ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ່ສົນທະນາກ່ຽວກັບຊຸດເລຂາຄະນິດທີ່ບໍ່ມີຂອບເຂດ

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ່ສົນທະນາກ່ຽວກັບຊຸດເລຂາຄະນິດທີ່ບໍ່ມີຂອບເຂດ

ຊຸດເລຂາຄະນິດທີ່ບໍ່ມີຂອບເຂດແມ່ນຊຸດທີ່ປະກອບມີຈຳນວນພະຍັນຊະນະທີ່ບໍ່ມີຂອບເຂດໃນຄວາມຄືບໜ້າທາງເລຂາຄະນິດ. ຊຸດເຫຼົ່ານີ້ມີຂໍ້ກຳນົດສະເພາະສຳລັບຜົນບວກ (ຫຼື ຂີດຈຳກັດ) ຂອງພວກມັນເພື່ອໃຫ້ສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້. ໃນບົດຄວາມນີ້, ພວກເຮົາຈະປຶກສາຫາລືກ່ຽວກັບແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານຂອງຊຸດເລຂາຄະນິດທີ່ບໍ່ມີຂອບເຂດ, ຂໍ້ກຳນົດສຳລັບການສ້າງພວກມັນ, ແລະບັນຫາຕົວຢ່າງຫຼາຍຢ່າງ ແລະ ວິທີແກ້ໄຂຂອງພວກມັນ.

ແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານຂອງຊຸດເລຂາຄະນິດທີ່ບໍ່ມີຂອບເຂດ

ໂດຍພື້ນຖານແລ້ວ, ຊຸດເລຂາຄະນິດແມ່ນລຳດັບຂອງຕົວເລກທີ່ແຕ່ລະພົດຫຼັງຈາກພົດທຳອິດແມ່ນໄດ້ມາຈາກການຄູນພົດກ່ອນໜ້ານີ້ດ້ວຍຄ່າຄົງທີ່ທີ່ເອີ້ນວ່າອັດຕາສ່ວນຮ່ວມ (r). ສົມມຸດວ່າພວກເຮົາມີຊຸດເລຂາຄະນິດ:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \ldots \]

ສຳລັບຊຸດເລຂາຄະນິດທີ່ບໍ່ມີຂອບເຂດ, ພວກເຮົາພິຈາລະນາຜົນບວກຂອງທຸກພົດໃນຊຸດ. ຜົນບວກຂອງຊຸດນີ້ຖືກນິຍາມເປັນ:
\[ S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \dot \]

Jumlah dari deret geometri tak hingga konvergen (memiliki nilai tertentu) jika dan hanya jika nilai dari rasio \( |r| < 1 \). Jika \( |r| \geq 1 \), maka deret tersebut divergen dan tidak memiliki jumlah tertentu (mengarah ke tak terhingga). Bila \( |r| < 1 \), jumlah S dari deret geometri tak hingga dapat didefinisikan sebagai: \[ S = \frac{a}{1-r} \] di mana: - \( S \) adalah jumlah deret, - \( a \) adalah suku pertama, - \( r \) adalah rasio. Contoh Soal dan Pembahasan Contoh Soal 1 Soal: Tentukan jumlah deret geometri tak hingga untuk deret berikut: \[ 3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 + \ldots \] Pembahasan: Mari kita identifikasi elemen-elemen penting dari deret tersebut: Suku pertama \( a = 3 \) Rasio \( r \) dapat ditemukan dengan membagi suku kedua dengan suku pertama, yaitu: \[ r = \frac{1.5}{3} = 0.5 \] Karena \( |r| = 0.5 < 1 \), deret ini konvergen dan kita dapat menghitung jumlah deret tak hingga. Gunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{3}{1-0.5} \] \[ S = \frac{3}{0.5} \] \[ S = 6 \] Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 6. Contoh Soal 2 Soal: Tentukan jumlah dari deret geometri tak hingga dengan suku pertama 8 dan rasio \( r = -\frac{1}{3} \). Pembahasan: Suku pertama \( a = 8 \) Rasio \( r = -\frac{1}{3} \) Karena \( |r| = \frac{1}{3} < 1 \), deret ini konvergen dan kita dapat menghitung jumlah deret tak hingga. Gunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{8}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \] \[ S = \frac{8}{1 + \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{8}{\frac{4}{3}} \] \[ S = 8 \times \frac{3}{4} \] \[ S = 6 \] Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 6. Contoh Soal 3 Soal: Apakah deret berikut memiliki jumlah tak hingga? Jika iya, temukan jumlahnya. \[ 5 + 2.5 + 1.25 + 0.625 + \ldots \] Pembahasan: Suku pertama \( a = 5 \) Rasio \( r \) dapat ditemukan dengan membagi suku kedua dengan suku pertama, yaitu: \[ r = \frac{2.5}{5} = 0.5 \] Karena \( |r| = 0.5 < 1 \), deret ini konvergen dan kita dapat menghitung jumlah deret tak hingga. Gunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{5}{1-0.5} \] \[ S = \frac{5}{0.5} \] \[ S = 10 \] Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 10. Contoh Soal 4 Soal: Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen: \[ 4 - 6 + 9 - 13.5 + \ldots \] Pembahasan: Suku pertama \( a = 4 \) Rasio \( r \) dapat ditemukan dengan membagi suku kedua dengan suku pertama, yaitu: \[ r = \frac{-6}{4} = -1.5 \] Karena \( |r| = 1.5 > 1 \), deret ini divergen dan tidak memiliki jumlah tertentu.

