ກົດລະບຽບສຳລັບການຕື່ມຊ່ອງຫວ່າງໃນຄະນິດສາດ
ກົດການຕື່ມພື້ນທີ່, ເຊິ່ງເອີ້ນກັນວ່າກົດການຫັນປ່ຽນ ແລະ ກົດການລວມ, ແມ່ນແນວຄິດພື້ນຖານໃນຄວາມເປັນໄປໄດ້ ແລະ ສະຖິຕິ. ກົດເຫຼົ່ານີ້ຊ່ວຍໃຫ້ພວກເຮົາສາມາດນັບຈຳນວນວິທີທີ່ແຕກຕ່າງກັນໃນການຈັດລຽງ ຫຼື ເລືອກຊຸດສະສົມຂອງວັດຖຸຕ່າງໆ. ໃນບົດຄວາມນີ້, ພວກເຮົາຈະຄົ້ນຫາແນວຄິດພື້ນຖານ, ການນຳໃຊ້ ແລະ ຕົວຢ່າງຕົວຈິງຂອງກົດການຕື່ມພື້ນທີ່.
ຄວາມເຂົ້າໃຈພື້ນຖານ
ໃນຄະນິດສາດ, ກົດເກນການຕື່ມຕຳແໜ່ງແມ່ນໃຊ້ເພື່ອນັບຈຳນວນວິທີທີ່ແຕກຕ່າງກັນໃນການຈັດລຽງ ຫຼື ເລືອກອົງປະກອບໃນຊຸດ. ມີສອງແນວຄວາມຄິດຫຼັກໃນກົດເກນເຫຼົ່ານີ້ຄື: ການປ່ຽນແທນ ແລະ ການລວມກັນ.
ການປ່ຽນຮູບ
ການປ່ຽນຮູບແມ່ນການຈັດລຽງວັດຖຸຄືນໃໝ່ຕາມລຳດັບສະເພາະ. ໃນການປ່ຽນຮູບ, ລຳດັບແມ່ນມີຄວາມສຳຄັນຫຼາຍ. ຕົວຢ່າງ, ການປ່ຽນຮູບຂອງວັດຖຸສາມຢ່າງ A, B, ແລະ C ແມ່ນ:
-ABC
- ເອຊີບີ
– BAC
- ທະນາຄານກາງສະຫະລັດ (BCA)
– ຕູ້ໂດຍສານ
– ທະນາຄານກາງ
ຖ້າພວກເຮົາມີວັດຖຸ n ອັນ, ຈຳນວນການປ່ຽນແປງຂອງວັດຖຸ n ອັນແມ່ນ n!. ສັນຍະລັກແຟັກເຕີຣຽວ (n!) ໝາຍເຖິງການຄູນຂອງຈຳນວນເຕັມບວກທັງໝົດຈົນເຖິງ n. ຕົວຢ່າງ, 3! = 3 × 2 × 1 = 6.
ຖ້າພວກເຮົາຕ້ອງການຄິດໄລ່ການປ່ຽນແປງຂອງວັດຖຸ n ວັດຖຸທີ່ຖືກນຳມາ r ຄັ້ງລະອັນ, ພວກເຮົາໃຊ້ສູດການປ່ຽນແປງ:
\[ P(n, r) = \frac{n!}{(nr)!} \]
ການປະສົມປະສານ
ການລວມກັນແມ່ນການເລືອກວັດຖຸໂດຍບໍ່ຄໍານຶງເຖິງລໍາດັບ. ຕົວຢ່າງ, ການລວມກັນຂອງວັດຖຸສາມຢ່າງ A, B, ແລະ C ທີ່ຖືກເອົາສອງຢ່າງພ້ອມກັນແມ່ນ:
– AB
- AC
– BC
ຈຳນວນການລວມກັນຂອງວັດຖຸ n ຊະນິດທີ່ເອົາ r ມາໃຊ້ໃນເວລາດຽວກັນແມ່ນສະແດງໂດຍ \( C(n, r) \) ຫຼື \( \binom{n}{r} \), ແລະຄິດໄລ່ໂດຍສູດ:
\[ C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \]
ການຈັດຕັ້ງປະຕິບັດກົດລະບຽບການຕື່ມສະຖານທີ່
ກົດລະບຽບການຕື່ມພື້ນທີ່ມີການນຳໃຊ້ຕົວຈິງຫຼາຍຢ່າງໃນຂົງເຂດຕ່າງໆເຊັ່ນ: ສະຖິຕິ, ຄວາມເປັນໄປໄດ້, ວິທະຍາສາດຄອມພິວເຕີ ແລະ ການຄົ້ນຄວ້າທາງວິທະຍາສາດ.
