Foirmle Ath-tharraing Lòdaistic
’S e ath-tharraing loidsistigeach aon de na dòighean as mòr-chòrdte ann an staitistig agus saidheans dàta airson modaladh a dhèanamh air a’ cheangal eadar grunn chaochladairean neo-eisimeileach (ro-innsearan) agus caochladair eisimeileach roinneil, gu h-àraidh dà-chànanach (me, tha/chan eil, soirbheachas/fàilligeadh, tinn/fallain). Eu-coltach ri ath-tharraing loidhneach, a bhios a’ toirt a-mach luachan leantainneach, tha ath-tharraing loidsistigeach air a dhealbhadh gus coltachd tachartais a thomhas, agus mar sin tha an toradh deireannach anns an raon 0 gu 1. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air foirmle ath-tharraing loidsistigeach, brìgh gach pàirt, agus mar a mhìnicheas sinn e.
Carson a tha feum air ath-thilleadh loidsistigeach?
Ma chleachdas sinn ath-tharraing loidhneach gus coltachdan a ro-innse, faodaidh am modail luachan a thoirt gu buil fo 0 no os cionn 1, rud a tha gu soilleir mì-reusanta airson coltachd. Bidh ath-tharraing loidsistigeach a’ dèiligeadh ris a’ chùis seo le bhith a’ cleachdadh gnìomh neo-loidhneach a bhios a’ mapadh an toradh obraichte (a dh’ fhaodadh a bhith na luach sam bith) gu luach coltachd eadar 0 agus 1. Is e an gnìomh loidsistigeach no sigmoid an gnìomh as cumanta a thathas a’ cleachdadh.
Mar eisimpleir, can gu bheil sinn airson ro-innse an tèid neach-ceannach a-mach à reic stèidhichte air an aois, fad ballrachd, agus tricead cleachdaidh. Chan eil ach dà roghainn aig an toradh a thathar a’ ro-innse: gluasad (1) no gun gluasad (0). Tha ath-tharraing loidsistigeach gu math freagarrach airson an t-seòrsa suidheachaidh seo.
Foirmle Bhunasach airson Ath-thilleadh Lòdaistic
Is e bun-bheachd ath-tharraing loidsistig modail a dhèanamh den choltachd \(p \) gum bi \(Y = 1 \) (an tachartas a’ tachairt), air a thoirt seachad le luach a’ chaochladair ro-innse \(X \).
Mar as trice bidh modalan ath-tharraing loidsistigeach air an sgrìobhadh ann an dà chruth chudromach:
1) Foirm Cothromachd (Sigmoid)
\[
p = P(Y=1 \meadhon X) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
\]
còmhla ris
\[
z = β₀ + β₁ X₁ + β₂ X₂ + β₇ + β₇ X₇
\]
Fiosrachadh:
– ’S e \(p \) coltachd an tachartais (m.e.: churn = 1).
– ’S e àireamh Euler a th’ ann an \(e \) (timcheall air 2,71828).
– ’S e measgachadh loidhneach de ro-innsearan a th’ ann an \(z \).
– Is e (β0) an eadar-ghearradh (cunbhalach).
– ’S iad (β₁, β₂, ..., βk) na co-èifeachdan ath-tharraing.
– Tha \(X_1, X_2, \ldots, X_k \) nan caochladairean neo-eisimeileach.
Tha an gnìomh sigmoid a’ dèanamh cinnteach ge bith dè an luach a th’ aig \(z \), gum fuirich luach \(p \) eadar 0 agus 1.
2) Foirm Logit (Cothroman Log)
Is e cruth eile glè chudromach cruth an logit, is e sin logarithm nan cothroman:
\[
logit(p) = ln(p}{1-p) = β0 + β1 X1 + β2 X2 + cdots + βk Xk
\]
Fiosrachadh:
– Canar na cothroman (cothrom coimeasach) ri \( \frac{p}{1-p} \).
– ’S e \( \ln \) an logaritam nàdarrach.
Tha am foirm logit a’ mìneachadh gu bheil ath-tharraing logistic a’ modaladh nan cothroman log mar ghnìomh loidhneach de na ro-innsearan. Tha seo a’ dèanamh mìneachadh nan co-èifeachdan nas soilleire, gu h-àraidh ann an co-theacsa co-mheasan cothroman.
A’ Tuigsinn Cothroman agus Co-mheasan Cothroman
Gus tuigse cheart fhaighinn air foirmle ath-tharraing loidsistigseach, feumaidh sinn eadar-dhealachadh a dhèanamh eadar coltachd agus cothroman.
– Cothrom \(p \): an cothrom gun tachair tachartas (0 gu 1).
– Cothroman: coimeas eadar coltachd rudeigin a thachras agus nach tachair e:
\[
Cothroman = p/1-p
\]
Eisimpleir: ma tha \(p = 0{,}8 \), an uairsin:
\[
Cothroman = 0,8}{0,2 = 4
\]
Tha seo a’ ciallachadh gu bheil e 4 tursan nas dualtaiche gun tachair an tachartas na nach tachair.
Ann an ath-tharraing loidsistigeach, bidh an co-èifeachd β gu tric air a mhìneachadh tron cho-mheas odds:
\[
NO = e^{\beta}
\]
– Ma tha \( \β > 0 \), an uairsin \( e^{\β} > 1 \): bidh an ro-innseadair a’ meudachadh na cothroman gum bi an tachartas ann.
– Ma tha (β < 0), an uairsin (e^{β} < 1): bidh an ro-innseadair a’ lughdachadh na cothroman airson an tachartais. - Ma tha (β = 0), an uairsin (e^{β} = 1): chan eil buaidh sam bith air na cothroman. Mar eisimpleir, ma tha (β1 = 0,7), an uairsin: [e^{0,7} timcheall air 2,01] Tha seo a’ ciallachadh gum bi gach àrdachadh 1 aonad ann an (X_1) ag iomadachadh cothroman an tachartais le timcheall air 2.01 uiread (a’ gabhail ris gu bheil caochladairean eile seasmhach). Eisimpleir de Mhodail Ath-tharraing Logasach Shìmplidh Ma tha againn ach aon chaochladair ro-innse (X), mar eisimpleir an àireamh de dh’uairean sgrùdaidh gach seachdain, gus ro-innse a dhèanamh air soirbheachadh ann an deuchainn (soirbheachadh = 1, fàilligeadh = 0). Am modail:
