仕事と運動エネルギー ― 問題点と解決策

仕事-運動エネルギー：

1.質量5000kgの車が静止状態から20m/sまで加速した。車に対して行われた正味の仕事量を求めよ。

既知：

質量(m) = 5000 kg

初速度(v _o ) = 0 m/s (車が静止している状態)

最終速度(v _t ) = 20 m/s

求む：ネットワーク

解決策：

仕事と運動エネルギーの原理：

W_ネット= ΔEK​

W _net = 1/2 m (v _t ² – v _o ² )

W_ネット＝ネットワークワーク

ΔEK =運動エネルギーの変化

m = 質量 (kg)

v _t =最終速度(m/s)、

v _o =初速度(m/s)。

ネットワーク：

W _net = 1/2 m (v _t ² – v _o ² )

W _net = 1/2 (5000)(20 ² – 0 ² )

W_ネット= (2500)(400 – 0)

W_ネット= (2500)(400)

W_ネット= 1000,000ジュール

[irp]

2.質量10kgの物体が5m/sから10m/sまで加速した。物体に対して行われた正味の仕事量を求めよ。

既知：

質量(m) = 10 kg

初速度(v _o ) = 5 m/s

最終速度(v _t ) = 10 m/s

求む：ネットワーク

解決策：

ネットワーク：

W_ネット= ΔEK​

W _net = 1/2 m (v _t ² – v _o ² )

W _net = 1/2 (10)(10 ² – 5 ² )

W_ネット= (5)(100 – 25)

W_ネット= (5)(75)

W_ネット= 375ジュール

3.質量2000kgの車が10m/sから5m/sまで減速します。車に対して行われた仕事はいくらですか？

既知：

車の質量 (m) = 2000 kg

初速度(v _o ) = 10 m/s

最終速度(v _t ) = 5 m/s

求む：ネットワーク

解決策：

ネットワーク：

W_ネット= ΔEK​

W _net = 1/2 m (v _t ² – v _o ² )

W _net = 1/2 (2000)(5 ² – 10 ² )

W_ネット= (1000)(25 – 100)

W_ネット= (1000)(-75)

W_ネット= -75,000ジュール

マイナス符号は、変位の方向が正味の力の方向と逆であることを示しています。

4. 10kgの物体に60Nの一定の力が12秒間加えられる。物体の初速度は6m/sで、物体の方向は力の方向と同じである。

（１）物体に対して行われた仕事は３０,240ジュールである

（２）最終的な運動エネルギーは30,240ジュールである

（３）電力は２５２０ワット

（４）物体の運動エネルギーの増加は１８０ジュールである

正しい記述は…

既知：

力（F）= 60 N

時間間隔 (t) = 12 秒

物体の質量 (m) = 10 kg

初速度 (v _o ) = 6 m/s

求む：正しい記述

解決策：

物体の加速度：

∑F = ma

60 = 10 a

a = 60 / 10 = 6 m/ ^s²

最終速度：

v _t = v _o + at

v _t = 6 + (6)(12)

v _t = 6 + 72

v _t = 78 m/s

12秒間に移動した距離：

s = v _o t + 1/2 at ²

s = (6)(12) + 1/2 (6)(12) ²

s = 72 + (3)(144)

s = 72 + 432

s = 504 メートル

（１）力によってなされた仕事

W = F s = (60)(504) = 30,240ジュール

（２）最終運動エネルギー

KE = 1/2 mv _t ² = 1/2 (10)(78) ² = (5)(6084) = 30,420 ジュール

（3）パワー

P = W / t = 30,240 / 12 = 2,520 ジュール/秒

（４）運動エネルギーの増加

ΔKE = 1/2 mv _t ² – 1/2 mv _o ² = 1/2 m (v _t ² – v _o ² ) = 1/2 (10)(78 ² – 6 ² ) = 5 (6084 –36) = 5 (6048)

ΔKE = 30,240ジュール

[irp]

