仕事と機械エネルギーの原理 ― 問題点と解決策

1. 2 kg の箱が 10 m/s から減速して静止します。動摩擦係数は 0.2 です。重力による加速度は 10 m/s ^2です。変位の大きさはいくらですか?

既知;

質量(m) = 2 kg

初速度 (v _o ) = 10 m/s

最終速度 (v _t ) = 0 m/s

動摩擦係数（_μk ）= 0.2

重量(w) = mg = (1 kg)(10 m/s ² ) = 10 kg m/s ² = 10 N

求めるもの：変位の大きさ（d）

解決策：

仕事と機械エネルギーの原理：

W _nc = ΔEM

W _nc = ΔEK + ΔEP

W _nc = ½ m (v _t ² – v _o ² ) + mgh

W _nc =物体に作用する非保存力によってなされる仕事

ΔEK =運動エネルギーの変化

ΔEP =位置エネルギーの変化

m =質量

v = 速度

g = 重力加速度

h = 高さの変化

高さの変化 h = 0 なので ΔEP = 0

W _nc = ΔEK

非保守的な力によって行われる仕事：

W _nc = -F _c d = – μ _k N d = – μ _k wd = – μ _k mgd

W _nc = -(0.2)(2)(10)(s)

W _nc = – (4)(2)

マイナス符号は、動摩擦力の方向が変位の方向と逆であることを示しています。

運動エネルギーの変化：

ΔEK = 1/2 m (v _t ² – v _o ² ) = 1/2 (2)(0 – 10 ² ) = 0 – 100 = -100

変位の大きさ：

W _nc = ΔEK

– 4秒 = – 100

s = -100/-4

s = 25 m

[irp]

2. ブロックが斜面を滑り降ります。動摩擦係数は 0.4 です。重力加速度はg = 10 ms ^-2です。ブロックが地面に衝突したときの最終速度を求めなさい。

既知：

初期高さ (h _o ) = 6 m

最終高さ (h _t ) = 0 m

初速度 (v _o ) = 0

動摩擦係数（_μk ）= 0.4

重力加速度 (g) = 10 ^ms⁻²

cos θ = 8/10

重力の垂直成分 = w _y = w cos θ = mg cos θ = m (10) (8/10) = m (10)(4/5) = m (40/5) = 8 m

垂直抗力 = N = w _y = 8 m

動摩擦力 = f _k = μ _k N = μ _k w _y = (0.4)(8 m) = 3.2 m

求めるもの：最終速度（v _t ）

解決策：

仕事と機械エネルギーの関係原理：

W _nc = Δ EM

W _nc = Δ EK + Δ EP

運動エネルギーの変化：

ΔEK = 1/2 m (v_t² -v_o²) = 1/2 m (v_t² – 0) = 1/2 mv_t²

位置エネルギーの変化：

Δ EP = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-6) = m (10)(-6) = – 60 m

運動摩擦力によってなされる仕事：

W _nc = – f _k s = – ( 3.2 m)(10) = – 32 m

マイナス符号は、動摩擦力の方向が変位の方向と逆であることを示しています。

最終速度 (v _t ) :

W _nc = Δ EK + Δ EP

– 32 m = 1/2 mv _t ² – 60 m

– 32 m = m (1/2 v _t ² – 60)

– 32 = 1/2 v _t ² – 60

– 32 + 60 = 1/2 v _t ²

28 = 1/2 v _t ²

2 (28) = v _t ²

56 = v _t ²

v _t = √4.14

v _t = 2 √14 ms ^-1

[irp]

3. ブロックが粗い斜面を滑り落ちます。初速度は 0 m/s、終速度は10 ms ^-1です。動摩擦力が 2 N、重力加速度 g = 10 ms ^-2の場合、高さ (h) はいくらですか?

既知：

質量（m）= 1 kg

初速度 (v _o ) = 0 (ブロックが静止している状態)

最終速度 (v _t ) = 10 ms ^-1

初期高さ (h _o ) = h

最終高さ (h _t ) = 0

動摩擦力 (f _k ) = 2 N

重力加速度 (g) = 10 ^ms⁻²

募集要項：身長（h）

解決策：

運動摩擦力によってなされる仕事：

W _nc = – f _k s = – (2 )(15) = – 30

マイナス符号は、動摩擦力の方向が変位の方向と逆であることを示しています。

運動エネルギーの変化：

ΔEK = 1/2 m (v_t² -v_o²) = 1/2 (1)(10² – 0) = 1/2 (10²) = 1/2 (100）= 50

位置エネルギーの変化：

Δ EP = mg (h _t – h _o ) = (1)(10)(0-h) = (10)(-h) = -10 h

仕事と機械エネルギーの関係原理：

W _nc = Δ EK + Δ EP

– 30 = 50 – 10 時間

10時間 = 50 + 30

10時間 = 80

h = 80/10

時間 = 8 メートル

4ブロックがほぼ傾斜した面を下る場合、…
A. 重力がブロックに対して行う仕事は、ブロックの位置エネルギーの変化よりも大きい。
B. 機械エネルギーが増加する
C. 運動エネルギーと位置エネルギーが減少する
D. 仕事は、ブロックの運動エネルギーの変化に等しい摩擦力によって行われる。
解決策

Aは間違っている

重力がブロックに対して行う仕事は、ブロックの重力ポテンシャルエネルギーの変化に等しい。

Bは間違っている

傾斜面が滑らかな場合、ブロックの力学的エネルギーは一定です。傾斜面の頂上にあり、まだ動いていないとき、ブロックの力学的エネルギーは重力ポテンシャルエネルギーに等しくなります。ブロックはまだ静止しているので、運動エネルギーはゼロです。傾斜面を下るとき、ブロックの高さが下がるので、重力ポテンシャルエネルギーも下がります。重力ポテンシャルエネルギーは運動エネルギーに変化するため減少します。重力ポテンシャルエネルギーは運動エネルギーに変化しますが、力学的エネルギーは一定です。

