ຕົວຢ່າງຄຳຖາມ ແລະ ການສົນທະນາກ່ຽວກັບການເພີ່ມຟັງຊັນ, ການຫຼຸດຜ່ອນຟັງຊັນ, ແລະ ຟັງຊັນທີ່ຢູ່ນິ້ງ
ຟັງຊັນທາງຄະນິດສາດແມ່ນຫົວຂໍ້ທີ່ຂ້ອນຂ້າງເລິກເຊິ່ງ ແລະ ເຕັມໄປດ້ວຍລັກສະນະຕ່າງໆ, ໜຶ່ງໃນນັ້ນແມ່ນວິທີການວິເຄາະພວກມັນໃນແງ່ຂອງສະຖານະເພີ່ມຂຶ້ນ, ຫຼຸດລົງ, ຫຼື ຢຸດນິ້ງ. ການຮູ້ວ່າຟັງຊັນກຳລັງເພີ່ມຂຶ້ນ, ຫຼຸດລົງ, ຫຼື ຄົງທີ່ໃນຊ່ວງເວລາທີ່ກຳນົດໃຫ້ແມ່ນມີຄວາມສຳຄັນຫຼາຍໃນການນຳໃຊ້ຄະນິດສາດຕ່າງໆ, ລວມທັງເສດຖະສາດ, ຟີຊິກສາດ, ແລະ ວິສະວະກຳ. ບົດຄວາມນີ້ຈະກວມເອົາຕົວຢ່າງ ແລະ ການສົນທະນາຂອງພວກມັນທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບໜ້າທີ່ເພີ່ມຂຶ້ນ, ຫຼຸດລົງ, ແລະ ຢຸດນິ້ງ.
ແມ່ນຫຍັງຄືຟັງຊັນທີ່ເພີ່ມຂຶ້ນ, ຟັງຊັນທີ່ຫຼຸດລົງ, ແລະ ຟັງຊັນທີ່ຢຸດນິ້ງ?
1. ການເພີ່ມຂຶ້ນຂອງຟັງຊັນ: ຟັງຊັນ \(f(x)\) ຖືກກ່າວວ່າເພີ່ມຂຶ້ນໃນຊ່ວງເວລາ \(I\) ຖ້າສຳລັບທຸກໆ \(x_1\) ແລະ \(x_2\) ໃນ \(I\) ດ້ວຍ \(x_1 < x_2\), ເຮົາມີ \(f(x_1) \leq f(x_2)\). 2. ການຫຼຸດລົງຂອງຟັງຊັນ: ໃນທາງກັບກັນ, ຟັງຊັນ \(f(x)\) ຖືກກ່າວວ່າຫຼຸດລົງໃນຊ່ວງເວລາ \(I\) ຖ້າສຳລັບທຸກໆ \(x_1\) ແລະ \(x_2\) ໃນ \(I\) ດ້ວຍ \(x_1 < x_2\), ເຮົາມີ \(f(x_1) \geq f(x_2)\). 3. ຟັງຊັນທີ່ຢຸດນິ້ງ: ຟັງຊັນ \(f(x)\) ຖືກກ່າວວ່າຢຸດນິ້ງໃນຊ່ວງເວລາ \(I\) ຖ້າສຳລັບທຸກໆ \(x\) ໃນ \(I\), ຟັງຊັນມີຄ່າດຽວກັນ, ຄື \(f(x) = c\) ສຳລັບທຸກໆ \(x\) ໃນ \(I\), ບ່ອນທີ່ c ເປັນຄ່າຄົງທີ່. ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 1: ການກຳນົດຊ່ວງເວລາຂອງຟັງຊັນເພີ່ມຂຶ້ນ ໂດຍໃຫ້ຟັງຊັນ \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5\). ກຳນົດຊ່ວງເວລາທີ່ຟັງຊັນເພີ່ມຂຶ້ນ! ການສົນທະນາ: ເພື່ອກຳນົດຊ່ວງເວລາທີ່ຟັງຊັນເພີ່ມຂຶ້ນ, ພວກເຮົາຈຳເປັນຕ້ອງຊອກຫາອະນຸພັນທຳອິດຂອງຟັງຊັນ ແລະ ຈາກນັ້ນວິເຄາະເຄື່ອງໝາຍຂອງອະນຸພັນ. 1. ຂັ້ນຕອນທີ 1: ຊອກຫາອະນຸພັນທີໜຶ່ງ: \[ f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. ຂັ້ນຕອນທີ 2: ກຳນົດຈຸດວິກິດ: ຈຸດວິກິດແມ່ນຈຸດທີ່ອະນຸພັນທີໜຶ່ງເປັນສູນ ຫຼື