5. より大きな作業はオブジェクト番号によって行われます…

解決策：

正味の仕事＝運動エネルギーの変化

W _net = 1/2 m (v _t ² – v _o ² )

より大きな作品：

W ₁ = ½ (8)(4 ² – 2 ² ) = (4)(16 – 4) = (4)(12) = 48 ジュール

W ₂ = ½ (8)(5 ² –3 ² ) = (4)(25 – 9) = (4)(16) = 64 ジュール

W ₃ = ½ (10)(6 ² – 5 ² ) = (5)(36 – 25) = (5)(11) = 55 ジュール

W ₄ = ½ (10)(4 ² – 0 ² ) = (5)(16 – 0) = (5)(16) = 80 ジュール

W ₅ = ½ (20)(3 ² – 3 ² ) = (10)(9 – 9) = (10)(0) = 0 ジュール

6. 質量4000kgの車が直線上を25m/sの速度で走行している。車は減速され、最終速度は15m/sになった。車に対して行われた仕事はいくらか。

既知：

質量（m）= 4000 kg

初速度 (v _o ) = 25 m/s

最終速度 (v _t ) = 15 m/s

求む：車の修理

解決策：

W _net = ½ m (v _t ² – v _o ² ) = ½(4000)(15 ² -25 ² ) = (2000)(225-625) = (2000)(-400) = -800,000 ジュール = -800 kJ

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7. 0.1 kg の物体を高さ 5 メートルから水平方向に 6 m/s の速度で投げます。重力加速度が10 m/s² の^場合、高さ 2 メートルでのボールの運動エネルギーはいくらですか。

既知：

質量（m）= 0.1 kg

高さの変化 (h) = 5 m - 2 m = 3 メートル

重力加速度 (g) = 10 m/ ^s²

求む：高さ2メートルにおける運動エネルギー。

解決策：

投射運動は、運動の水平成分と垂直成分を別々に分析することで理解できる。水平方向の運動は等速運動として分析され、垂直方向の運動は自由落下運動または垂直運動として分析される。

初期の力学的エネルギー＝重力ポテンシャルエネルギー。

PE = mgh = (0.1)(10)(3) = 3ジュール。

最終的な力学的エネルギー＝運動エネルギー。

運動エネルギー = 3ジュール。

8. 質量1000kgの車が静止状態から加速し、5m/sの速度で走行します。車が行った仕事はいくらですか？

既知：

質量（m）= 1000 kg

初速度 (v _o ) = 0

最終速度 (v _t ) = 5 m/s

求む：車を使った仕事（W）

解決策：

W _net = 1/2 m (v _t ² – v _o ² )

車で行った作業：

W_正味= ½ (1000)(5 ² – 0 ² ) = (500)(25 – 0) = (500)(25) = 12,500 ジュール

[irp]

^{9. 質量 500 グラムのボールが、初速度 10 m/s 2}で地球の表面から垂直上向きに投げ上げられます。重力による加速度は 10 ms ^-2です。ボールが最高点に達したときに重力によってなされる仕事はいくらですか。

既知：

ボールの質量 (m) = 500グラム = 0.5 kg

初速度 (v _o ) = 10 m/s ²

最終速度 (v _t ) = 0 (最高点での速度)

重力加速度 (g) = 10 m/ ^s²

求む：重量制の仕事（W）

解決策：

物体に作用する正味の力がする正味の仕事は、運動エネルギーの変化に等しい。

W _net = ΔEK = EK _t – EK _o

Wnet = 1/2 mv _t ² – 1/2 mv _o ² = 1/2 m (v _t ² – v _o ² )

KE _t = 最終運動エネルギー、KE _o = 初期運動エネルギー、m = 物体の質量、v _t = 物体の最終速度、v _o = 物体の初期速度。

ネットワーク：

W _net = 1/2 m (v _t ² – v _o ² ) = 1/2 (0.5)(0 ² – 10 ² )

Wnet = ( _0.25 )(-100) = -25ジュール

マイナス符号は、変位の方向がボールの重力の方向と逆であることを示します。ボールの方向は上向きで、重力の方向は下向きです。

10. 質量 1 kg の物体が、高さの差 = 2.5 メートルで自由落下します。重力による加速度は 10 ms ^-2です。物体に対して行われた仕事はいくらですか?

