Contoh Soal dan Pembahasan Trigonometri
Trigonometri adalah cabang matematika yang membahas hubungan antara sudut dan panjang sisi dalam segitiga. Konsep dasar trigonometri sangat penting dipahami dalam berbagai aplikasi mulai dari fisika, teknik, astronomi, hingga geografi. Pada artikel ini, kita akan menjelaskan beberapa contoh soal beserta pembahasan lengkapnya untuk membantu pemahaman.
Contoh Soal 1: Menghitung Sisi Segitiga dengan Metode Sinus
Soal:
Diberikan sebuah segitiga ABC, dengan sudut A = 30°, sudut B = 45°, dan sisi b = 10 cm. Hitunglah panjang sisi a.
Pembahasan:
Gunakan hukum sinus:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \]
Masukkan nilai yang telah diketahui:
\[ \frac{a}{\sin 30°} = \frac{10}{\sin 45°} \]
Kita tahu bahwa:
\[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]
\[ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Sekarang, substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam persamaan:
\[ \frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
Sederhanakan persamaan:
\[ 2a = \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{2}} \]
\[ 2a = \frac{20}{\sqrt{2}} \]
Rasionalisasikan penyebut:
\[ 2a = \frac{20 \cdot \sqrt{2}}{2} \]
\[ 2a = 10\sqrt{2} \]
\[ a = 5\sqrt{2} \]
Jadi, panjang sisi a adalah \( 5\sqrt{2} \) cm.
Contoh Soal 2: Menghitung Sudut Menggunakan Metode Cosinus
Soal:
Sebuah segitiga memiliki panjang sisi a = 7 cm, b = 10 cm, dan c = 5 cm. Tentukan besar sudut C.
Pembahasan:
Gunakan hukum cosinus:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
Masukkan nilai yang telah diketahui:
\[ 5^2 = 7^2 + 10^2 – 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos C \]
Sederhanakan persamaan:
\[ 25 = 49 + 100 – 140 \cos C \]
\[ 25 = 149 – 140 \cos C \]
Pindahkan 149 ke sisi kiri:
\[ 25 – 149 = -140 \cos C \]
\[ -124 = -140 \cos C \]
\[ \cos C = \frac{124}{140} \]
\[ \cos C = \frac{62}{70} \]
\[ \cos C = \frac{31}{35} \]
Gunakan kalkulator untuk menemukan \( \cos^{-1} \) (inverse cosinus):
\[ C \approx \cos^{-1}\left(\frac{31}{35}\right) \]
\[ C \approx 25.84° \]
Jadi, besar sudut C adalah sekitar 25.84°.
Contoh Soal 3: Menghitung Tinggi dan Luas Segitiga
Soal:
Sebuah segitiga memiliki dua sisi yang panjangnya a = 6 cm dan b = 8 cm dengan sudut antara mereka, \(\theta\) = 60°. Hitung tinggi dan luas segitiga tersebut.
Pembahasan:
1. Menghitung Luas Segitiga:
Gunakan rumus luas segitiga:
\[ \text{Luas} = \frac{1}{2} a b \sin \theta \]
Masukkan nilai yang sudah diketahui:
\[ \text{Luas} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 60° \]
Kita tahu bahwa:
\[ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Jadi:
\[ \text{Luas} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Luas} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Luas} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Luas} = 12\sqrt{3} \]
Jadi, luas segitiga adalah \( 12\sqrt{3} \) cm².
2. Menghitung Tinggi Segitiga dari Alas a:
Untuk menghitung tinggi segitiga, denotasi tinggi sebagai h dan gunakan formula luas:
\[ \text{Luas} = \frac{1}{2} \times a \times h \]
\[ 12\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 6 \times h \]
\[ 12\sqrt{3} = 3h \]
\[ h = \frac{12\sqrt{3}}{3} \]
\[ h = 4\sqrt{3} \]
Jadi, tinggi segitiga adalah \( 4\sqrt{3} \) cm.
Contoh Soal 4: Menentukan Sisi Segitiga Siku-Siku
Soal:
Dalam segitiga siku-siku, dengan sudut \(\theta\) = 30° dan sisi sejajar sudut \(\theta\) adalah 5 cm, tentukan panjang sisi miring (hipotenusa).
Pembahasan:
Gunakan perbandingan trigonometri untuk sudut 30° pada segitiga siku-siku:
\[ \sin \theta = \frac{\text{depan}}{\text{hipotenusa}} \]
\[ \sin 30° = \frac{depan}{hipotenusa} = \frac{5}{\text{hipotenusa}} \]
Kita tahu bahwa:
\[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]
Jadi:
\[ \frac{1}{2} = \frac{5}{\text{hipotenusa}} \]
\[ \text{hipotenusa} = 10 \]
Jadi, panjang sisi miring (hipotenusa) adalah 10 cm.
Contoh Soal 5: Menghitung Sudut dengan Fungsi Trigonometri
Soal:
Jika \( \tan \theta = \frac{3}{4} \), hitunglah besar sudut \(\theta\).
Pembahasan:
Menggunakan rumus inverse tangens:
\[ \theta = \tan^{-1} \left(\frac{3}{4}\right) \]
Dengan bantuan kalkulator:
\[ \theta \approx 36.87° \]
Jadi, besar sudut \(\theta\) adalah sekitar 36.87°.
Kesimpulan
Trigonometri adalah konsep matematika yang luas dan sangat aplikatif di berbagai bidang ilmu. Memahami bagaimana menggunakan hukum sinus, cosinus, dan fungsi dasar lainnya memungkinkan kita untuk menyelesaikan berbagai masalah yang berkaitan dengan segitiga dan sudut. Melalui contoh soal di atas, diharapkan pembaca memiliki pemahaman lebih mendalam dan mampu menerapkannya dalam berbagai situasi yang memerlukan pemahaman trigonometri.
