Contoh Soal Pembahasan Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran adalah salah satu materi penting dalam pelajaran geometri analitik. Pemahaman yang baik tentang persamaan lingkaran sangat berguna, tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam berbagai penerapan teknik dan sains. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal persamaan lingkaran beserta langkah-langkah penyelesaiannya. Tujuannya adalah untuk memberikan gambaran yang jelas dan lengkap tentang bagaimana menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan persamaan lingkaran.
Persamaan Lingkaran Secara Umum
Persamaan lingkaran yang paling umum dalam koordinat kartesius adalah:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Di mana:
– \( (a, b) \) adalah koordinat pusat lingkaran.
– \( r \) adalah jari-jari lingkaran.
Jika pusat lingkaran berada di titik \( (0, 0) \), persamaan lingkaran akan menjadi:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Sekarang, mari kita bahas beberapa contoh soal dan penyelesaiannya.
Contoh Soal 1
Soal: Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya di titik (3, -2) dan memiliki jari-jari 5.
Penyelesaian:
Gunakan rumus umum persamaan lingkaran:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Substitusikan nilai \( a = 3 \), \( b = -2 \), dan \( r = 5 \):
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Jadi, persamaan lingkarannya adalah:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Contoh Soal 2
Soal: Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya di titik asal (0, 0) dan memiliki jari-jari 7.
Penyelesaian:
Karena pusat lingkaran berada di titik asal, kita dapat menggunakan persamaan sederhana:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Substitusikan nilai \( r = 7 \):
\[ x^2 + y^2 = 7^2 \]
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
Jadi, persamaan lingkarannya adalah:
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
Contoh Soal 3
Soal: Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya di titik (4, -5) dan menyinggung sumbu Y.
Penyelesaian:
Lingkaran menyinggung sumbu Y berarti jarak dari pusat lingkaran ke sumbu Y sama dengan jari-jarinya. Jarak ini adalah nilai absolut dari koordinat X pusat lingkaran. Jadi, jari-jarinya adalah 4.
Gunakan rumus umum persamaan lingkaran:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Substitusikan nilai \( a = 4 \), \( b = -5 \), dan \( r = 4 \):
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 4^2 \]
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Jadi, persamaan lingkarannya adalah:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Contoh Soal 4
Soal: Sebuah lingkaran memiliki persamaan \( x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \). Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut.
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita perlu mengubahnya ke bentuk standar \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \). Langkah-langkah untuk menyelesaikannya adalah sebagai berikut:
1. Mengelompokkan dan menyelesaikan kuadrat sempurna:
Persamaan awal adalah:
\[ x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \]
Kelompokkan \( x \) dan \( y \):
\[ (x^2 – 6x) + (y^2 + 4y) = 12 \]
2. Selesaikan kuadrat sempurna:
Untuk \( x^2 – 6x \):
\[ x^2 – 6x + 9 \]
Untuk \( y^2 + 4y \):
\[ y^2 + 4y + 4 \]
Tambahkan 9 dan 4 pada kedua sisi persamaan:
\[ (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Jadi, persamaan lingkaran dalam bentuk standar adalah:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Dari sini, kita dapat melihat pusat lingkaran adalah \( (3, -2) \) dan jari-jarinya adalah \( r = \sqrt{25} = 5 \).
Contoh Soal 5
Soal: Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (2, 3) dan (4, 5), serta pusatnya berada di garis x = 3.
Penyelesaian:
Dari soal, kita tahu pusat lingkaran adalah (3, b). Lingkaran juga melalui dua titik yang diketahui. Karena lingkaran melalui (2, 3), maka jarak dari pusat ke titik ini adalah jari-jari.
Persamaan lingkaran adalah:
\[ (x – 3)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Substitusi titik (2, 3):
\[ (2 – 3)^2 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ (3 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Substitusi titik (4, 5):
\[ (4 – 3)^2 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ (5 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Dari kedua persamaan, kita tahu (3 – b)^2 = (5 – b)^2. Jadi:
\[ 3 – b = \pm(5 – b) \]
Jika \( 3 – b = 5 – b \), hasilnya tidak mungkin benar. Jadi:
\[ 3 – b = -(5 – b) \]
\[ b = 4 \]
Dengan b = 4, maka persamaan lingkarannya adalah:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Namun Jari – jari r bisa kita hitung dari jarak antara pusat dengan titik (2, 3) = \(\sqrt{(2 – 3)^2 + (3 – 4)^2} \) = \(\sqrt{1+1}\) = \(\sqrt {2}\)
Persamaan lingkaran menjadi:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Kesimpulan
Pemahaman tentang persamaan lingkaran dapat memudahkan penyelesaian banyak soal matematika. Dalam setiap kasus, identifikasi pusat dan jari-jari sangat penting. Semoga contoh-contoh soal dan pembahasannya ini memberikan klarifikasi dan membantu Anda dalam mempelajari persamaan lingkaran. Practice makes perfect dalam matematika, jadi jangan ragu untuk mencoba berbagai soal agar semakin mahir.