斜面が粗い場合、摩擦力による負の仕事によってブロックの力学的エネルギーは減少します。摩擦力は非保存力です。非保存力が物体に対して行う仕事は、物体の力学的エネルギーを減少させます。

Cが正解です

斜面は粗いため、ブロックの動きを妨げる摩擦力が働きます。摩擦力は非保存力です。仕事-力学的エネルギーの定理によれば、非保存力（例えば摩擦力）が行う仕事は、力学的エネルギーの変化に等しくなります。この過程では、力学的エネルギーは減少します。

ブロックの力学的エネルギー＝重力による位置エネルギー＋運動エネルギー。

Dは間違いです。

摩擦力がブロックに対して行う仕事は、ブロックの運動エネルギーの変化ではなく、ブロックの力学的エネルギーの変化に等しい。確かに、摩擦力はブロックの動きを妨げるため、ブロックの速度を低下させ、ブロックの運動エネルギーを低下させる。しかし、ブロックの運動エネルギーは重力ポテンシャルエネルギーに由来することを理解しておく必要がある。したがって、摩擦力が行う仕事は力学的エネルギーの変化（力学的エネルギーの減少）に等しいと述べるのは正しい。

正解はCです。

5．ざらざらした床の上にある物体が衝撃を受け、3秒間動いた後停止した。物体の質量が10グラムであることが分かっている場合、物体と床の間の摩擦力は2キロダインである。摩擦力がする仕事量を求めよ。

A. 0.18 J

B. -0.18 J

C. 0.36 J

D. -0.36 J

既知：

時間間隔 (t) = 3 秒

最終速度 (v _t ) = 0 m/s (物体は静止している)

物体の質量 (m) = 10グラム = 10/1000 kg = 1/100 kg = 0.01 kg

摩擦力 (F) = 2 キロダイン = 2 x 10 ³ダイン

求む：摩擦力によってなされる仕事（W）

解決策：

力の単位変換：

1ニュートン = 1 x ^10⁵ダイン

1ダイン = 1 / 10⁵^{ニュートン}= 1 × 10⁻⁵^{ニュートン}= ^10⁻⁵ニュートン

摩擦力 (F) = 2 x 10 ³ダイン = 2 x 10 ³ x 10 ^-5ニュートン = 2 x 10 ^-2ニュートン = 2/100 ニュートン = 0.02 ニュートン

仕事-力学的エネルギー定理は、非保存力が物体に対して行う仕事は、その物体の力学的エネルギーの変化に等しいと述べている。

物体が斜面上を移動する場合、力学的エネルギー（ME）は重力ポテンシャルエネルギー（PE）＋運動エネルギー（KE）となります。しかし、物体が水平面上を移動する場合、高さの変化がないため、力学的エネルギーは運動エネルギーと等しくなります。水平面上では、高さの変化がないため、重力ポテンシャルエネルギーはゼロです。

摩擦力は非保存力である。摩擦力は通常、物体の速度と運動エネルギーを減少させる。したがって、摩擦力が物体に対して行う仕事は、力学的エネルギーの減少量に等しいと結論づけることができる。

数学的に：

仕事（W）＝力学的エネルギーの変化（ΔEM）

F s = ΔEP + ΔEK

F s = mg Δh + ½ m (v _t ² – v _o ² )

F s = mg (0) + ½ m (0 ² – v _o ² )

F s = 0 + ½ m (– (v _o ² ))

F s = – ½ mv _o ² ———— 式 1

説明：F = 摩擦力、d = 変位、m = 質量、v₀ ₌初速度

変位 (d) と初速度 (v _o ) はまだ不明です。まず v _{oまたは d を計算します。摩擦力によってなされる仕事は、v o}または dがわかった後にいずれかの式を使用して計算されます。

非一様直線運動における変位の式（d）：

v _t ² = v _o ² + 2 (-a) s

最終速度 (v _t ) = 0 であり、加速度 (a) は物体が減速している (物体の速度が減少している) ため負の符号になります。

0 = v_o² – 広告2件

v_o² = 2 広告

d = v _o ² / 2 a ———— 式 2

式2のdを式1のdに置き換えます。

F d = – ½ mv _o ²

F (v _o ² /2a) = – ½ mv _o ²

(F/2a) v _o ² = – ½ mv _o ²

F/2a = – ½ m

F = (2)(a)(-1/2)(m)

F = – (a)(m)

a = – (F / m)

a = – 0.02 ニュートン / 0.01 キログラム

a = – 2 ニュートン/キログラム

a = – 2 m/s ²

非一様直線運動における初速度（v₀）を計算する式_：

v _t = v _o + at —–> 最終速度 (v _t ) = 0、加速度 (a) = 2 m/s ²、時間間隔 (t) = 3 秒

0 = v _o + (-2)(3)

0 = v _o – 6

v _o = 6メートル/秒

摩擦力によってなされる仕事（W）：

W = – 1/2 mv _o ² = -1/2 (0.01)(6 ² ) = -1/2 (0.01)(36)

W = -1/2 (0.36)

W = – 0.18ジュール

摩擦力によってなされる仕事は負の符号で表され、これは仕事が物体の力学的エネルギーを減少させることを意味する。

dが分かっている場合、仕事はW = F dの式を使用して計算できます。

正解はBです。

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