Contoh Soal Pembahasan Kombinatorik
Kombinatorik adalah cabang matematika yang mempelajari penghitungan, pengaturan, dan struktur yang mungkin dari sebuah set atau kumpulan elemen. Kombinatorik memiliki berbagai aplikasi yang signifikan dalam berbagai bidang, termasuk ilmu komputer, statistika, biologi, dan ekonomi. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal dan pembahasannya terkait dengan kombinatorik, yang diharapkan dapat memberikan pemahaman yang lebih baik akan konsep dasar dan aplikasi dari kombinatorik.
Soal 1: Permutasi
Soal:
Berapa banyak cara untuk mengatur 5 buku yang berbeda di sebuah rak?
Pembahasan:
Permutasi adalah pengaturan objek dalam sebuah urutan teratur. Ketika urutan penting, kita menggunakan permutasi. Dalam konteks soal ini, kita memiliki 5 buku berbeda yang harus diatur. Jumlah cara untuk mengatur 5 buku ini adalah:
\[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]
Jadi, ada 120 cara untuk mengatur 5 buku berbeda di sebuah rak.
Soal 2: Kombinasi
Soal:
Dari 10 orang, berapa banyak cara untuk membentuk tim beranggotakan 4 orang?
Pembahasan:
Kombinasi adalah pemilihan objek dimana urutan tidak penting. Rumus untuk kombinasi adalah:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Dalam konteks soal ini, \( n = 10 \) dan \( k = 4 \). Jadi,
\[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \times (10-4)!} = \frac{10!}{4! \times 6!} \]
Kita tahu bahwa \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! \), maka
\[ \binom{10}{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{4! \times 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]
Jadi, ada 210 cara untuk membentuk tim beranggotakan 4 orang dari 10 orang.
Soal 3: Permutasi dengan Pengulangan
Soal:
Berapa banyak cara mengatur kata “LEVEL”?
Pembahasan:
Kata “LEVEL” terdiri dari 5 huruf dimana beberapa huruf diulang (L dua kali dan E dua kali). Rumus permutasi dengan pengulangan adalah:
\[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \]
Dalam konteks soal ini, \( n = 5 \), \( n_1 = 2 \) untuk huruf L, dan \( n_2 = 2 \) untuk huruf E. Jadi,
\[ \frac{5!}{2! \times 2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{120}{4} = 30 \]
Jadi, ada 30 cara untuk mengatur kata “LEVEL”.
Soal 4: Kombinasi dengan Pengulangan
Soal:
Berapa banyak cara untuk memilih 3 permen dari 5 jenis permen yang berbeda-beda dengan pengulangan diizinkan?
Pembahasan:
Kombinasi dengan pengulangan menggunakan rumus berikut:
\[ \binom{n+r-1}{r} \]
Dalam konteks soal ini, \( n = 5 \) (jenis permen) dan \( r = 3 \) (jumlah permen yang dipilih). Jadi,
\[ \binom{5+3-1}{3} = \binom{7}{3} = \frac{7!}{3! \times 4!} \]
Mengetahui \( 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4! \), maka
\[ \binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3! \times 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \]
Jadi, ada 35 cara untuk memilih 3 permen dari 5 jenis permen yang berbeda-beda dengan pengulangan diizinkan.
Soal 5: Prinsip Penjumlahan
Soal:
Berapa banyak cara untuk memilih satu buah dari keranjang yang berisi 3 apel, 2 jeruk, dan 5 pisang?
Pembahasan:
Prinsip penjumlahan menyatakan bahwa jika ada beberapa cara untuk melakukan suatu tindakan, maka total cara adalah jumlah dari semua cara tersebut. Dalam konteks soal ini,
– Memilih 1 apel ada 3 cara.
– Memilih 1 jeruk ada 2 cara.
– Memilih 1 pisang ada 5 cara.
Total cara:
\[ 3 + 2 + 5 = 10 \]
Jadi, ada 10 cara untuk memilih satu buah dari keranjang tersebut.
Soal 6: Prinsip Perkalian
Soal:
Berapa banyak cara untuk memilih satu baju dari 4 opsi dan satu celana dari 3 opsi?
Pembahasan:
Prinsip perkalian menyatakan bahwa jika ada beberapa cara untuk melakukan tindakan pertama dan beberapa cara untuk melakukan tindakan kedua, maka total cara untuk melakukan kedua tindakan adalah hasil kali dari cara untuk melakukan masing-masing tindakan.
Dalam konteks soal ini,
– Memilih 1 baju ada 4 cara.
– Memilih 1 celana ada 3 cara.
Total cara:
\[ 4 \times 3 = 12 \]
Jadi, ada 12 cara untuk memilih satu baju dan satu celana.
Kesimpulan
Kombinatorik sebagai cabang matematika menawarkan metode dan konsep yang kaya untuk menghitung dan mengatur berbagai objek. Dari permutasi, kombinasi, hingga prinsip penjumlahan dan perkalian, konsep-konsep ini sering digunakan dalam berbagai aplikasi praktis. Dengan memahami contoh soal dan pembahasan di atas, diharapkan pembaca dapat mengaplikasikan konsep kombinatorik dalam situasi yang lebih kompleks serta meningkatkan kemampuan pemecahan masalah dalam bidang matematika maupun ilmu lainnya.