既知：

ボールの質量 (m) = 1 kg

初速度 (v _o ) = 0 m/s

高さ (h) = 2.5 メートル

重力加速度 (g) = 10 m/ ^s²

求む：移動中のネットワーク作業

解決策：

ボールの最終速度(v _t )

自由落下運動の式を用いて計算します。既知：重力加速度 (g) = 10 m/s² ^、ボールの高さの変化 (h) = 2.5 メートル。求めたいもの：最終速度。

v _t ² = 2 gh = 2(10)(2.5) = 2(25)

v _t = √2(25)

v _t = 5√2

正味の仕事＝運動エネルギーの変化

W _net = ΔEK = 1/2 m (v _t ² – v _o ² ) = 1/2 (1){(5√2) ² – 0 ² }

Wnet ₌ ½ (25)(2) = 25ジュール

[irp]

11. 質量 2 kg の物体が時速 72 km で移動します。400 メートル移動した後、物体の最終速度は時速 144 km になります。重力による加速度は 10 ms ^-2です。正味の仕事を求めなさい。

既知：

物体の質量 (m) = 2 kg

初速度 (v _o ) = 72 km/時 = 20 m/s

最終速度 (v _t ) = 144 km/h = 40 m/s

距離（秒）＝400メートル

重力加速度 (g) = 10 m/ ^s²

求む：ネットワーク

解決策：

正味の仕事＝運動エネルギーの変化

W_ネット= ΔEK = 1/2 m (v _t ² – v _o ² ) = 1/2 (2)(40 ² – 20 ² }

Wnet = ½ (2)(1600 _– 400) = 1200ジュール

12. 質量 2 kg の物体が 2 ms ^{–1 の}速度で移動します。物体に対して行われた仕事は 21 ジュールです。物体の最終速度はいくらですか。

既知：

質量（m）= 2 kg

初速度 (v _o ) = 2 m/s

仕事量（W）＝21ジュール

求めるもの：最終速度（v _t）

解決策：

W _net = ΔEK

W _net = 1/2 mv _t ² -1/2 mv _o ²

W_ネット= 1/2 m (v _t ² – v _o ² )

21 = 1/2 (2) (v _t ² – 2 ² )

21 = (v _t ² – 2 ² )

21 = v _t ² – 4

v _t ² = 21 + 4 = 25

v _t = √25

v _t = 5 m/s

[irp]

1 3 . 質量 16 kg の物体に 8 N の一定の力が作用します。物体が最初に静止している場合、力が物体に作用してから 4 秒後の物体の速度を求めなさい。

既知：

一定の力（F）＝8ニュートン

物体の質量 (m) = 16 kg

物体の初速度 (v _o ) = 0 m/s

物体に力が作用する時間間隔 (t) = 4秒

求めるもの：最終速度（v _t）

解決策：

仕事＝運動エネルギーの変化

W = 最終運動エネルギー – 初期運動エネルギー

W = ½ mv _t ² – ½ mv _o ²

W = ½ mv _t ² – 0

W = ½ mv _t ² —— 式 1

仕事＝力×変位

W = F d

W = 8日

以下の非一様直線運動の式を用いて変位(d)を計算してください。

d = v _o t + ½ at ²

d = 変位、v₀ ₌初速度、t = 時間間隔、a = 加速度

d = 0 + ½ at ² = ½ at ² —-> a = (v _t – v _o ) / t = v _t / t

d = ½ (v _t / t) t ²

^d = ½ (v _t ) t

この式における変位(d)を用いた仕事の式における変位(d)を変更してください。

W = 8日

W = 8(1/2)(v _t )(t)

