ຕົວຢ່າງຄຳຖາມ ແລະ ການສົນທະນາກ່ຽວກັບການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ
ການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວແມ່ນໜຶ່ງໃນການແຈກຢາຍຄວາມເປັນໄປໄດ້ແບບບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງທີ່ໃຊ້ກັນຫຼາຍທີ່ສຸດ. ມັນເປັນປະໂຫຍດສຳລັບການສ້າງແບບຈຳລອງຈຳນວນຄວາມສຳເລັດໃນການທົດລອງທີ່ເປັນອິດສະຫຼະທີ່ຄືກັນຈຳນວນໜຶ່ງ, ເຊິ່ງແຕ່ລະການທົດລອງລ້ວນແຕ່ປະສົບຜົນສຳເລັດ ຫຼື ລົ້ມເຫຼວ. ໃນບົດຄວາມນີ້, ພວກເຮົາຈະເຈາະເລິກເຂົ້າໄປໃນການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວໂດຍການໃຫ້ຕົວຢ່າງຫຼາຍໆຢ່າງ ແລະ ການສົນທະນາລະອຽດ.
ການແນະນຳກ່ຽວກັບການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ
ລັກສະນະຫຼັກຂອງການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ:
1. n: ຈຳນວນການທົດລອງ ຫຼື ການເຮັດຊ້ຳ.
2. p: ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມສຳເລັດໃນແຕ່ລະການທົດລອງ.
3. q = 1-p: ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມລົ້ມເຫຼວໃນແຕ່ລະການທົດລອງ.
ຟັງຊັນມວນສານຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມແມ່ນ:
\[ P(X = k) = {n \ເລືອກ k} p^k (1-p)^{nk} \]
ຢູ່ໃສ:
– \( {n \ເລືອກ k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): ຕົວແປແບບສຸ່ມທີ່ສະແດງເຖິງຈຳນວນຄວາມສຳເລັດ.
– \( k \): ຈຳນວນຄວາມສຳເລັດທີ່ຕ້ອງການ.
Contoh Soal ແລະ Pembahasan
ໃຫ້ເລີ່ມຕົ້ນດ້ວຍບັນຫາຕົວຢ່າງບາງຢ່າງເພື່ອເຂົ້າໃຈແນວຄວາມຄິດຂອງການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມໃຫ້ລະອຽດກວ່າ.
ຕົວຢ່າງທີ 1: ການເລືອກຈາກກຸ່ມນັກຮຽນ
ຕົວຢ່າງ, ສົມມຸດວ່າພວກເຮົາມີກຸ່ມນັກຮຽນ 10 ຄົນ, ແລະຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ນັກຮຽນແຕ່ລະຄົນຈະຖືກເລືອກໃຫ້ເຂົ້າຮ່ວມການແຂ່ງຂັນແມ່ນ 0,3. ພວກເຮົາຕ້ອງການຮູ້ຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ນັກຮຽນ 4 ຄົນຈະຖືກເລືອກ.
ຂັ້ນຕອນທີ 1: ລະບຸພາລາມິເຕີຂອງການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ.
–\( n = 10\)
-\( p = 0.3\)
ຂັ້ນຕອນທີ 2: ໃຊ້ການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມເພື່ອຄິດໄລ່ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງ \( X = 4 \).
\[ P(X = 4) = {10 \ເລືອກ 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
ກຳລັງຄິດໄລ່ \( {10 \ເລືອກ 4} \):
\[ {10 \ເລືອກ 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
ຕອນນີ້ຄິດໄລ່ \( (0.3)^4 \) ແລະ \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
ດັ່ງນັ້ນ,
\[ P(X = 4) = 210 0.0081 0.117649 ປະມານ 0.20012 ]
ສະນັ້ນ, ຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ນັກຮຽນ 4 ຄົນຈະຖືກຄັດເລືອກແມ່ນປະມານ 0.20012 ຫຼື 20.012%.
ຕົວຢ່າງທີ 2: ຄວາມເປັນໄປໄດ້ໜ້ອຍກວ່າ ຫຼື ເທົ່າກັບ 2
ຕົວຢ່າງ, ບັດນີ້, ພວກເຮົາຖືກຖາມກ່ຽວກັບຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ນັກຮຽນໜ້ອຍກວ່າ ຫຼື ເທົ່າກັບ 2 ຄົນຈະຖືກຄັດເລືອກ.
ຂັ້ນຕອນທີ 1: ພວກເຮົາຕ້ອງຄິດໄລ່ \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), ແລະ \( P(X = 2) \).
