Ụzọ Kachasị Mma: Ụzọ Mgbakọ na Mwepụ maka Atụmatụ
Pendahuluan
Usoro nke obere square bụ usoro ọnụọgụgụ eji eme atụmatụ paramita na ụdị regression site na ibelata mkpokọta njehie squared dị n'etiti ụkpụrụ n'ezie na ụkpụrụ ndị nlereanya ahụ buru n'amụma. Usoro a na-ewu ewu nke ukwuu ma a na-ejikarị ya eme ihe n'ọtụtụ ngalaba dịka akụnụba, injinia, bayoloji, na sayensị mmekọrịta mmadụ na ibe ya. Adrien-Marie Legendre bu ụzọ chepụta echiche nke obere square na mmalite narị afọ nke 19 ma emechaa Carl Friedrich Gauss mekwara ya ọzọ.
Nghọta Dị Mkpa
N'ozuzu, usoro nke obere square na-achọ ịchọta ahịrị regression kacha mma maka data setịpụrụ site na ibelata mkpokọta square nke residentials, ma ọ bụ mmejọ amụma. Ihe fọdụrụ bụ ọdịiche dị n'etiti uru a hụrụ na uru a buru amụma.
Ọ bụrụ na anyị nwere data nke nwere ụzọ abụọ nke ihe a hụrụ \((x_1, y_1), (x_2, y_2), …, (x_n, y_n)\), mgbe ahụ ihe mgbaru ọsọ anyị bụ ịchọta ahịrị \(y = mx + b\) nke na-ebelata mkpokọta nke njehie squared sum\( \sum_{i=1}^{n} (y_i – (mx_i + b))^2 \).
Enwere ike iji usoro a mee ihe ma mgbanwe dị mfe nke linear na mgbanwe dị iche iche nke linear. Na mgbanwe dị mfe nke linear, anyị nwere naanị otu mgbanwe dị iche iche nke onwe (x), ebe mgbanwe dị iche iche nke linear na-agụnye ihe karịrị otu mgbanwe dị iche iche nke onwe.
Mfe Nlaghachi Ahịrị Dị Mfe
Ka anyị malite site na mgbanwe dị mfe nke linear. Ka e were ya na anyị nwere set data \((x_1, y_1), (x_2, y_2), …, (x_n, y_n)). Ụdị mgbanwe dị mfe nke linear anyị chọrọ itinye bụ:
\[y = mx + b + \epsilon \]
ebe \( m \) bụ mkpọda, \( b \) bụ njikọ, na \( \epsilon \) bụ njehie enweghị usoro.
Site na iji usoro pere mpe, anyị nwere ike ịchọta atụmatụ nke paramita \( m \) na \( b \) site na ibelata ọrụ njehie squared:
\[ S(m, b) = \sum_{i=1}^{n} (y_i – (mx_i + b))^2 \]
Iji belata \( S(m, b) \), anyị na-achọta akụkụ nke \( S \) n'ihe gbasara \( m \) na \( b \), wee dozie nha nha a maka \( m \) na \( b \):
\[ \malite{hazie}
\frac{\partial S}{\partial m} &= -2 \sum_{i=1}^{n} x_i (y_i – (mx_i + b)) = 0 \\
\frac{\partial S}{\partial b} &= -2 \sum_{i=1}^{n} (y_i – (mx_i + b)) = 0
\ngwụcha{aligned} \]
Mgbe emechara ka ọ dị mfe, anyị na-enweta nha nha abụọ a:
\[ \malite{hazie}
n\bar{y} &= m \sum_{i=1}^{n} x_i + nb \\
\sum_{i=1}^{n}x_i y_i &= m \sum_{i=1}^{n}x_i^2 + b \sum_{i=1}^{n}x_i
\ngwụcha{aligned} \]
Site na idozi usoro nha anya dị n'elu, anyị nwere ike ịchọta uru nke \( m \) na \( b \) nke na-ebelata njehie a kpụrụ akpụ.
