Contoh Soal Pembahasan Vektor Berkebalikan
Vektor adalah objek matematika yang memiliki besar (magnitudo) dan arah. Dalam studi vektor, kita sering kali dihadapkan dengan vektor-vektor yang memiliki sifat-sifat tertentu. Salah satu konsep dasar dalam vektor adalah vektor berkebalikan atau vektor negatif. Artikel ini akan membahas contoh soal dan pembahasan mengenai vektor berkebalikan.
Pengertian Vektor Berkebalikan
Vektor berkebalikan, sering disebut juga sebagai vektor negatif, adalah vektor yang memiliki magnitudo yang sama tetapi arahnya berlawanan dengan vektor awalnya. Jika suatu vektor dilambangkan dengan \(\vec{a}\), maka vektor berkebalikannya adalah \(-\vec{a}\). Secara matematis, jika \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\), maka \(-\vec{a} = (-a_1, -a_2, -a_3)\).
Contoh Soal 1
Diketahui vektor \(\vec{a} = (3, 4, -2)\). Tentukan vektor berkebalikan dari \(\vec{a}\).
Pembahasan:
Untuk menentukan vektor berkebalikan dari \(\vec{a}\), kita hanya perlu mengubah setiap komponen vektornya menjadi negatif:
\[
-\vec{a} = (-3, -4, 2)
\]
Jadi, vektor berkebalikan dari \(\vec{a} = (3, 4, -2)\) adalah \(-\vec{a} = (-3, -4, 2)\).
Contoh Soal 2
Misalkan vektor \(\vec{b} = (7, -5, 0)\). Tentukan vektor berkebalikan dari \(\vec{b}\) dan verifikasi bahwa \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\).
Pembahasan:
Pertama, kita tentukan vektor berkebalikan dari \(\vec{b}\):
\[
-\vec{b} = (-7, 5, 0)
\]
Selanjutnya, kita verifikasi bahwa penjumlahan vektor \(\vec{b}\) dan vektor berkebalikannya menghasilkan vektor nol:
\[
\vec{b} + (-\vec{b}) = (7, -5, 0) + (-7, 5, 0)
\]
Kita jumlahkan komponen-komponen vektor tersebut:
\[
(7 – 7, -5 + 5, 0 + 0) = (0, 0, 0)
\]
Jadi, \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\), terbukti bahwa hasil penjumlahan vektor \(\vec{b}\) dan vektor berkebalikannya adalah vektor nol.
Contoh Soal 3
Diketahui vektor \(\vec{u} = (2, -1)\) dan \(\vec{v} = (-2, 1)\). Apakah \(\vec{u}\) merupakan vektor berkebalikan dari \(\vec{v}\) ?
Pembahasan:
Untuk menentukan apakah \(\vec{u}\) dan \(\vec{v}\) adalah vektor berkebalikan, kita perlu memeriksa apakah \(\vec{v} = -\vec{u}\).
Hitung \(-\vec{u}\):
\[
-\vec{u} = (-2, 1)
\]
Ternyata, \(-\vec{u} = \vec{v}\), hal ini berarti vektor \(\vec{u}\) memang merupakan vektor berkebalikan dari vektor \(\vec{v}\).
Contoh Soal 4
Jika vektor \(\vec{w}\) diketahui memiliki besar (magnitudo) 5 dan arah berlawanan dengan vektor \(\vec{p} = (4, 3)\), tentukan \(\vec{w}\) dalam bentuk komponen.
Pembahasan:
Pertama, kita temukan magnitudo dari vektor \(\vec{p}\):
\[
|\vec{p}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
Karena \(\vec{w}\) memiliki magnitudo yang sama dengan \(\vec{p}\) tetapi arah yang berlawanan, maka:
\[
\vec{w} = -\vec{p} = (-4, -3)
\]
Jadi, vektor \(\vec{w}\) dalam bentuk komponen adalah \(\vec{w} = (-4, -3)\).
Contoh Soal 5
Diketahui titik A(2, 3) dan titik B(4, 7). Tentukan vektor posisi dari titik A ke titik B dan vektor yang berkebalikan dari vektor tersebut.
Pembahasan:
Vektor posisi dari titik A ke titik B:
\[
\vec{AB} = (B_x – A_x, B_y – A_y) = (4 – 2, 7 – 3) = (2, 4)
\]
Vektor berkebalikan dari \(\vec{AB}\):
\[
-\vec{AB} = (-2, -4)
\]
Jadi, vektor yang berkebalikan dari vektor posisi \(\vec{AB} = (2, 4)\) adalah \(-\vec{AB} = (-2, -4)\).
Contoh Soal 6
Diberikan vektor \(\vec{m} = (x, y)\) dan diketahui vektor berkebalikan dari \(\vec{m}\) adalah \( (-5, 12)\). Tentukan nilai x dan y.
Pembahasan:
Vektor berkebalikan dari \(\vec{m}\) adalah \( (-x, -y) \), dan menurut soal, \((-x, -y) = (-5, 12)\).
Dengan mencocokkan komponen vektor, kita peroleh:
\[
-x = -5 \implies x = 5
\]
\[
-y = 12 \implies y = -12
\]
Jadi, nilai \(x\) adalah 5 dan nilai \(y\) adalah -12.
Kesimpulan
Vektor berkebalikan adalah vektor yang memiliki magnitudo yang sama namun dengan arah yang berlawanan. Dengan memahami konsep vektor berkebalikan, kita dapat memecahkan berbagai masalah yang berkaitan dengan vektor, seperti menentukan vektor negatif, memverifikasi penjumlahan vektor menjadi vektor nol, dan lain sebagainya. Pembahasan contoh soal di atas diharapkan dapat menambah pengetahuan dan pemahaman kita dalam bekerja dengan vektor berkebalikan.