ໃນສະຖິຕິ
ໃນສະຖິຕິ, ກົດລະບຽບການຕື່ມຊ່ອງຫວ່າງແມ່ນໃຊ້ເພື່ອຄິດໄລ່ຈຳນວນວິທີທີ່ເປັນໄປໄດ້ໃນການຈັດລຽງຂໍ້ມູນ. ຕົວຢ່າງ, ໃນການສຳຫຼວດ, ພວກເຮົາອາດຈະຕ້ອງການຮູ້ວ່າພວກເຮົາສາມາດເລືອກຕົວຢ່າງຈາກປະຊາກອນໄດ້ຈັກວິທີທີ່.
ໃນຄວາມເປັນໄປໄດ້
ໃນດ້ານຄວາມເປັນໄປໄດ້, ກົດເກນການຕື່ມຕຳແໜ່ງຊ່ວຍຄິດໄລ່ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງເຫດການທີ່ຈະເກີດຂຶ້ນ. ຕົວຢ່າງ, ພວກເຮົາສາມາດຄິດໄລ່ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງການໄດ້ຮັບໄພ້ປະສົມທີ່ແນ່ນອນໃນເກມໂປ໊ກເກີ.
ໃນວິທະຍາສາດຄອມພິວເຕີ
ໃນວິທະຍາສາດຄອມພິວເຕີ, ກົດລະບຽບການຕື່ມຕຳແໜ່ງແມ່ນໃຊ້ໃນອັລກໍຣິທຶມ ແລະ ໂຄງສ້າງຂໍ້ມູນ. ຕົວຢ່າງ, ໃນການຂຽນໂປຣແກຣມ, ພວກເຮົາອາດຈະຕ້ອງການຮູ້ຈຳນວນວິທີທີ່ແຕກຕ່າງກັນໃນການຈັດຮຽງຂໍ້ມູນ.
Contoh Soal ແລະ Pembahasan
ເພື່ອເຂົ້າໃຈຕື່ມອີກ, ໃຫ້ພວກເຮົາພິຈາລະນາຕົວຢ່າງຄຳຖາມ ແລະ ການສົນທະນາຂອງພວກມັນ.
ຕົວຢ່າງທີ 1: ການປ່ຽນຮູບແບບໂດຍບໍ່ມີການເຮັດຊ້ຳ
ເຈົ້າສາມາດຈັດລຽງຄຳວ່າ "ຄະນິດສາດ" ໄດ້ຈັກວິທີ?
ຄຳວ່າ "ຄະນິດສາດ" ປະກອບດ້ວຍຕົວອັກສອນ 10 ຕົວ, ເຊິ່ງບາງຕົວກໍ່ຊ້ຳກັນ. ເພື່ອຄິດໄລ່ຈຳນວນການປ່ຽນແປງຂອງຄຳສັບນີ້, ພວກເຮົາໃຊ້ສູດ:
\[ \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_m!} \]
ບ່ອນທີ່ \( n \) ແມ່ນຈຳນວນຕົວອັກສອນທັງໝົດ ແລະ \( k_1, k_2, \ldots, k_m \) ແມ່ນຈຳນວນຄັ້ງຂອງການຊ້ຳຂອງແຕ່ລະຕົວອັກສອນ. ໃນຄຳວ່າ "ຄະນິດສາດ":
- ມ: 2 ເທື່ອ
- ກ: 3 ເທື່ອ
- ທ: 2 ເທື່ອ
– E: 1 ເທື່ອ
- ຂ້ອຍ: 1 ເທື່ອ
– K: 1 ເທື່ອ
ດັ່ງນັ້ນ, ຈຳນວນການປ່ຽນແປງແມ່ນ:
\[ \frac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{3628800}{2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{3628800}{24} = 151200 \]
ສະນັ້ນ, ມີ 151200 ວິທີໃນການຈັດລຽງຄຳວ່າ "ຄະນິດສາດ".