Ọtụtụ Nlaghachi Ahịrị
N'ọtụtụ mgbanwe ahịrị dị iche iche, anyị na-eche ọnọdụ ihu ebe anyị nwere ihe karịrị otu mgbanwe nọọrọ onwe ha. Ka e were ya na anyị nwere data n'ụdị tuple \((x_{i1}, x_{i2}, …, x_{ik}, y_i)\). Ụdị mgbanwe anyị na-eji bụ:
\[ y = b_0 + b_1 x_1 + b_2 x_2 + … + b_k x_k + \epsilon \]
Enwere ike ide usoro a n'ụdị matrix dị ka:
\[ \mathbf{y} = \mathbf{X} \mathbf{b} + \mathbf{\epsilon} \]
Ebe:
– \( \mathbf{y} \) bụ vektọ kọlụm nke ụkpụrụ y a hụrụ.
– \( \mathbf{X} \) bụ matriks nke ụkpụrụ x a hụrụ (gụnyere kọlụm 1 maka intercept).
– \( \mathbf{b} \) bụ vektọ kọlụm nke paramita (gụnyere \( b_0 \)).
Ebumnuche nke usoro obere akụkụ bụ ibelata ọrụ njehie quadratic ndị a:
\[ S(\mathbf{b}) = (\mathbf{y} – \mathbf{Xb})^T (\mathbf{y} – \mathbf{Xb}) \]
Iji belata ọrụ a, anyị na-ewere akụkụ nke S n'ihe gbasara \( \mathbf{b} \) wee tọọ ya ka ọ bụrụ efu. Nke a na-enye nha nhata nkịtị maka ọtụtụ nlọghachi ahịrị:
\[ \mathbf{X}^T \mathbf{Xb} = \mathbf{X}^T \mathbf{y} \]
Site na idozi usoro nha nha dị n'elu, anyị nwere ike nweta atụmatụ nke paramita \( \mathbf{b} \):
\[ \mathbf{b} = (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^T \mathbf{y} \]
Uru na Mmachi
Usoro nke pere mpe nwere ọtụtụ uru. Ọ bụ ụzọ dị irè ma dị mfe iji. Ọ na-enye ngwọta pụrụ iche ma ọ bụrụ na \( \mathbf{X}^T \mathbf{X} \) enweghị ike ịgbanwe agbanwe, na-eme ka ọ bụrụ ihe a pụrụ ịtụkwasị obi maka ọtụtụ ojiji bara uru.
Agbanyeghị, usoro nke obere square nwekwara oke. Ọ na-emetụta ndị na-abụghị nke ọzọ nke ukwuu n'ihi na njehie nke a na-akpọ squared na-emesi nnukwu ọdịiche ike karịa ndị dị obere. Ọzọkwa, a ga-emezu echiche ochie na mmejọ ndị ahụ nwere nkesa nkịtị na enweghị nkezi na mgbanwe na-adịgide adịgide maka ezigbo nsonaazụ.
Ngwa Ndị Bara Uru
A na-ejikarị usoro least square eme ihe na nyocha usoro data, amụma, na mmụta igwe iji wuo ụdị amụma. N'ime ụlọ ọrụ ego, a na-eji usoro least square eme amụma ọnụahịa ngwaahịa ma ọ bụ arụmọrụ ahịa. N'ọgwụ, a na-eji ya atụnyere mmekọrịta dị n'etiti ọgwụ dose na nzaghachi onye ọrịa. Na sayensị mmekọrịta mmadụ na ibe ya, ọ na-enyere aka ịghọta mmekọrịta dị n'etiti ihe ndị dị iche iche dịka agụmakwụkwọ na ego.
Mmechi
Usoro nke pere mpe bụ otu n'ime usoro ndị bụ isi na ọnụọgụgụ na nyocha data. Ọ bụ ezie na ọ dị mfe n'echiche, usoro a na-enye ike dị ukwuu n'ịmepụta na ịghọta mmekọrịta dị n'etiti mgbanwe. Site na ojiji zuru oke n'ọtụtụ ubi, nghọta siri ike nke usoro a bara uru nye ndị ọkachamara na ndị nchọpụta. N'ọdịnihu, ka ọnụọgụgụ data a na-enweta n'oge nnukwu data na-abawanye, mgbanwe na itinye usoro oge ochie dịka pere mpe square ga-adị mkpa karị.
