasan
ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 1:
ສົມມຸດວ່າ \( X \) ເປັນຕົວແປສຸ່ມທີ່ແຈກຢາຍຕາມປົກກະຕິທີ່ມີ \( \mu = 50 \) ແລະ \( \sigma = 10 \). ຈົ່ງຄິດໄລ່ຄ່າທີ່ຄາດໄວ້ຂອງ \( X \).
ເປບບາຮາຊານ:
ດັ່ງທີ່ໄດ້ກ່າວມາກ່ອນໜ້ານີ້, ໃນການແຈກຢາຍປົກກະຕິ, ຄ່າທີ່ຄາດໄວ້ \(E(X)\) ແມ່ນເທົ່າກັບ \(\mu\). ດັ່ງນັ້ນ,
\[ E(X) = \mu = 50 \]
ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 2:
ໃຫ້ຕົວແປສຸ່ມ \(Y\) ຖືກແຈກຢາຍໂດຍປົກກະຕິກັບ \(\mu = 120\) ແລະ \(\sigma = 15\). ຈົ່ງຊອກຫາຄ່າທີ່ຄາດໄວ້ຂອງ \(Y\).
ເປບບາຮາຊານ:
ຄ້າຍຄືກັນກັບຕົວຢ່າງທຳອິດ, ຄ່າທີ່ຄາດຫວັງຂອງ \(Y\) ແມ່ນຄ່າກາງ ຫຼື ຄ່າສະເລ່ຍຂອງການແຈກຢາຍປົກກະຕິ, ຄື:
\[ E(Y) = \mu = 120 \]
ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 3:
ຖ້າຕົວແປສຸ່ມ \(Z\) ຕາມຫຼັງການແຈກຢາຍປົກກະຕິທີ່ມີ \(\mu = 0\) ແລະ \(\sigma = 1\) (ການແຈກຢາຍປົກກະຕິມາດຕະຖານ), ຄ່າທີ່ຄາດໄວ້ຂອງ \(Z\) ແມ່ນຫຍັງ?
ເປບບາຮາຊານ:
ການແຈກຢາຍປົກກະຕິມາດຕະຖານມີຄ່າສະເລ່ຍ \( \mu = 0 \), ສະນັ້ນຄ່າທີ່ຄາດໄວ້ \( E(Z) \) ແມ່ນ:
\[ E(Z) = \mu = 0 \]
ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 4:
ສົມມຸດວ່າ \(W\) ເປັນຕົວແປສຸ່ມທີ່ແຈກຢາຍຕາມປົກກະຕິ ໂດຍມີຄ່າສະເລ່ຍ \(\mu = 75\) ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ \(\sigma = 20\). ຖ້າພວກເຮົາກຳນົດຕົວແປສຸ່ມໃໝ່ \(V = 2W + 3\), ຄ່າທີ່ຄາດຫວັງຂອງ \(V\) ແມ່ນຫຍັງ?
ເປບບາຮາຊານ:
ເພື່ອຊອກຫາຄ່າທີ່ຄາດຫວັງຂອງ \( V \), ພວກເຮົາຈຳເປັນຕ້ອງໃຊ້ຄຸນສົມບັດຄວາມເປັນເສັ້ນຊື່ຂອງຄ່າທີ່ຄາດຫວັງ. ເມື່ອໃຫ້ \( V = 2W + 3 \), ແລ້ວ:
\[ E(V) = E(2W + 3) \]
ອີງຕາມຄຸນສົມບັດຄວາມເປັນເສັ້ນຊື່ຂອງຄ່າທີ່ຄາດໄວ້, ພວກເຮົາສາມາດແຍກຄ່າຄົງທີ່ອອກຈາກຕົວແປແບບສຸ່ມໄດ້:
\[ E(V) = 2E(W) + E(3) \]
ໂດຍຮູ້ວ່າຄ່າທີ່ຄາດຫວັງຂອງຄ່າຄົງທີ່ແມ່ນຄ່າຄົງທີ່ນັ້ນເອງ:
\[ E(3) = 3 \]
ແລະຄ່າທີ່ຄາດຫວັງຂອງ \(W\) ແມ່ນຄ່າສະເລ່ຍຂອງການແຈກຢາຍປົກກະຕິ \(W\):
\[ E(W) = \mu = 75 \]
ສະນັ້ນ,
\[ E(V) = 2 x 75 + 3 \]
\[ E(V) = 150 + 3 \]
\[ E(V) = 153 \]
ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 5:
ຕົວແປສຸ່ມ \(Q\) ຕາມຫຼັງການແຈກຢາຍປົກກະຕິທີ່ມີຄ່າສະເລ່ຍ \(\mu = 40\) ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ \(\sigma = 5\). ຄ່າທີ່ຄາດໄວ້ຂອງ \(Q\) ຖ້າ \[U = Q/2\] ແມ່ນຫຍັງ?
