1. Arca 2 kg a 10 m/s ad quietem tardat. Coefficiens frictionis cineticae est 0.2. Acceleratio gravitatis est 10 m/s² . Quae est magnitudo dislocationis?
Notum;
Massa (m) = 2 kg
Velocitas initialis (v o ) = 10 m/s
Velocitas finalis (vt ) = 0 m/s
Coefficiens frictionis cineticae ( μk ) = 0.2
Pondus (w) = mg = (1 kg)(10 m/ s² ) = 10 kg m/ s² = 10 N
Quaesitum: Magnitudo dislocationis (d)
solution:
Principium energiae mechanicae laboris :
W nc = ΔEM
W nc = ΔEK + ΔEP
W nc = ½ m (v t² – v o² ) + mgh
W nc = opus a vi non conservativa in rem agente factum
ΔEK = mutatio energiae cineticae
ΔEP = mutatio energiae potentialis
m = massa
v = velocitas
g = acceleratio gravitatis
h = mutatio altitudinis
Mutatio altitudinis h = 0 ergo ΔEP = 0
W nc = ΔEK
Opus a vi non conservativa perfectum:
W nc = -F c d = - μ k N d = - μ k wd = - μ k mgd
W nc = -(0.2)(2)(10)(s)
W nc = – (4)(2)
Signum minus indicat directionem vis frictionis cineticae oppositam esse directioni translationis.
Mutatio energiae cineticae:
EK = ½ m (v t 2 - v o 2 ) = ½ (2)(0 - 10 2 ) = 0 - 100 = -100
Magnitudo dislocationis:
W nc = ΔEK
– 4 secunda = – 100
s = -100/-4
s = 25 m
[irp]
2. Saxum in plano inclinato deorsum labitur. Coefficiens frictionis cineticae est 0.4. Acceleratio gravitatis est g = 10 ms⁻² . Determina velocitatem finalem cum saxum terram attingit.
Notum:
Altitudo initialis (h₂ ) = 6 m
Altitudo finalis ( ht ) = 0 m
Velocitas initialis (v o ) = 0
Coefficiens frictionis cineticae ( μk ) = 0.4
Acceleratio gravitatis (g) = 10 ms -2
cos θ = 8/10
Pars verticalis ponderis = w y = w cos θ = mg cos θ = m (10) (8/10) = m (10)(4/5) = m (40/5) = 8 m.
Vis normalis = N = w y = 8 m
Vis frictionis cineticae = fk = μk N = μk wy = ( 0.4)(8 m) = 3.2 m
Quaesita: Velocitas finalis ( vt )
solution:
Principium energiae mechanicae-laboris:
W nc = Δ EM
W nc = Δ EK + Δ EP
Mutatio energiae cineticae:
ΔEK = 1/2 m (v)t2 - vo2) = 1/2 m (vt2 - 0) = 1/2 mVt2
Mutatio energiae potentialis:
Δ EP = mg (ht – h₂o ) = m (10)(0-6) = m (10)(-6) = –60 m
Opus per vim frictionis cineticae perfectum:
W nc = – fks = – ( 3.2 m)(10) = – 32 m
Signum minus indicat directionem vis frictionis cineticae oppositam esse directioni translationis.
Velocitas finalis (vt ) :
W nc = Δ EK + Δ EP
– 32 m = 1/2 mv t 2 - 60 m
– 32 m = m (1/2 v t² – 60 )
– 32 = 1/2 v t 2 – 60
– 32 + 60 = 1/2 v t²
28 = 1/2 v t²
2 (28) = v t²
56 = v t²
vt = √4.14
vt = 2 √14 ms -1
[irp]
3. Massa in plano inclinato aspero deorsum labitur. Velocitas initialis est 0 m/s et velocitas finalis est 10 ms⁻¹ . Si vis frictionis cineticae est 2 N et acceleratio gravitatis g = 10 ms⁻² , quid est altitudo (h)?
