ຕົວຢ່າງຂອງຄຳຖາມສົນທະນາວິທີການກຳລັງສອງໜ້ອຍທີ່ສຸດ
ວິທີການກຳລັງສອງນ້ອຍສຸດ (LEM) ແມ່ນວິທີການທາງສະຖິຕິທີ່ໃຊ້ເພື່ອຊອກຫາເສັ້ນທີ່ເໝາະສົມທີ່ສຸດທີ່ຄາດຄະເນຂໍ້ມູນໄດ້ຢ່າງມີປະສິດທິພາບທີ່ສຸດ. ວິທີການນີ້ມັກຖືກນຳໃຊ້ໃນການວິເຄາະການຖົດຖອຍເສັ້ນຊື່ເພື່ອກວດສອບຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງຕົວແປເອກະລາດ ແລະ ຕົວແປຕາມ. ບົດຄວາມນີ້ຈະກວມເອົາແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານຂອງວິທີການກຳລັງສອງນ້ອຍສຸດ, ພ້ອມກັບຕົວຢ່າງ ແລະ ຄຳອະທິບາຍເທື່ອລະຂັ້ນຕອນເພື່ອຄວາມເຂົ້າໃຈທີ່ເລິກເຊິ່ງກວ່າກ່ຽວກັບວິທີການເຮັດວຽກຂອງວິທີການນີ້.
ແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານຂອງວິທີການກຳລັງສອງນ້ອຍທີ່ສຸດ
ເປົ້າໝາຍຂອງວິທີການກຳລັງສອງນ້ອຍທີ່ສຸດແມ່ນເພື່ອຫຼຸດຜ່ອນຜົນບວກຂອງກຳລັງສອງຂອງຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງຄ່າທີ່ສັງເກດໄດ້ ແລະ ຄ່າທີ່ຄາດຄະເນໂດຍຮູບແບບການຖົດຖອຍ. ສົມຜົນຂອງເສັ້ນການຖົດຖອຍເສັ້ນຊື່ແບບງ່າຍໆສາມາດຂຽນໄດ້ດັ່ງນີ້:
\[ y = a + bx \]
ຢູ່ໃສ:
- \( y \) ແມ່ນຕົວແປທີ່ຂຶ້ນກັບ,
- \( x \) ແມ່ນຕົວແປເອກະລາດ,
- \( a \) ແມ່ນຈຸດຕັດ (ຄ່າຂອງ \( y \) ເມື່ອ \( x = 0 \)),
-\( b\) ແມ່ນຄວາມຊັນຂອງເສັ້ນ (ຄວາມຊັນ, ຫຼື ສຳປະສິດການຖົດຖອຍ).
ວິທີການກຳລັງສອງນ້ອຍທີ່ສຸດປະມານພາລາມິເຕີ \(a\) ແລະ \(b\) ທີ່ຫຼຸດຜ່ອນຟັງຊັນຕໍ່ໄປນີ້:
\[ \text{SSE} = \sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y_i})^2 \]
ບ່ອນທີ່ SSE ແມ່ນຜົນບວກຂອງຄວາມຜິດພາດກຳລັງສອງ, \( y_i \) ແມ່ນຄ່າຕົວຈິງ, ແລະ \( \hat{y_i} = a + bx_i \) ແມ່ນຄ່າທີ່ຄາດຄະເນໄວ້.
ຂັ້ນຕອນວິທີການຄິດໄລ່ກຳລັງສອງໜ້ອຍທີ່ສຸດ
ເພື່ອໃຫ້ແນວຄວາມຄິດມີຄວາມຊັດເຈນຂຶ້ນ, ພວກເຮົາຈະແກ້ໄຂບັນຫາຕົວຢ່າງທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບການໃຊ້ວິທີການກຳລັງສອງນ້ອຍທີ່ສຸດ.
ຕົວຢ່າງບັນຫາ
ໂດຍໃຫ້ຂໍ້ມູນຕໍ່ໄປນີ້:
| x (ຊົ່ວໂມງຮຽນ) | y (ຄະແນນສອບເສັງ) |
|——————–|——————–|
| 2 | 81 |
| 4 | 93 |
| 6 | 91 |
| 8 | 97 |
| 10 | 103 |
ກຳນົດເສັ້ນ regression ເສັ້ນຊື່ທີ່ເໝາະສົມກັບຂໍ້ມູນທີ່ສຸດ.
