ຕົວຢ່າງຄຳຖາມ ແລະ ການສົນທະນາກ່ຽວກັບວົງມົນ ແລະ ຄອດ
ວົງມົນແມ່ນໜຶ່ງໃນຮູບຮ່າງເລຂາຄະນິດພື້ນຖານທີ່ມັກສຶກສາໃນວິຊາຄະນິດສາດ. ແນວຄວາມຄິດທີ່ສຳຄັນອັນໜຶ່ງທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບວົງມົນແມ່ນ chord, ເຊິ່ງເປັນເສັ້ນທີ່ເຊື່ອມຕໍ່ສອງຈຸດໃນວົງມົນໂດຍບໍ່ຜ່ານຈຸດໃຈກາງ. ການເຂົ້າໃຈວົງມົນ ແລະ chords ແມ່ນສິ່ງຈຳເປັນຕໍ່ການສຶກສາເລຂາຄະນິດ. ບົດຄວາມນີ້ຈະປຶກສາຫາລືບັນຫາຕົວຢ່າງ ແລະ ການສົນທະນາທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບວົງມົນ ແລະ chords ເພື່ອເຮັດໃຫ້ຄວາມເຂົ້າໃຈຂອງພວກເຮົາກ່ຽວກັບແນວຄວາມຄິດເຫຼົ່ານີ້ເລິກເຊິ່ງຂຶ້ນ.
ຄວາມເຂົ້າໃຈພື້ນຖານ
ລິນກາຣານ
ວົງມົນແມ່ນການລວບລວມຈຸດທັງໝົດໃນລະນາບທີ່ມີໄລຍະຫ່າງເທົ່າກັນຈາກຈຸດທີ່ກຳນົດໃຫ້ເອີ້ນວ່າຈຸດໃຈກາງ. ຖ້າຈຸດໃຈກາງຂອງວົງມົນແມ່ນຈຸດ O ແລະລັດສະໝີຂອງວົງມົນແມ່ນ r, ຫຼັງຈາກນັ້ນວົງມົນສາມາດສະແດງໄດ້ໂດຍສົມຜົນ (x – O_x)² + (y – O_y)² = r² ໃນຮູບແບບ Cartesian.
ສາຍທະນູ
ຄໍຣດໃນວົງມົນແມ່ນເສັ້ນທີ່ເຊື່ອມຕໍ່ສອງຈຸດໃນວົງມົນ. ຄວາມຍາວຂອງຄໍຣດບໍ່ພຽງແຕ່ຂຶ້ນກັບລັດສະໝີຂອງວົງມົນເທົ່ານັ້ນ ແຕ່ຍັງຂຶ້ນກັບຂະໜາດຂອງມຸມກາງທີ່ຫັນໜ້າໄປທາງມັນອີກດ້ວຍ.
Contoh Soal ແລະ Pembahasan
ຄຳຖາມທີ 1:
ຄຳຖາມ: ໃຫ້ວົງມົນທີ່ມີລັດສະໝີ 10 ຊມ ແລະ ເສັ້ນ AB ທີ່ມີຄວາມຍາວ 16 ຊມ. ຈົ່ງກຳນົດໄລຍະທາງທີ່ສັ້ນທີ່ສຸດຈາກຈຸດໃຈກາງຂອງວົງມົນໄປຫາເສັ້ນ.
ເປບບາຮາຊານ:
ເພື່ອຊອກຫາໄລຍະຫ່າງຈາກຈຸດໃຈກາງຂອງວົງມົນໄປຫາຄໍຣດ, ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ສູດສາມຫຼ່ຽມມຸມສາກທີ່ສ້າງຂຶ້ນລະຫວ່າງລັດສະໝີ, ໄລຍະຫ່າງຈາກຈຸດໃຈກາງໄປຫາຄໍຣດ, ແລະເຄິ່ງໜຶ່ງຂອງຄວາມຍາວຂອງຄໍຣດ.