Notum:
Massa (m) = 1 kg
Velocitas initialis (v o ) = 0 (quies segmenti)
Velocitas finalis (vt ) = 10 ms⁻¹
Altitudo initialis (h₂ ) = h
Altitudo finalis (ht ) = 0
Vis frictionis cineticae (f <sub>k</sub> ) = 2 N
Acceleratio gravitatis (g) = 10 ms -2
Altitudo desiderata (h)
solution:
Opus a vi frictionis cineticae perfectum:
W nc = –fks = –(2 )(15) = –30
Signum minus indicat directionem vis frictionis cineticae oppositam esse directioni translationis.
Mutatio energiae cineticae:
ΔEK = 1/2 m (v)t2 - vo2) = 1/2 (1)(102 - 0) = 1/2 (102) = 1/2 (100) II =
Mutatio energiae potentialis:
Δ EP = mg (h₁₀t – h₂o ) = (1)(10)(0-h) = (10)(-h) = -10 h
Principium energiae mechanicae-laboris:
W nc = Δ EK + Δ EP
– 30 = 50 – 10 horae
Decem horae = quinquaginta + triginta
10 horae = 80
h = 80/10
h = 8 m
4Si saxum per planum fere inclinatum deorsum movetur, tum…
A. Opus a vi gravitatis in saxum factum maius est quam mutatio energiae potentialis saxi.
B. Energia mechanica crescit
C. Quantitas energiae cineticae et energia potentialis eius reducuntur.
D. Opus perficitur a vi frictionis aequali mutationi energiae cineticae massae.
Solutio
A errat
Opus a vi gravitatis in massam factum aequale est mutationi energiae potentialis gravitatis massae.
B errat.
Si planum angulare c leve est, tum energia mechanica lapidis constans est. Cum in summo plani inclinati est et nondum movetur, energia mechanica lapidis aequalis est energiae potentialis gravitatis. Lapis adhuc quiescit, ergo energia eius cinetica nulla est. Cum per planum inclinatum descendit, altitudo lapidis reducitur, ergo energia potentialis gravitatis etiam reducitur. Energia potentialis gravitatis decrescit quia in energiam cineticam mutatur. Quamquam energia potentialis gravitatis in energiam cineticam mutatur, energia mechanica constans est.
Si planum inclinatum asperum est, energia mechanica lapidis minuitur propter opus negativum a vi frictionis factum. Vis frictionis est vis non conservativa. Opus a vi non conservativa in objecto factum efficit ut energia mechanica objecti minuatur.
C recte est.
Planum inclinatum asperum est, ita vis frictionis est quae motum massae impedit. Vis frictionis vis non conservativa est. Theorema "labor-energia mechanica" statuit opus a vi non conservativa factum (exempli gratia, vis frictionis) aequale esse mutationi energiae mechanicae. In hac investigatione, energia mechanica decrescit.
Energia mechanica blocci = energia potentialis gravitatis + energia cinetica.
D errat.
Opus a vi frictionis in massa factum aequale est mutationi energiae mechanicae massae, non mutationi energiae cineticae massae. Verum est vim frictionis motum massae impedire, ita celeritatem massae et energiam cineticam massae minuit. Sed animadvertendum est energiam cineticam massae ex energia potentiali gravitatis venire. Ergo verum est dictum opus a vi frictionis fieri aequale mutationi energiae mechanicae (energia mechanica decrescit).
Responsum rectum est C.
5. Res in pavimento aspero percussa est, ita ut per 3 secundas moveatur, deinde consistat. Si massa nota rei 10 grammata est, vis frictionis inter rem et pavimentum 2 kilodynae est. Opus a vi frictionis factum determina.
A. 0.18 J
B. -0.18 J
Circa 668 000 J
D. -0.36 J
Notum:
Intervallum temporis (t) = 3 secunda
Celeritas finalis (vt ) = 0 m/s (obiectum quiescit)
Massa rei (m) = 10 grammata = 10/1000 kg = 1/100 kg = 0.01 kg
Vis frictio (F) = 2 chiliodynes = 2 x 10 3 dynes
Opus desideratum (W) a vi frictionis perfectum
solution:
Conversio unitatum vis:
1 Newton = 1 × 10⁵ dyna
1 dyna = 1 / 10⁵ Newtoni = 1 × 10⁻⁵ Newtoni = 10⁻⁵ Newtoni
Vis frictionis (F) = 2 × 10³ dyna = 2 × 10³ x 10⁻⁵ Newton = 2 × 10⁻² Newton = 2/100 Newton = 0.02 Newton
Theorema laboris-energiae mechanicae affirmat opus fieri a vi non conservativa in objectum aequalem mutationi energiae mechanicae objecti.
