Contoh Soal dan Pembahasan Perkalian Skalar dengan Vektor
Pendahuluan
Dalam matematika dan fisika, perkalian skalar dengan vektor adalah operasi dasar yang sering digunakan. Perkalian ini penting untuk mengembangkan konsep geometri, mekanika, dan analisis vektor yang lebih rumit. Artikel ini bertujuan untuk menjelaskan konsep perkalian skalar dengan vektor serta memberikan contoh soal beserta pembahasan untuk memperjelas pemahaman.
Pengertian Perkalian Skalar dengan Vektor
Perkalian skalar dengan vektor adalah operasi di mana skalar (bilangan tunggal) mengalikan setiap komponen dari sebuah vektor. Hasil dari operasi ini adalah vektor baru yang arahnya sama dengan vektor asli tetapi dengan magnitudo yang telah diubah oleh skalar tersebut. Secara umum, jika kita memiliki vektor \(\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)\) dan skalar \(k\), maka perkaliannya \(k \mathbf{v}\) adalah:
\[
k \mathbf{v} = (k v_1, k v_2, k v_3)
\]
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1
Misalkan terdapat sebuah vektor \(\mathbf{v} = (3, -4, 5)\) dan skalar \(k = 2\). Hitunglah hasil kali dari skalar dan vektor tersebut.
Pembahasan 1
Dengan menggunakan definisi perkalian skalar dengan vektor:
\[
k \mathbf{v} = 2 \cdot (3, -4, 5)
\]
Langkah-langkah perhitungannya adalah sebagai berikut:
\[
k \mathbf{v} = (2 \cdot 3, 2 \cdot -4, 2 \cdot 5)
\]
\[
k \mathbf{v} = (6, -8, 10)
\]
Jadi, hasil kali dari skalar \(2\) dengan vektor \((3, -4, 5)\) adalah \((6, -8, 10)\).
Soal 2
Jika terdapat vektor \(\mathbf{w} = (-1, 0, 7)\) dan skalar \(k = -3\), tentukan hasil kali skalar tersebut.
Pembahasan 2
Dengan menggunakan formula yang sama seperti sebelumnya:
\[
k \mathbf{w} = -3 \cdot (-1, 0, 7)
\]
Langkah-langkah perhitungannya adalah sebagai berikut:
\[
k \mathbf{w} = (-3 \cdot -1, -3 \cdot 0, -3 \cdot 7)
\]
\[
k \mathbf{w} = (3, 0, -21)
\]
Hasil kali dari skalar \(-3\) dengan vektor \((-1, 0, 7)\) adalah \((3, 0, -21)\).
Soal 3
Terdapat vektor \(\mathbf{u} = (2, -1, 4)\). Apabila vektor tersebut dikalikan dengan skalar \(\frac{1}{2}\), tentukan hasil perkalian tersebut.
Pembahasan 3
Dengan menggunakan formula yang sama:
\[
k \mathbf{u} = \frac{1}{2} \cdot (2, -1, 4)
\]
Langkah-langkah perhitungannya adalah sebagai berikut:
\[
k \mathbf{u} = \left(\frac{1}{2} \cdot 2, \frac{1}{2} \cdot -1, \frac{1}{2} \cdot 4\right)
\]
\[
k \mathbf{u} = (1, -0.5, 2)
\]
Jadi, hasil kali dari skalar \(\frac{1}{2}\) dengan vektor \((2, -1, 4)\) adalah \((1, -0.5, 2)\).
Soal 4
Diberikan vektor \(\mathbf{a} = (6, 8, -3)\) dan skalar \(k = 0\). Tentukan hasil perkalinya.
Pembahasan 4
Dengan menggunakan formula perkalian skalar dengan vektor:
\[
k \mathbf{a} = 0 \cdot (6, 8, -3)
\]
Langkah-langkah perhitungannya adalah sebagai berikut:
\[
k \mathbf{a} = (0 \cdot 6, 0 \cdot 8, 0 \cdot -3)
\]
\[
k \mathbf{a} = (0, 0, 0)
\]
Hasil kali dari skalar \(0\) dengan vektor \((6, 8, -3)\) adalah \((0, 0, 0)\). Hal ini menunjukkan bahwa perkalian vektor dengan skalar \(0\) akan menghasilkan vektor nol.
Soal 5
Misalkan ada dua vektor \(\mathbf{b} = (7, -2, 3)\) dan \(\mathbf{c} = (-5, 4, 6)\). Tentukan perkalian skalar \(4\) dengan hasil penjumlahan kedua vektor tersebut.
Pembahasan 5
Langkah pertama adalah menjumlahkan kedua vektor tersebut:
\[
\mathbf{b} + \mathbf{c} = (7, -2, 3) + (-5, 4, 6)
\]
Penjumlahan vektor dilakukan dengan menjumlahkan komponen-komponen yang bersesuaian:
\[
\mathbf{b} + \mathbf{c} = (7 + (-5), -2 + 4, 3 + 6)
\]
\[
\mathbf{b} + \mathbf{c} = (2, 2, 9)
\]
Langkah berikutnya, kalikan hasilnya dengan skalar \(4\):
\[
4 (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = 4 \cdot (2, 2, 9)
\]
Langkah perhitungannya adalah:
\[
4 (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = (4 \cdot 2, 4 \cdot 2, 4 \cdot 9)
\]
\[
4 (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = (8, 8, 36)
\]
Jadi, hasil kali skalar \(4\) dengan hasil penjumlahan kedua vektor tersebut adalah \((8, 8, 36)\).
Kesimpulan
Perkalian skalar dengan vektor adalah operasi sederhana namun fundamental dalam banyak bidang ilmu pengetahuan. Dengan mengalikan skalar dengan setiap komponen vektor, kita dapat dengan mudah mengubah magnitudo vektor tanpa mengubah arahnya. Artikel ini telah menjelaskan konsep tersebut dan memberikan contoh soal serta pembahasan untuk memperjelas cara kerja operasi ini. Dengan memahami operasi dasar ini, kita dapat lebih mudah menguasai konsep-konsep lebih lanjut dalam matematika dan fisika.
Diharapkan melalui artikel dan contoh soal ini, pembaca dapat memiliki pemahaman yang lebih baik tentang perkalian skalar dengan vektor, dan dapat menerapkannya dalam situasi dan masalah nyata.