ດັ່ງນັ້ນ, ຊຸດດັ່ງກ່າວຈຶ່ງແຕກຕ່າງກັນ.

ຕົວຢ່າງຄຳຖາມທີ 5
ຄຳຖາມ: ສົມມຸດວ່າເຈົ້າມີຊຸດອະນັນຕະຕໍ່ໄປນີ້:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots \]
ກຳນົດຜົນບວກຂອງຊຸດ.

ເປບບາຮາຊານ:
ພົດທຳອິດ \( a = \frac{1}{2} \)
ອັດຕາສ່ວນ \(r\) ສາມາດພົບໄດ້ໂດຍການຫານພົດທີສອງດ້ວຍພົດທຳອິດ, ນັ້ນຄື:
\[ r = \frac{\frac{1}{4}\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]

ເນື່ອງຈາກ \( |r| = \frac{1}{2} < 1 \), ຊຸດນີ້ມາบรรจบກັນ ແລະ ພວກເຮົາສາມາດຄິດໄລ່ຜົນບວກຂອງຊຸດອະນັນໄດ້. ໃຊ້ສູດສຳລັບຜົນບວກຂອງຊຸດເລຂາຄະນິດອະນັນ: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \] \[ S = 1 \] ດັ່ງນັ້ນ, ຜົນບວກຂອງຊຸດເລຂາຄະນິດອະນັນແມ່ນ 1. ສະຫຼຸບ ຊຸດເລຂາຄະນິດອະນັນແມ່ນແນວຄິດທາງຄະນິດສາດທີ່ສຳຄັນທີ່ມີການນຳໃຊ້ຢ່າງກວ້າງຂວາງໃນຂົງເຂດຕ່າງໆ. ເພື່ອກຳນົດຜົນບວກຂອງຊຸດເລຂາຄະນິດອະນັນ, ພວກເຮົາຕ້ອງຮັບປະກັນວ່າອັດຕາສ່ວນ \( |r| < 1 \). ດັ່ງນັ້ນ, ຜົນບວກຂອງຊຸດສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ໂດຍໃຊ້ສູດທີ່ງ່າຍດາຍ ແລະ ຊັດເຈນ. ຈາກຕົວຢ່າງບັນຫາຂ້າງເທິງ, ພວກເຮົາສາມາດເຫັນໄດ້ວ່າເຕັກນິກນີ້ເຮັດໃຫ້ມັນງ່າຍຫຼາຍໃນການແກ້ໄຂບັນຫາທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບຊຸດເລຂາຄະນິດອະນັນ.