ສົມມຸດວ່າຈຸດ O ເປັນຈຸດໃຈກາງຂອງວົງມົນ ແລະ ຈຸດ P ເປັນຈຸດທີ່ຢູ່ກາງຂອງເສັ້ນ AB ເຊິ່ງຕັ້ງສາກກັບ AB. ດັ່ງນັ້ນ, OP ແມ່ນໄລຍະຫ່າງຈາກຈຸດໃຈກາງຂອງວົງມົນ O ຫາເສັ້ນ AB.
ໃນສາມຫຼ່ຽມ OAP (ສາມຫຼ່ຽມມຸມສາກທີ່ P), ພວກເຮົາສາມາດນຳໃຊ້ທິດສະດີບົດ Pythagorean:
OP² + AP² = OA²
ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ:
- OA (ລັດສະໝີຂອງວົງມົນ) = 10 ຊມ
- AB (ຄວາມຍາວຂອງເຊືອກໜ້າ) = 16 ຊມ, ສະນັ້ນ AP = 16/2 = 8 ຊມ.
ແທນຄ່າທີ່ຮູ້ຈັກເຂົ້າໃນສົມຜົນ:
OP² + 8² = 10²
OP² + 64 = 100
OP² = 100 – 64
OP² = 36
OP = √36
ໂອພີ = 6
ສະນັ້ນ, ໄລຍະທາງສັ້ນທີ່ສຸດຈາກຈຸດໃຈກາງຂອງວົງມົນໄປຫາເສັ້ນຄອດແມ່ນ 6 ຊມ.
ຄຳຖາມທີ 2:
ຄຳຖາມ: ວົງມົນທີ່ມີຈຸດໃຈກາງ O ມີລັດສະໝີ 8 ຊມ. ຄໍຣດ AB ປະກອບເປັນມຸມກາງ ∠AOB 120°. ຈົ່ງກຳນົດຄວາມຍາວຂອງຄໍຣດ AB.
ເປບບາຮາຊານ:
ເພື່ອຄິດໄລ່ຄວາມຍາວຂອງຄໍຣດທີ່ປະກອບເປັນມຸມກາງ (θ), ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ສູດ:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
ຢູ່ໃສ:
- r ແມ່ນລັດສະໝີຂອງວົງມົນ (8 ຊມ ໃນຄຳຖາມນີ້)
- θ ແມ່ນມຸມທີ່ສ້າງໂດຍຄໍຣດຢູ່ໃຈກາງຂອງວົງມົນ (120° ໃນບັນຫານີ້)
ແທນຄ່າທີ່ຮູ້ຈັກ:
AB = 2 × 8 ຊມ × sin(120°/2)
AB = 16 ຊມ × sin(60°)
AB = 16 ຊມ × (√3 / 2)
AB = 8√3 ຊມ
ດັ່ງນັ້ນ, ຄວາມຍາວຂອງສາຍ AB ແມ່ນ 8√3 ຊມ.
ຄຳຖາມທີ 3:
ຄຳຖາມ: ວົງມົນທີ່ມີລັດສະໝີ 13 ຊມ ແລະ ເສັ້ນ AB ຫ່າງຈາກຈຸດໃຈກາງຂອງວົງມົນ 5 ຊມ. ຈົ່ງກຳນົດຄວາມຍາວຂອງເສັ້ນ AB.
ເປບບາຮາຊານ:
ໃນກໍລະນີນີ້, ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ຮູບສາມຫຼ່ຽມມຸມສາກທີ່ສ້າງຂຶ້ນເພື່ອຊອກຫາຄວາມຍາວຂອງຄໍຣດ. ໃຫ້ຈຸດ O ເປັນຈຸດໃຈກາງຂອງວົງມົນ, ຈຸດ P ເປັນຈຸດເທິງຄໍຣດທີ່ໃກ້ກັບຈຸດໃຈກາງທີ່ສຸດ, ແລະ AB ເປັນຄໍຣດ.
ພວກເຮົາຮູ້ວ່າ:
- OA (ລັດສະໝີຂອງວົງມົນ) = 13 ຊມ
– OP (ໄລຍະກາງຫາເຊືອກໜ້າທະນູ) = 5 ຊມ.