ສົນທະນາ
1. ການຄິດໄລ່ຄ່າສະເລ່ຍຂອງ \( \bar{x} \) ແລະ \( \bar{y} \)
\[
x = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6
\]
\[
\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{81 + 93 + 91 + 97 + 103}{5} = 93
\]
2. ການຄິດໄລ່ພາລາມິເຕີ \( b \) (ຄວາມຊັນ)
ພາລາມິເຕີ \(b\) ຖືກຄິດໄລ່ໂດຍ:
\[
b = \frac{\sum (x_i – x)(y_i – y)}{\sum (x_i – x)^2}
\]
ການຄິດໄລ່ແຕ່ລະອົງປະກອບ:
\[
ຜົນລວມ (x_i – x)(y_i – y) = (2-6)(81-93) + (4-6)(93-93) + (6-6)(91-93) + (8-6)(97-93) + (10-6)(103-93)
\]
\[
= (-4)(-12) + (-2)(0) + (0)(-2) + (2)(4) + (4)(10)
\]
\[
= 48 + 0 + 0 + 8 + 40 = 96
\]
\[
ຜົນລວມ (x_i – x)^2 = (2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2
\]
\[
= (-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2
\]
\[
= 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
\]
ດັ່ງນັ້ນ:
\[
b = \frac{96}{40} = 2.4
\]
3. ການຄິດໄລ່ພາລາມິເຕີ \(a \) (ຈຸດຕັດ)
ການໃຊ້ຄ່າສະເລ່ຍຂອງ \( \bar{x} \) ແລະ \( \bar{y} \):
\[
a = y – b x = 93 – 2.4 ຄູນ 6 = 93 – 14.4 = 78.6
\]
4. ການຂຽນສົມຜົນເສັ້ນຖົດຖອຍ
ດ້ວຍພາລາມິເຕີທີ່ພົບ, ພວກເຮົາສາມາດຂຽນສົມຜົນຂອງເສັ້ນ regression:
\[
y = 78.6 + 2.4x
\]
ການຕີຄວາມ ແລະ ການພິສູດຢືນຢັນ
ເພື່ອຮັບປະກັນວ່າເສັ້ນ regression ນີ້ພໍດີ, ພວກເຮົາສາມາດຄິດໄລ່ຄ່າ y ທີ່ຄາດຄະເນໄວ້ (\(\hat{y}\)) ສຳລັບແຕ່ລະ x ໃນຂໍ້ມູນເບື້ອງຕົ້ນ, ພ້ອມທັງຄິດໄລ່ຜົນບວກຂອງຄວາມຜິດພາດກຳລັງສອງ (SSE) ເພື່ອກວດສອບຄວາມຖືກຕ້ອງຂອງການຄາດຄະເນ.
| x | y | \(\hat{y}\) | \((y – \hat{y})^2\) |
|—|—-|————|——————–|
| 2 | 81 | 83.4 | (81-83.4)^2 = 5.76 |
| 4 | 93 | 88.2 | (93-88.2)^2 = 23.04|
| 6 | 91 | 93.0 | (91-93.0)^2 = 4.00 |
| 8 | 97 | 97.8 | (97-97.8)^2 = 0.64 |
|10 |103 |102.6 | (103-102.6)^2 = 0.16|
SSS:
\[
SSE = 5.76 + 23.04 + 4.00 + 0.64 + 0.16 = 33.6
\]
ດ້ວຍ SSE ທີ່ຂ້ອນຂ້າງນ້ອຍ, ພວກເຮົາສາມາດສະຫຼຸບໄດ້ວ່າເສັ້ນ regression ທີ່ຜະລິດໂດຍວິທີການ least squares ແມ່ນເໝາະສົມກັບຂໍ້ມູນນີ້.
ສະຫຼຸບ
ວິທີການກຳລັງສອງນ້ອຍທີ່ສຸດແມ່ນເຄື່ອງມືການວິເຄາະທາງສະຖິຕິທີ່ມີປະສິດທິພາບສຳລັບການກຳນົດເສັ້ນທີ່ເໝາະສົມທີ່ສຸດສຳລັບຊຸດຂໍ້ມູນ, ຫຼຸດຜ່ອນຄວາມຜິດພາດໃນການຄາດຄະເນໂດຍອີງໃສ່ກຳລັງສອງຂອງຄ່າຜັນປ່ຽນ. ໂດຍການໃຊ້ຂັ້ນຕອນການຄິດໄລ່ຄ່າສະເລ່ຍ, ການປະເມີນຄວາມຊັນ ແລະ ຈຸດຕັດ, ແລະ ການຂຽນ ແລະ ການກວດສອບສົມຜົນເສັ້ນຖົດຖອຍ, ພວກເຮົາສາມາດຄາດຄະເນຄ່າຂອງຕົວແປຕາມຈາກຕົວແປອິດສະຫຼະໄດ້ຢ່າງຖືກຕ້ອງ.
ຄວາມເຂົ້າໃຈທີ່ດີກ່ຽວກັບວິທີການນີ້ແມ່ນມີປະໂຫຍດຫຼາຍໃນຂົງເຂດຕ່າງໆເຊັ່ນ: ເສດຖະສາດ, ຊີວະສະຖິຕິ, ວິສະວະກຳ, ແລະ ສັງຄົມສາດ ບ່ອນທີ່ການວິເຄາະການຖົດຖອຍມັກຖືກນຳໃຊ້ເລື້ອຍໆ. ບົດຄວາມນີ້, ພ້ອມດ້ວຍຕົວຢ່າງທີ່ແນ່ນອນ, ສະແດງໃຫ້ເຫັນເຖິງຄວາມສຳຄັນ ແລະ ປະໂຫຍດຂອງວິທີການນີ້ໃນການວິເຄາະຂໍ້ມູນ.
