Contoh Soal Pembahasan Distribusi Normal
Distribusi normal, sering juga dikenal sebagai distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling umum digunakan dalam statistika. Distribusi ini memiliki bentuk lonceng simetris yang menunjukkan bahwa data diatur di sekitar rata-rata dan probabilitas ekstrem (nilai yang jauh dari rata-rata) adalah rendah.
Dalam artikel ini, kita akan membahas berbagai contoh soal yang melibatkan distribusi normal dan penyelesaiannya. Kita mulai dengan mengenalkan beberapa konsep dasar dan lanjut ke contoh soal yang lebih kompleks.
Dasar-dasar Distribusi Normal
Distribusi normal adalah distribusi kontinu yang memiliki dua parameter: rata-rata (mean) dan simpangan baku (standard deviation atau SD). Rata-rata menentukan posisi pusat distribusi, sementara simpangan baku menentukan lebar distribusi.
Ciri-ciri penting dari distribusi normal:
1. Simetri : Distribusi normal simetris terhadap rata-rata.
2. Empirical Rule (Aturan Empiris) :
– Sekitar 68% data terletak dalam satu simpangan baku dari rata-rata.
– Sekitar 95% data terletak dalam dua simpangan baku dari rata-rata.
– Sekitar 99.7% data terletak dalam tiga simpangan baku dari rata-rata.
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal 1: Menghitung Z-Score
Soal : Suatu ujian memiliki rata-rata nilai 70 dengan simpangan baku 10. Seorang siswa mendapat nilai 80. Berapa nilai Z-score dari siswa tersebut?
Penyelesaian :
Z-score adalah ukuran dari berapa banyak simpangan baku di suatu nilai berada dari rata-rata.
Rumus Z-score:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Dimana:
– \( X \) adalah nilai yang diobservasi.
– \( \mu \) adalah rata-rata.
– \( \sigma \) adalah simpangan baku.
Diketahui:
– \( X = 80 \)
– \( \mu = 70 \)
– \( \sigma = 10 \)
Penerapan rumus:
\[ Z = \frac{80 – 70}{10} = 1 \]
Jadi, Z-score siswa tersebut adalah 1, yang berarti nilai 80 adalah satu simpangan baku di atas rata-rata.
Contoh Soal 2: Probabilitas Nilai Tertentu
Soal : Dalam distribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 15, berapa probabilitas menemukan nilai di bawah 85?
Penyelesaian :
Langkah-langkahnya:
1. Hitung Z-score untuk nilai \( X = 85 \):
\[ Z = \frac{85 – 100}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \]
2. Gunakan tabel Z atau kalkulator statistik untuk menemukan probabilitas yang sesuai dengan Z-score -1. Dalam tabel Z, probabilitas nilai Z = -1 adalah sekitar 0.1587.
Jadi, probabilitas menemukan nilai di bawah 85 adalah 0.1587 atau 15.87%.
Contoh Soal 3: Menggunakan Aturan Empiris
Soal : Diketahui bahwa distribusi nilai ujian matematika di sekolah mengikuti distribusi normal dengan rata-rata 75 dan simpangan baku 8. Berapakah proporsi siswa yang mendapat nilai antara 67 dan 83?
Penyelesaian :
Langkah-langkah:
1. Hitung Z-score untuk nilai 67 dan 83:
\[ Z_{67} = \frac{67 – 75}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]
\[ Z_{83} = \frac{83 – 75}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
2. Menurut aturan empiris, nilai antara -1 SD dan +1 SD dari rata-rata mencakup sekitar 68% dari populasi.
Jadi, proporsi siswa yang mendapat nilai antara 67 dan 83 adalah sekitar 68%.
Contoh Soal 4: Menghitung Nilai dari Persentil
Soal : Jika rata-rata tinggi badan pria dewasa di suatu negara adalah 175 cm dengan simpangan baku 7 cm, berapa tinggi yang berada pada persentil ke-90?
Penyelesaian :
Langkah-langkah:
1. Temukan Z-score yang sesuai dengan persentil ke-90. Berdasarkan tabel Z, nilai Z yang mendekati 0.9000 adalah sekitar 1.28.
2. Gunakan rumus untuk menghitung nilai \( X \):
\[ X = \mu + Z \times \sigma \]
\[ X = 175 + 1.28 \times 7 \]
\[ X = 175 + 8.96 \]
\[ X = 183.96 \]
Jadi, tinggi badan yang berada pada persentil ke-90 adalah sekitar 183.96 cm.
Contoh Soal 5: Probabilitas Interval Tertentu
Soal : Diberikan bahwa distribusi berat badan bayi yang baru lahir mengikuti distribusi normal dengan rata-rata 3.5 kg dan simpangan baku 0.5 kg, berapa probabilitas bayi yang beratnya antara 3 kg dan 4 kg?
Penyelesaian :
Langkah-langkah:
1. Hitung Z-score untuk nilai 3 kg dan 4 kg:
\[ Z_{3} = \frac{3 – 3.5}{0.5} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 \]
\[ Z_{4} = \frac{4 – 3.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \]
2. Probabilitas untuk Z-score antara -1 dan 1 berdasarkan tabel Z adalah sekitar 0.6826 atau 68.26%.
Jadi, probabilitas bayi yang beratnya antara 3 kg dan 4 kg adalah sekitar 68.26%.
Kesimpulan
Distribusi normal adalah konsep dasar yang sangat penting dalam statistika dan memiliki banyak aplikasi nyata. Dalam artikel ini, kita telah menjelaskan konsep dasar distribusi normal dan menyelesaikan beberapa contoh soal untuk memperdalam pemahaman kita.
Memahami distribusi normal bukan hanya penting untuk statistika tetapi juga untuk berbagai bidang praktis seperti psikologi, ekonomi, dan ilmu sosial lainnya. Dengan latihan yang cukup, memecahkan soal-soal distribusi normal dapat menjadi lebih intuitif dan membantu dalam pengambilan keputusan berbasis data.