ໃນສາມຫຼ່ຽມ OAP:
OP² + AP² = OA²
ພວກເຮົາພົບ AP (ເຄິ່ງໜຶ່ງຂອງຄວາມຍາວຂອງຄໍຣດ):
5² + AP² = 13²
25 + AP² = 169
AP² = 169 – 25
AP² = 144
AP = √144
AP = 12
ສະນັ້ນ, ຄວາມຍາວຂອງສາຍ AB = 2 × AP = 2 × 12 = 24 ຊມ.
ຄຳຖາມທີ 4:
ຄຳຖາມ: ໃຫ້ວົງມົນທີ່ມີລັດສະໝີ 10 ຊມ. ເສັ້ນ AB ມີຄວາມຍາວ 12 ຊມ. ຈົ່ງກຳນົດຂະໜາດຂອງມຸມກາງ ∠AOB.
ເປບບາຮາຊານ:
ໃນກໍລະນີນີ້, ພວກເຮົາຈຳເປັນຕ້ອງໃຊ້ຄ່າປີ້ນກັບຂອງຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິເພື່ອກຳນົດມຸມກາງ ∠AOB. ອີງຕາມສູດສຳລັບຄວາມຍາວຂອງຄໍຣດທີ່ປະກອບມີມຸມກາງ θ, ພວກເຮົາສາມາດຂຽນສູດຄືນໃໝ່ເພື່ອຄິດໄລ່ θ:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
ຢູ່ໃສ:
- r ແມ່ນລັດສະໝີຂອງວົງມົນ (10 ຊມ)
- AB ແມ່ນຄວາມຍາວຂອງເຊືອກໜ້າ (12 ຊມ)
ຕັ້ງຄ່າສົມຜົນເພື່ອແຍກ sin(θ/2):
12 = 2 × 10 × sin(θ/2)
12 = 20 × ຊິນ (θ/2)
ບາບ (θ/2) = 12/20
ບາບ (θ/2) = 0.6
ຊອກຫາຄ່າຂອງ θ/2:
θ/2 = ບາບ^(-1)(0.6)
θ/2 = 36.87°
ດັ່ງນັ້ນ,:
θ = 2 × 36.87° = 73.74°
ດັ່ງນັ້ນ, ມຸມກາງ ∠AOB ແມ່ນ 73.74°.
ສະຫຼຸບ
ການສຶກສາວົງມົນ ແລະ ຄໍຣດຮຽກຮ້ອງໃຫ້ມີຄວາມເຂົ້າໃຈກ່ຽວກັບເລຂາຄະນິດພື້ນຖານ ແລະ ຕີໂກໂນມິຕີ. ໃນຕົວຢ່າງຂ້າງເທິງ, ພວກເຮົາໄດ້ເຫັນວິທີການໃຊ້ສູດ ແລະ ທິດສະດີບົດຕ່າງໆ, ເຊັ່ນ: ທິດສະດີບົດປີທາໂກຣ, ຟັງຊັນຕີໂກໂນມິຕີ, ແລະ ຄຸນສົມບັດພື້ນຖານຂອງວົງມົນ, ເພື່ອແກ້ໄຂບັນຫາ.
ຜ່ານບັນຫາການຝຶກຝົນເຫຼົ່ານີ້, ຫວັງວ່າຈະສາມາດບັນລຸຄວາມເຂົ້າໃຈທີ່ເລິກເຊິ່ງກວ່າກ່ຽວກັບຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງລັດສະໝີ, ຄວາມຍາວຂອງຄໍຣດ, ແລະມຸມກາງທີ່ໄດ້ຮັບ. ການເຂົ້າໃຈແນວຄວາມຄິດນີ້ແມ່ນເປັນປະໂຫຍດບໍ່ພຽງແຕ່ໃນຄະນິດສາດໃນໂຮງຮຽນເທົ່ານັ້ນ, ແຕ່ຍັງເປັນປະໂຫຍດໃນການນຳໃຊ້ປະຈຳວັນໃນຫຼາຍໆຂົງເຂດຂອງວິທະຍາສາດ ແລະ ວິສະວະກຳ.
