力によって行われた仕事
1.1 仕事の定義
テーブルの上で本を押して、本がずれるまで押し続けた場合、あなたは本に対して仕事をしたと言われます。物体が重力によって地面に落下した場合、重力が物体に対して仕事をしたと言われます。逆に、汗だくになるほど全力で物体を押しても、物体が全く動かない場合、あなたは物体に対して仕事をしなかったと言われます。日常生活では、物体を押すことで大変な仕事をしたと言うかもしれませんが、物理学では、物体がずれていないので、物体に対して仕事をしたとは言えません。
物体に作用する仕事は、一定の力（その大きさと方向が一定）または可変の力（その大きさと方向が変化する）によって行われます。大きさと方向が一定の力の例としては、重力があります。重力は、物体が地表付近にあるときに物体に作用します。物体が地表付近で自由落下しているとき、物体を加速させる重力の大きさと方向が一定であるため、物体の自由落下加速度の大きさと方向も一定です。大きさが一定ではないが方向が一定の力の例としては、ばねの力があります。別の例としては、宇宙に打ち上げられた、または地球に戻ってくるロケットがあります。ロケットが打ち上げられると、ロケットに作用する重力の大きさは、地球の中心からの距離の二乗に反比例して変化します。
1.1.1一定の力によってなされる仕事
数学的には、一定の力が物体に及ぼす仕事は、変位に力または物体の変位と同じ方向を持つ力の成分を掛けたものとして定義されます。粗い平面の表面にある物体を観察し、推力 (F) によって右方向に変位している様子を見てみましょう。
図1。（上）物体の変位の方向は力Fの方向と同じである。（下）物体の変位の方向は力Fの水平方向成分（F cos）と同じである。
推力（F）によってなされる仕事は次のとおりです。
W = (F)(s)(cos θ) = F s (cos 0) = F s (1)
W = F s
力Fの水平方向成分（F cos θ）が行う仕事は次のとおりである。
W = (F cos θ)(s)(cos 0) = (F cos )(s)(1)
W = F s cos θ
動摩擦力（f k ）が行う仕事は次のとおりです。
W = (f k )(s)(cos 180) = (f k )(s)(-1)
W = – (f k )(s)
垂直抗力（N）が行う仕事は次のとおりです。
W = (N)(s)(cos 90) = (N)(s)(0) = 0
重力（w）が行う仕事は次のとおりです。
W = (w)(s)(cos 90) = (w)(s)(0) = 0
説明：W = 仕事、s = 変位量、θ = 力と変位の間の角度。
図2。
（a）物体は自由落下している。重力は変位と同じ方向である。（b）物体は鉛直上向きに移動する。重力の方向は変位の方向と反対である。
前述の例では、物体の重力の方向が物体の変位の方向と垂直であるため、重力による仕事（w）はゼロになります。重力の方向が物体の変位の方向と同じか反対方向である場合、重力による仕事はゼロにならないことに注意してください。
図aに示すように、自由落下している物体に対して重力(w)が行う仕事は次のとおりである。
W = F s (cos θ) = wh (cos 0) = wh (1) = wh = mgh
図bに示すように、鉛直上向きに動いている物体に対して重力(w)が行う仕事は次のとおりである。
W = F s (cos θ) = wh (cos 180) = wh (-1) = – wh = – mgh
説明：w = 重量（ニュートン）、h = 高さ（メートル）、m = 質量（キログラム）、g = 重力加速度（メートル毎秒毎秒）。
前述の説明に基づくと、次の結論が得られます。まず、物体に変位がない場合、物体に作用する力は仕事をしません。s = 0 の場合、W = 0 です。次に、力が物体の変位に対してある角度をなす場合、物体の変位と同じ方向をなす力の成分のみが物体に仕事をします。第三に、物体の変位の方向と垂直な方向の力は 90 °の角度をなします。cos 90 = 0 です。第四に、仕事は正または負の符号を持つ場合があります。力が物体の変位と同じ方向で 0 °の角度をなす場合、物体に正の仕事をします。逆に、力が物体の変位の方向と反対の方向で 180 °の角度をなす場合、物体に負の仕事をします。
図3．力（F）－変位（s）グラフ。仕事は網掛け部分の面積に等しい。
