Contoh Soal Pembahasan Vektor Posisi
Vektor adalah salah satu konsep fundamental dalam matematika dan fisika yang merepresentasikan besaran yang memiliki arah dan magnitude (besaran). Dalam berbagai aplikasi, vektor sering digunakan untuk menggambarkan posisi, kecepatan, gaya, dan banyak parameter lainnya. Di antara berbagai jenis vektor, vektor posisi memegang peranan penting dalam memetakan lokasi suatu titik dalam ruang.
Pengertian Vektor Posisi
Vektor posisi adalah vektor yang menggambarkan letak suatu titik relatif terhadap titik asal dalam suatu sistem koordinat. Pada umumnya, vektor posisi ditulis dalam bentuk koordinat kartesian sebagai:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]
Di sini, \(\mathbf{r}\) adalah vektor posisi, \(x\), \(y\), dan \(z\) adalah komponen-komponennya dalam sumbu \(x\), \(y\), dan \(z\), sementara \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), dan \(\mathbf{k}\) adalah vektor satuan yang sejajar dengan masing-masing sumbu koordinat. Dalam ruang dua dimensi, komponen \(z\) umumnya tidak ada, sehingga vektor posisi menjadi:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
Aplikasi Vektor Posisi
Sebagai contoh, dalam dunia fisika, vektor posisi sangat berperan dalam mendeskripsikan gerakan benda. Posisi suatu benda terhadap titik asal (titik referensi) bisa direpresentasikan oleh vektor posisi. Selain itu, dalam teknik mekanika, perhitungan gaya dan momen sering kali melibatkan penggunaan vektor posisi.
Contoh Soal dan Pembahasan Vektor Posisi
Soal 1
Andaikata terdapat dua titik di dalam ruang 3D, titik A dengan koordinat \( (1, 2, 3) \) dan titik B dengan koordinat \( (4, 0, -2) \). Tentukan vektor posisi dari titik A dan B. Selain itu, hitunglah vektor yang menghubungkan titik A ke titik B.
Pembahasan:
Vektor posisi untuk titik A:
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
Vektor posisi untuk titik B:
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k} \]
Selanjutnya, untuk mencari vektor yang menghubungkan titik A ke titik B (disebut \(\mathbf{AB}\)), kita perlu mengurangkan vektor posisi A dari vektor posisi B:
\[ \mathbf{AB} = \mathbf{r_B} – \mathbf{r_A} \]
Maka, substitusi kedua vektor posisi di atas:
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k}) – (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4 – 1)\mathbf{i} + (0 – 2)\mathbf{j} + (-2 – 3)\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]
Jadi, vektor yang menghubungkan titik A ke B adalah \( 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \).
Soal 2
Jika suatu titik P berada pada \((2, 3)\) di bidang 2D, tentukan panjang (norma) dari vektor posisi \(\mathbf{r_P}\).
Pembahasan:
Vektor posisi dari titik P:
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
Panjang dari vektor posisi \(\mathbf{r_P}\) dapat dihitung menggunakan formula norm (atau panjang) vektor:
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
Substitusi nilai \(x\) dan \(y\):
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{13} \]
Jadi, panjang dari vektor posisi \(\mathbf{r_P}\) adalah \(\sqrt{13}\).
Soal 3
Misalkan suatu titik Q terletak pada \( (5, -4, 2) \). Temukan sudut antara vektor posisi \(\mathbf{r_Q}\) dan sumbu \(x\).
Pembahasan:
Vektor posisi dari titik Q:
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
Untuk menemukan sudut antara vektor \(\mathbf{r_Q}\) dan sumbu \(x\), kita dapat menggunakan konsep dot product (hasil kali dot). Pertama, kita tentukan dot product antara \(\mathbf{r_Q}\) dan \(\mathbf{i}\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + (-4\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) + 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} \]
Karena \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1\), \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{i} = 0\), dan \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\), maka:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
Norma dari \(\mathbf{r_Q}\):
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{45} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = 3\sqrt{5} \]
Norma dari \(\mathbf{i}\) adalah 1, karena \(\mathbf{i}\) adalah vektor satuan.
Menggunakan formula dot product untuk menemukan sudut \(\theta\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| \mathbf{r_Q} \| \| \mathbf{i} \| \cos\theta \]
\[ 5 = 3\sqrt{5} \cos\theta \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5\sqrt{5}}{15} \]
\[ \cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
Sehingga sudut \(\theta\) antara vektor posisi \(\mathbf{r_Q}\) dan sumbu \(x\) adalah:
\[ \theta = \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \]
Kesimpulan
Vektor posisi memegang peranan penting dalam ilmu pengetahuan dan teknik, terutama dalam hal pemetaan posisi objek dalam ruang koordinat. Melalui contoh soal-soal di atas, kita bisa memahami cara menghitung vektor posisi, panjang vektor, serta sudut antara vektor dan sumbu koordinat. Memahami konsep dasar ini sangat membantu dalam menyelesaikan berbagai permasalahan yang melibatkan ruang dan koordinat dalam matematika dan fisika.