W = (4)(v _t )(t) —— 式2

式1 = 式2

W = W

½ mv _t ² = (4)(v _t )(t)

½ mv _t = (4)(t)

½ (16)(v _t ) = 4(4)

8 v _t = 16

v _t = 16 / 8

v _t = 2メートル/秒

14．物体の速度を初期速度の2倍にするために、その過程で必要な仕事量を求めよ。

既知：

物体の質量 (m) = 1 kg

初速度 (v _o ) = 1 m/s

最終速度 (v _t ) = 2 × 初速度 = 2 × 1 = 2 m/s

求む：仕事

解決策：

初期運動エネルギー：

KE 初期 = 1/2 mv _o ² = 1/2 (1)(1) ² = 1/2 (1)(1) = 1/2 (1) = 0.5

物体の速度が初期速度の2倍になったときの最終運動エネルギー：

TO final = ½ mv _t ² = ½ (1)(2) ² = ½ (4) = 2

仕事-運動エネルギーの定理：

仕事＝運動エネルギーの変化

仕事＝最終運動エネルギー－初期運動エネルギー

仕事量 = 2 – 0.5

仕事量 = 1.5

初期運動エネルギー = 0.5

仕事量 = 3 × 0.5 = 1.5

必要な仕事量は、初期運動エネルギーの3倍である。

15．質量1500kgの車が、直線で滑らかな水平道路を時速36kmで走行している。車は時速72kmまで加速した。車を加速させるのに必要な仕事量を求めよ。

既知：

車の質量 (m) = 1500 kg

車の初速度 (v₀ ₎ = 36 km/時 = 36,000 メートル / 3600 秒 = 10 メートル/秒

車の最終速度 (v _t ) = 72 km/時 = 72,000 メートル / 3600 秒 = 20 メートル/秒

求む：車の加速に必要な作業

解決策：

仕事-運動エネルギーの定理：

W = EK最終値 - EK初期値

W = 1/2 mv _t ² – 1/2 mv _o ² = 1/2 m (v _t ² –v _o ² )

W = ½ (1500)(20 ² – 10 ² )

W = ½ (1500)(400 – 100)

W = ½ (1500)(300)

W = (1500)(150)

W = 225,000ジュール

16．質量2kgの物体が、最初は時速72kmで動きます^。水平な直線道路を400m移動した後、物体の速度は時速144kmになります^。物体になされた仕事の総量を求めなさい。

既知：

物体の質量 (m) = 2 kg

初速度 (v₀ ₎ = 72 km/時 = 72,000 メートル / 3600 秒 = 20 m/s

最終速度 (v _t ) = 144 km/時 = 144,000 メートル / 3600 秒 = 40 m/s

物体の変位 = 400メートル

求む：対象物に関するネットワーク作業

解決策：

仕事-運動エネルギー定理は、物体に作用する正味の仕事は、物体の運動エネルギーの変化と同じであると述べている。

Wネット = 最終値 - 初期値

W net = ½ mv _t ² – ½ mv _o ²

W net = 1/2 m (v _t ² – v _o ² )

W ネット = 1/2 (2)(40 ² – 20 ² )

Wネット = 1600 – 400

Wネット = 1200ジュール

説明：

W = 仕事、KE = 運動エネルギー

運動エネルギー

17. 10グラムの弾丸が一定の速度100m/sで移動している。この弾丸の運動エネルギーはいくらか。

既知：

弾丸の質量 (m) = 10グラム = 10/1000キログラム = 1/100キログラム = 0.01キログラム

弾丸の速度（v）＝100メートル/秒

求む：運動エネルギー

解決策：

KE = 1/2 ^mv²

KE = 1/2 (0,01 kg)(100 m/s) ²

KE = 1/2 (0,01 kg)(10.000 m ² /s ² )

KE = (0,01 kg)(5000 m ² /s ² )

KE = 50 kg m ² /s ²

運動エネルギー = 50ジュール

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