– ສຳລັບ \( P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = {10 \ເລືອກ 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \ເລືອກ 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 ∑ 1 ∑ 0.0282475 = 0.0282475 \]
– ສຳລັບ \( P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = {10 \ເລືອກ 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \ເລືອກ 1} = 10 \]
\[ (0.3) ດອດ (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 ∑ 0.3 ∑ 0.1210608 = 0.3631824 \]
– ສຳລັບ \( P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = {10 \ເລືອກ 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \ເລືອກ 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 ດອດ (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 ∑ 0.09 ∑ 0.2334744 = 0.2334744 \]
ຂັ້ນຕອນທີ 2: ບວກຄວາມເປັນໄປໄດ້.
P(X = 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
P(X = 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671
ສະນັ້ນ, ຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ນັກຮຽນໜ້ອຍກວ່າ ຫຼື ເທົ່າກັບ 2 ຄົນຈະຖືກຄັດເລືອກແມ່ນປະມານ 0.7740671 ຫຼື 77.41%.
ຕົວຢ່າງທີ 3: ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຢ່າງໜ້ອຍ 8
ຖ້າການທົດລອງຖືກປະຕິບັດ 12 ເທື່ອ, ແລະຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມສຳເລັດໃນແຕ່ລະການທົດລອງແມ່ນ 0.5, ຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ຈະມີຢ່າງໜ້ອຍ 8 ຄວາມສຳເລັດເກີດຂຶ້ນແມ່ນເທົ່າໃດ?
ຂັ້ນຕອນທີ 1: ກຳນົດພາລາມິເຕີ binomial: \( n = 12, p = 0.5 \).
ຂັ້ນຕອນທີ 2: ຊອກຫາຄວາມເປັນໄປໄດ້ສຳລັບ \( X \geq 8 \).
ສິ່ງນີ້ຮຽກຮ້ອງໃຫ້ຄິດໄລ່ຄວາມເປັນໄປໄດ້ສ່ວນບຸກຄົນຫຼາຍໆຢ່າງ ແລະ ບວກພວກມັນເຂົ້າກັນ:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
ນັບໜຶ່ງເທື່ອ:
– ສຳລັບ \( P(X = 8) \):
\[ P(X = 8) = {12 \ເລືອກ 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \ເລືອກ 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 0.0002441406 = 0.1208496 ]
– ສຳລັບ \( P(X = 9) \):
\[ P(X = 9) = {12 \ເລືອກ 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \ເລືອກ 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 0.0002441406 = 0.05371094 ]
– ສຳລັບ \( P(X = 10) \):
\[ P(X = 10) = {12 \ເລືອກ 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \ເລືອກ 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 0.0002441406 = 0.01611328 ]
– ສຳລັບ \( P(X = 11) \):
\[ P(X = 11) = {12 \ເລືອກ 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \ເລືອກ 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 0.0002441406 = 0.002929688 ]
– ສຳລັບ \( P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \ເລືອກ 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \ເລືອກ 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 0.0002441406 = 0.0002441406 ]
ຂັ້ນຕອນທີ 3: ບວກຄວາມເປັນໄປໄດ້ທັງໝົດ.
\[ P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \ປະມານ 0.1938477 \]
ສະນັ້ນ, ຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ຢ່າງໜ້ອຍ 8 ຄວາມສຳເລັດເກີດຂຶ້ນໃນ 12 ການທົດລອງແມ່ນປະມານ 0.1938477 ຫຼື 19.38%.
ສະຫຼຸບ
ການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວແມ່ນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານໃນສະຖິຕິທີ່ມີຄວາມສຳຄັນຫຼາຍໃນການນຳໃຊ້ຕົວຈິງຫຼາຍຢ່າງ. ໂດຍການເຂົ້າໃຈວິທີການຄິດໄລ່ຄວາມເປັນໄປໄດ້ສຳລັບກໍລະນີຕ່າງໆຂອງການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວ, ດັ່ງທີ່ສະແດງຢູ່ໃນຕົວຢ່າງຂ້າງເທິງ, ພວກເຮົາສາມາດນຳໃຊ້ແນວຄວາມຄິດນີ້ໃນສະຖານະການຕົວຈິງ. ບົດຝຶກຫັດນີ້ຍັງເສີມສ້າງຄວາມເຂົ້າໃຈຂອງພວກເຮົາກ່ຽວກັບວິທີການເຮັດວຽກຂອງໂຄງສ້າງຄວາມເປັນໄປໄດ້ໃນສະພາບການທີ່ຊັດເຈນ ແລະ ເປັນລະບຽບ.