ເປບບາຮາຊານ:
ພວກເຮົາໃຊ້ຫຼັກການດຽວກັນກັບໃນຕົວຢ່າງທີ 4, ຄືຄຸນສົມບັດຄວາມເປັນເສັ້ນຊື່ຂອງຄ່າທີ່ຄາດໄວ້. ໂດຍໃຫ້ \( U = Q/2 \), ຫຼັງຈາກນັ້ນ:
\[ E(U) = E\left(\frac{Q}{2}\right) \]
ອີງຕາມຄຸນສົມບັດຄວາມເປັນເສັ້ນຊື່ຂອງຄ່າທີ່ຄາດໄວ້:
\[ E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
ພວກເຮົາຮູ້ວ່າຄ່າທີ່ຄາດຫວັງຂອງ \(Q\) ແມ່ນຄ່າສະເລ່ຍຂອງການແຈກຢາຍປົກກະຕິ \(Q\):
\[ E(Q) = \mu = 40 \]
ສະນັ້ນ,
\[ E(U) = \frac{1}{2} \ຄູນ 40 \]
\[ E(U) = 20 \]
ສະຫຼຸບ
ໃນການແຈກຢາຍແບບປົກກະຕິ, ຄ່າທີ່ຄາດຫວັງຂອງຕົວແປແບບສຸ່ມແມ່ນເທົ່າກັບຄ່າສະເລ່ຍ (µ) ຂອງການແຈກຢາຍສະເໝີ. ຕົວຢ່າງບັນຫາຂ້າງເທິງສະແດງໃຫ້ເຫັນເງື່ອນໄຂຕ່າງໆສຳລັບການຄິດໄລ່ຄ່າທີ່ຄາດຫວັງໂດຍໃຊ້ຄຸນສົມບັດຄວາມເປັນເສັ້ນຊື່. ການເຂົ້າໃຈແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານນີ້ເຮັດໃຫ້ມັນງ່າຍຕໍ່ການຈັດການກັບບັນຫາການແຈກຢາຍແບບປົກກະຕິໃນສະຖິຕິ ແລະ ຄວາມເປັນໄປໄດ້.
ການແຈກຢາຍແບບປົກກະຕິແມ່ນມີຄວາມສຳຄັນຫຼາຍໃນສະຖິຕິ ເພາະມັນຖືກນຳໃຊ້ໃນການນຳໃຊ້ຕົວຈິງທີ່ຫຼາກຫຼາຍ, ລວມທັງການທົດສອບສົມມຸດຕິຖານ, ການປະເມີນພາລາມິເຕີ, ແລະ ການອະນຸມານທາງສະຖິຕິອື່ນໆ. ຄວາມເຂົ້າໃຈທີ່ດີກ່ຽວກັບມູນຄ່າທີ່ຄາດໄວ້ຂອງການແຈກຢາຍນີ້ແມ່ນບາດກ້າວທຳອິດທີ່ສຳຄັນໃນການວິເຄາະຂໍ້ມູນ.
ຫວັງວ່າບົດຄວາມນີ້ຈະໃຫ້ຄຳອະທິບາຍທີ່ຊັດເຈນ ແລະ ເປັນປະໂຫຍດກ່ຽວກັບຄ່າທີ່ຄາດໄວ້ໃນການແຈກຢາຍປົກກະຕິພ້ອມກັບຄຳຖາມ ແລະ ການສົນທະນາຕົວຢ່າງທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ.