ຕົວຢ່າງທີ 2: ການລວມກັນ
ມີຈັກວິທີທີ່ຈະເລືອກນັກຮຽນ 3 ຄົນຈາກນັກຮຽນ 5 ຄົນ?
ພວກເຮົາໃຊ້ສູດປະສົມ:
\[ C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \]
ດ້ວຍ n = 5 ແລະ r = 3:
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
ສະນັ້ນ, ມີ 10 ວິທີທີ່ຈະເລືອກນັກຮຽນ 3 ຄົນຈາກນັກຮຽນ 5 ຄົນ.
ຕົວຢ່າງທີ 3: ການປ່ຽນຮູບແບບດ້ວຍການເຮັດຊ້ຳ
ຖ້າຕົວອັກສອນ O ປາກົດສອງຄັ້ງ, ເຈົ້າຈະຈັດລຽງຄຳວ່າ "BALLOON" ໄດ້ຈັກວິທີ?
ຄຳວ່າ "BALLOON" ປະກອບດ້ວຍຕົວອັກສອນ 5 ຕົວ ທີ່ມີຕົວອັກສອນໜຶ່ງຕົວຊ້ຳກັນ (O). ພວກເຮົາໃຊ້ສູດ:
\[ \frac{n!}{k!} \]
ບ່ອນທີ່ n ແມ່ນຈຳນວນຕົວອັກສອນທັງໝົດ ແລະ k ແມ່ນຈຳນວນການຊ້ຳຂອງຕົວອັກສອນ. ໃນຄຳວ່າ "BALLOON":
- n = 5
- k = 2 (ຕົວອັກສອນ O)
ດັ່ງນັ້ນ, ຈຳນວນການປ່ຽນແປງແມ່ນ:
\[ \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60 \]
ສະນັ້ນ, ມີ 60 ວິທີໃນການຈັດລຽງຄຳວ່າ "BALLOON" ໂດຍໃຫ້ຕົວອັກສອນ O ປາກົດສອງຄັ້ງ.
ສະຫຼຸບ
ກົດລະບຽບການຕື່ມຕຳແໜ່ງແມ່ນແນວຄວາມຄິດທີ່ສຳຄັນໃນຄະນິດສາດທີ່ໃຊ້ເພື່ອນັບຈຳນວນວິທີທີ່ແຕກຕ່າງກັນໃນການຈັດລຽງ ຫຼື ເລືອກອົງປະກອບໃນຊຸດ. ການເຂົ້າໃຈການປ່ຽນແປງ ແລະ ການປະສົມຊ່ວຍໃຫ້ພວກເຮົາສາມາດແກ້ໄຂບັນຫາຕ່າງໆໃນດ້ານຄວາມເປັນໄປໄດ້, ສະຖິຕິ ແລະ ຂົງເຂດອື່ນໆອີກຫຼາຍຢ່າງ. ການເຂົ້າໃຈ ແລະ ການເປັນແມ່ບົດໃນແນວຄວາມຄິດເຫຼົ່ານີ້ເປີດໂອກາດຫຼາຍຢ່າງສຳລັບການວິເຄາະ ແລະ ແກ້ໄຂບັນຫາທີ່ສັບສົນຫຼາຍຂຶ້ນໃນສາຂາວິຊາຕ່າງໆ.