ບໍ່ໄດ້ກຳນົດໄວ້. \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] ຫານສົມຜົນທັງໝົດດ້ວຍ 6: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] ພວກເຮົາແຍກຕົວປະກອບສົມຜົນກຳລັງສອງນີ້: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] ດັ່ງນັ້ນ, ຈຸດວິກິດແມ່ນ \( x = 2 \) ແລະ \( x = -1 \). 3. ຂັ້ນຕອນທີ 3: ກຳນົດເຄື່ອງໝາຍຂອງອະນຸພັນທຳອິດໃນຊ່ວງເວລາທີ່ສ້າງຂຶ້ນໂດຍຈຸດວິກິດ: ພວກເຮົາຈະສ້າງຕາຕະລາງເຄື່ອງໝາຍສຳລັບ \( f'(x) \) ໃນຊ່ວງເວລາທີ່ \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \), ແລະ \( (2, \infty) \). - ສຳລັບ \( x \in (-\infty, -1) \): ໃຊ້ \( x = -2 \) \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] ເນື່ອງຈາກ \( f'(-2) > 0 \), ຫຼັງຈາກນັ້ນ \( f(x) \) ເພີ່ມຂຶ້ນໃນຊ່ວງເວລາທີ່ \( (-\infty, -1) \).
- ສຳລັບ \( x \in (-1, 2) \): ໃຫ້ໃຊ້ \( x = 0 \)
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
ເນື່ອງຈາກ \( f'(0) < 0 \), ຫຼັງຈາກນັ້ນ \( f(x) \) ກຳລັງຫຼຸດລົງໃນຊ່ວງເວລາ \( (-1, 2) \). - ສຳລັບ \( x \in (2, \infty) \): ໃຫ້ໃຊ້ \( x = 3 \) \[ f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \] ເນື່ອງຈາກ \( f'(3) > 0 \), ຫຼັງຈາກນັ້ນ \( f(x) \) ກຳລັງເພີ່ມຂຶ້ນໃນຊ່ວງເວລາ \( (2, \infty) \).
ດັ່ງນັ້ນ, ຟັງຊັນ \( f(x) \) ຈຶ່ງເພີ່ມຂຶ້ນໃນຊ່ວງເວລາ \( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \).
ຕົວຢ່າງບັນຫາທີ 2: ການກຳນົດໄລຍະຫ່າງຂອງຟັງຊັນທີ່ຫຼຸດລົງ
ໃຫ້ຟັງຊັນ \( g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \). ກຳນົດຊ່ວງເວລາທີ່ຟັງຊັນຫຼຸດລົງ!
ເປບບາຮາຊານ:
1. ຂັ້ນຕອນທີ 1: ຊອກຫາອະນຸພັນທີໜຶ່ງ:
\[ g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2) \]
g'(x) = 16x^3 – 24x^2
2. ຂັ້ນຕອນທີ 2: ກຳນົດຈຸດວິກິດ:
\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]
ສະນັ້ນຈຸດສຳຄັນແມ່ນ \( x = 0 \) ແລະ \( x = \frac{3}{2} \).
