Contoh Soal Pembahasan Teorema Dasar Kalkulus
Kalkulus adalah salah satu cabang penting dalam matematika yang melibatkan konsep limit, turunan, dan integral. Teorema Dasar Kalkulus (FDTC) adalah salah satu teorema paling mendasar yang menghubungkan konsep-konsep ini. Pada artikel ini, kami akan mengupas pengertian dan aplikasi Teorema Dasar Kalkulus melalui serangkaian contoh soal dan pembahasannya.
Pengertian Teorema Dasar Kalkulus
Teorema Dasar Kalkulus terdiri dari dua bagian utama:
1. Bagian Pertama: Jika \( f \) adalah fungsi kontinu pada interval \([a, b]\), dan \( F \) adalah antiturunan dari \( f \) pada interval tersebut, maka:
\[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) – F(a) \]
2. Bagian Kedua: Jika \( f \) adalah fungsi kontinu pada interval \([a, b]\), dan kita definisikan suatu fungsi \( F \) oleh:
\[ F(x) = \int_a^x f(t) \, dt \]
maka \( F \) adalah antiturunan dari \( f \), yaitu:
\[ F'(x) = f(x) \]
Setelah memahami konsep dasar tersebut, mari kita langsung memasuki beberapa contoh soal dan pembahasannya untuk memperjelas aplikasi dari Teorema Dasar Kalkulus.
Contoh Soal Pembahasan
Contoh Soal 1: Menggunakan Bagian Pertama Teorema Dasar Kalkulus
Soal:
Diberikan fungsi \( f(x) = 3x^2 \). Hitunglah integral tak tentu dari \( f(x) \) dari \( x = 1 \) hingga \( x = 4 \).
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari antiturunan \( F(x) \) dari \( f(x) \).
Langkah 1: Cari antiturunan \( F(x) \) dari \( f(x) = 3x^2 \).
\[ \int 3x^2 \, dx = x^3 + C \]
Jadi, \( F(x) = x^3 \).
Langkah 2: Hitung nilai \( F(x) \) pada batas integral yang diberikan.
\[ \int_1^4 3x^2 \, dx = F(4) – F(1) \]
\[ = 4^3 – 1^3 \]
\[ = 64 – 1 \]
\[ = 63 \]
Jadi, nilai integral tersebut adalah 63.
Contoh Soal 2: Menggunakan Bagian Kedua Teorema Dasar Kalkulus
Soal:
Jika \( F(x) = \int_2^x (2t + 1) \, dt \), carilah turunan dari \( F(x) \).
Pembahasan:
Menurut bagian kedua Teorema Dasar Kalkulus, jika \( F(x) = \int_a^x f(t) \, dt \), maka \( F'(x) = f(x) \).
Sesuai dengan situasi yang diberikan:
\[ F(x) = \int_2^x (2t + 1) \, dt \]
Maka turunan \( F(x) \) adalah:
\[ F'(x) = 2x + 1 \]
Contoh Soal 3: Menggunakan Teorema Dasar Kalkulus dengan Fungsi Lebih Kompleks
Soal:
Diberikan \( f(x) = \sqrt{x} \). Hitunglah integral tak tentu dari \( f(x) \) dari \( x = 0 \) hingga \( x = 4 \).
Pembahasan:
Langkah 1: Cari antiturunan \( F(x) \) dari \( f(x) = \sqrt{x} \).
\[ \int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx \]
Gunakan aturan dasar integral:
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
Maka:
\[ \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C \]
\[ = \frac{2}{3} x^{3/2} + C \]
Jadi, \( F(x) = \frac{2}{3} x^{3/2} \).
Langkah 2: Hitung nilai \( F(x) \) pada batas integral yang diberikan.
\[ \int_0^4 \sqrt{x} \, dx = F(4) – F(0) \]
\[ = \left( \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} \right) – \left( \frac{2}{3} \cdot 0^{3/2} \right) \]
\[ = \frac{2}{3} \cdot 8 – 0 \]
\[ = \frac{16}{3} \]
Jadi, nilai integral tersebut adalah \( \frac{16}{3} \).
Contoh Soal 4: Integral dengan Fungsi Pecahan
Soal:
Integrasikan \( f(x) = \frac{2}{x} \) dari \( x = 1 \) sampai \( x = 3 \).
Pembahasan:
Langkah 1: Cari antiturunan \( F(x) \) dari \( f(x) = \frac{2}{x} \).
\[ \int \frac{2}{x} \, dx = 2 \int \frac{1}{x} \, dx \]
Kita tahu bahwa:
\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C \]
Jadi:
\[ \int \frac{2}{x} \, dx = 2 \ln |x| + C \]
Dan \( F(x) = 2 \ln |x| \).
Langkah 2: Hitung nilai \( F(x) \) pada batas integral yang diberikan.
\[ \int_1^3 \frac{2}{x} \, dx = F(3) – F(1) \]
\[ = 2 \ln |3| – 2 \ln |1| \]
\[ = 2 \ln 3 – 2 \ln 1 \]
\[ = 2 \ln 3 – 0 \]
\[ = 2 \ln 3 \]
Jadi, nilai integral tersebut adalah \( 2 \ln 3 \).
Contoh Soal 5: Integral Fungsi Trigonometri
Soal:
Integrasikan \( f(x) = \sin x \) dari \( x = 0 \) sampai \( x = \pi \).
Pembahasan:
Langkah 1: Cari antiturunan \( F(x) \) dari \( f(x) = \sin x \).
\[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]
Dan \( F(x) = -\cos x \).
Langkah 2: Hitung nilai \( F(x) \) pada batas integral yang diberikan.
\[ \int_0^\pi \sin x \, dx = F(\pi) – F(0) \]
\[ = -\cos(\pi) – (-\cos(0)) \]
\[ = -(-1) – (-1) \]
\[ = 1 – (-1) \]
\[ = 1 + 1 \]
\[ = 2 \]
Jadi, nilai integral tersebut adalah 2.
Kesimpulan
Teorema Dasar Kalkulus adalah alat yang sangat kuat dalam kalkulus dan matematika secara umum. Dengan menghubungkan turunan dan integral, teorema ini memungkinkan kita untuk menghitung area di bawah kurva dan memahami perubahan fungsi dengan cara yang lebih mendalam. Memahami dan menguasai penerapan teorema ini melalui latihan soal adalah kunci untuk menjadi mahir dalam kalkulus. Artikel ini hanya menggores permukaan dari apa yang dapat dicapai dengan Teorema Dasar Kalkulus, tetapi semoga memberikan gambaran yang jelas tentang cara bekerja dengan salah satu konsep matematika yang paling mendasar ini.