物体が変位しているときに、一定の力が物体に対して行う仕事は、力（F）－位置（s）グラフの網掛け部分の面積に等しい。
仕事はW（大文字）、重さはw（小文字）で表されます。仕事のSI単位はニュートンメートル（N・m）です。これはジュール（J）に相当します。
その名前は、19世紀のイギリスの医師、ジェームズ・プレスコット・ジュールに敬意を表して付けられた。
例題1：一定の力による仕事
物体が摩擦のない床面に静止している。物体に10Nの力が加えられ、床面に対して30度の角度をなす。物体が1メートル移動した場合、力が物体に対して行う仕事はいくらか？
解決策：
既知：F = 10 N、s = 1メートル
求む：仕事（W）
W = (F)(s)(cos 30 ° ) = (10 N)(1 m)(1/2 √ 3) = 5 √ 3 N m
例題2：一定の力による仕事
重さ0.2kgのココナッツが、地上10メートルの高さから自由落下している。重力加速度が10m/s²の場合、ココナッツの重さによってなされる仕事はいくらか？
解決策：
既知：m = 0.2 kg、h = 10 m、g = 10 m/ s²
募集：重量（w）に基づく仕事量（W）
W = F s = wh = mgh = (0.2 kg)(10 m/s 2 )(10 m) = 20 kg m 2 /s 2 = 20 N m = 20 ジュール
1.1.2 可変力による仕事
可変力の例として、ばねの力が挙げられます。ばねの力は常に変化します。そのため、ばねの力が物体に及ぼす仕事は、一定の力の仕事の公式 (W = F s cos θ) では計算できません。ばねを伸ばす場合、伸ばすほど、ばねを伸ばすのに必要な引張力は大きくなります。また、ばねを圧縮する場合、圧縮するほど、必要な推力は大きくなります。ばねが圧縮または伸長されると、ばねの力は 0 (x = 0) から最大値 (F = kx) まで変化します。したがって、ばねの力は平均値を用いて計算されます。ばねの力の平均値は次のとおりです。
ばねの力が物体に対して行う仕事は次のとおりである。
W = 仕事、x = Δx = ばねの変位（メートル）、F = ばねの力（ニュートン）。
例題3：可変力による仕事
ばねに質量 1 kg のおもりを吊り下げると、ばねは 2 cm 伸びます。重力加速度が 10 m/s² の場合、 (a) ばね定数、(b) ばねの力がおもりに対して行う仕事を求めなさい。
解決策：
既知：m = 1 kg、g = 10 m/s² 、 x = Δx = 2 cm = 0.02 m。
（a）ばね定数
（b）ばねの力が重りに仕事をした
W = -1/2 kx 2 = -1/2 (500)(0.02) 2 = – (250)(0.0004) = -0.1 ジュール
ばねの力が重りに対して行う仕事は負の値になります。なぜなら、ばねの力の方向は重りの変位の方向と逆だからです（ばねの力は上向き、重りは下向き）。
1.2 正味の仕事または正味の力による仕事
物体が変位しているときに、物体に作用する力が1つしかない場合、正味の力がする仕事は、その力がする仕事と等しくなります。たとえば、物体が自由落下していて、空気抵抗を無視する場合、物体に作用する力は重力だけです。この場合、物体に作用する正味の力は重力です（図2を参照）。
Wネット= W重力
物体が変位しているときに、何らかの力が物体に作用している場合、正味の力が行う仕事は、物体に作用するすべての力が行う正味の仕事に等しくなります（図1を参照）。
Wネット= W1 + W2 + W3 + W4
物体に作用する正味の力がする仕事は、まず正味の力を求め、次にそれを変位量で乗じることによって計算することもできます。
W = ΣF s
例題4：ネットワーク
床面に静止している箱を、20 N の力で押して 1 メートル移動させた。推力が箱の変位と同じ方向であり、箱に 2 N の動摩擦力が働いている場合、箱に働く正味の力が行う正味の仕事量を求めよ。
解決策：
既知値：F = 20 N、f k = 2 N、s = 1 m
W 1 = F s = (20 N)(1 m) = 20 Nm = 20 ジュール
W 2 = f k s = – (2 N)(1 m) = – 2 Nm = – 2 ジュール
正味の仕事、または正味の力によって行われる仕事
ネットW = W 1 – W 2 = 20 J – 2 J = 18 J
例題4）推力（F）は正の仕事をし、動摩擦力（f k ）は負の仕事をします。