3. ຂັ້ນຕອນທີ 3: ກຳນົດເຄື່ອງໝາຍຂອງອະນຸພັນທີໜຶ່ງໃນຊ່ວງເວລາ:
- ສຳລັບ \( x \in (-\infty, 0) \): ໃຫ້ເອົາ \( x = -1 \)
\[ g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40 \]
ເນື່ອງຈາກ \( g'(-1) < 0 \), ຫຼັງຈາກນັ້ນ \( g(x) \) ກຳລັງຫຼຸດລົງໃນຊ່ວງເວລາ \( (-\infty, 0) \). - ສຳລັບ \( x \in (0, \frac{3}{2}) \): ໃຫ້ໃຊ້ \( x = 1 \) \[ g'(1) = 16(1)^3 - 24(1)^2 = 16 - 24 = -8 \] ເນື່ອງຈາກ \( g'(1) < 0 \), ຫຼັງຈາກນັ້ນ \( g(x) \) ກຳລັງຫຼຸດລົງໃນຊ່ວງເວລາ \( (0, \frac{3}{2}) \). - ສຳລັບ \( x \in (\frac{3}{2}, \infty) \): ໃຫ້ໃຊ້ \( x = 2 \) \[ g'(2) = 16(2)^3 - 24(2)^2 = 128 - 96 = 32 \] ເນື່ອງຈາກ \( g'(2) > 0 \), ຫຼັງຈາກນັ້ນ \( g(x) \) ເພີ່ມຂຶ້ນໃນຊ່ວງເວລາ \( (\frac{3}{2}, \infty) \).
ດັ່ງນັ້ນ, ຟັງຊັນ \( g(x) \) ຫຼຸດລົງຕາມຊ່ວງເວລາ \( (-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \).
ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 3: ການກຳນົດໄລຍະຫ່າງຂອງຟັງຊັນທີ່ພັກຜ່ອນ
ເມື່ອໃຫ້ຟັງຊັນ \( h(x) = 7 \), ໃຫ້ກຳນົດຊ່ວງເວລາທີ່ຟັງຊັນຢຸດນິ້ງ!
ເປບບາຮາຊານ:
ຟັງຊັນຄົງທີ່ເຊັ່ນ \( h(x) = 7 \) ມີອະນຸພັນອັນດັບໜຶ່ງຂອງສູນສຳລັບທຸກໆ \( x \):
\[ h'(x) = 0 \]
ເນື່ອງຈາກອະນຸພັນທຳອິດເປັນສູນສະເໝີ, ຟັງຊັນຈະຢູ່ກັບທີ່ໃນທຸກໂດເມນ, ດັ່ງນັ້ນພວກເຮົາສາມາດເວົ້າໄດ້ວ່າຟັງຊັນ \(h(x) = 7\) ແມ່ນຢູ່ກັບທີ່ໃນທຸກຈຳນວນຈິງ, ເຊິ່ງໃນສັນຍາລັກຊ່ວງເວລາແມ່ນ \((-\infty, \infty)\).
ສະຫຼຸບ
ການເຂົ້າໃຈໄລຍະຫ່າງຂອງສະຖານະເພີ່ມຂຶ້ນ, ຫຼຸດລົງ, ແລະ ຢູ່ກັບທີ່ຂອງຟັງຊັນແມ່ນສ່ວນໜຶ່ງທີ່ສຳຄັນຂອງການວິເຄາະຟັງຊັນ. ຜ່ານຕົວຢ່າງຂ້າງເທິງ, ພວກເຮົາໄດ້ກວມເອົາແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານ ແລະ ຂັ້ນຕອນຕ່າງໆທີ່ຈຳເປັນເພື່ອຊອກຫາໄລຍະຫ່າງເຫຼົ່ານີ້. ຄວາມຮູ້ນີ້ແມ່ນມີປະໂຫຍດຫຼາຍໃນການນຳໃຊ້ຄະນິດສາດທັງພາກປະຕິບັດ ແລະ ທິດສະດີຕ່າງໆ.