Si res in plano inclinato movetur, tum energia mechanica (EM) = energia potentialis gravitatis (EP) + energia cinetica (EC). At si res tantum in plano horizontali movetur, ita ut nulla mutatio altitudinis sit, energia mechanica = energia cinetica. In plano horizontali, energia potentialis gravitatis nulla est quia nulla mutatio altitudinis est.
Vis frictionis est vis non conservativa. Vis frictionis plerumque celeritatem obiecti et energiam cineticam obiecti diminuit. Concludi potest opus a vi frictionis in obiectum factum aequale esse diminutionibus energiae mechanicae.
Mathematice:
Opus (W) = Mutatio energiae mechanicae (ΔEM)
Fs = ΔEP + ΔEK
Fs = mg Δh + ½ m ( v t² – v o² )
Fs = mg (0) + ½ m ( 0² – v o² )
Fs = 0 + ½ m (– ( v₂ ) )
Fs = – ½ mv o² ———— Aequatio 1
Descriptio: F = vis frictionis, d = dislocatio, m = massa, v o = celeritas initialis
Dislocatio (d) et celeritas initialis (v₀ ) nondum notae sunt, quia primum v₀ vel d computandum est . Opus a vi frictionis factum, post cognitionem v₀ vel d , computatur utens una ex aequationibus.
Aequatio dislocationis (d) in motu lineari non uniformi:
vt² = v₀² + 2 (-a ) s
Celeritas finalis (vt ) = 0 et acceleratio (a) signo negativo est quia res deceleratur (celeritas rei minuitur).
0 = vo2 – 2 praeconia
vo2 = 2 ad
d = v₂ / 2₁ a ———— Aequatio 2
Muta "d" in aequatione 2 cum "d" in aequatione 1:
F d = – ½ mv O²
F ( v₂O₂ / 2a ) = – ½ mv₂O₂
( F /2a) v₂O₂ = – ½ mV₂O₂
F/2a = – ½ m
F = (2)(a)(-1/2)(m)
F = – (a)(m)
a = – (F / m)
a = – 0.02 Newtoni / 0.01 chiliogrammata
a = – 2 Newtoni/kilogramma
a = – 2 m/ s²
Aequatio ad celeritatem initialem (v o ) in motu lineari non uniformi calculandam:
vt = v o + apud —–> Celeritas finalis (vt ) = 0, Acceleratio (a) = 2 m/s² , intervallum temporis (t) = 3 secunda.
0 = v o + (-2)(3)
0 = v o – 6
v o = 6 metra/secundum
Opus (W) a vi frictionis perfectum:
W = - mv o 2 = -1/2 (0.01)(6 2 ) = -1/2 (0.01)(36).
W = -1/2 (0.36)
W = – 0.18 Joule
Opus a vi frictionis factum signo negativo est, quod significat laborem energiam mechanicam obiecti diminuere.
Si *d* cognitum est, opus per aequationem W = F*d calculari potest.
Responsum rectum est B.
[wpdm_package id='1178′]
- Opus a vi factum, problemata et solutiones
- Problemata et solutiones energiae cineticae laboris
- Problemata et solutiones principii energiae mechanicae laboris
- Problemata et solutiones energiae potentialis gravitationalis
- Problemata et solutiones energiae potentialis elasticae elasticae
- Problemata et solutiones potentiae
- Applicatio conservationis energiae mechanicae ad motum casus liberi
- Applicatio conservationis energiae mechanicae pro motu sursum et deorsum in motu casus liberi.
- Applicatio conservationis energiae mechanicae ad motum in superficie curva
- Applicatio conservationis energiae mechanicae ad motum in plano inclinato
- Applicatio conservationis energiae mechanicae ad motum proiectilium
