Contoh Soal dan Pembahasan Pengurangan Vektor
Pendahuluan
Dalam dunia matematika dan fisika, vektor adalah salah satu konsep fundamental yang digunakan untuk menjelaskan banyak fenomena alam dan teknik. Vektor adalah besaran yang memiliki magnitude (besar) dan arah. Beberapa contoh penting dari vektor adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, dan gaya. Dalam artikel ini, kita akan membahas tentang pengurangan vektor, meskipun topik ini sering kali ditekankan dalam penggabungan vektor.
Pengurangan vektor merupakan operasi dasar yang sangat penting dalam analisis vektor. Untuk menggali lebih dalam tentang konsep ini, mari kita tinjau beberapa contoh soal dan pembahasan terkait pengurangan vektor.
Pengurangan Vektor
Pengurangan vektor {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} didefinisikan sebagai operasi penjumlahan vektor {\displaystyle \mathbf{A}} dengan vektor {\displaystyle -\mathbf{B}}, di mana {\displaystyle -\mathbf{B}} adalah vektor dengan magnitude yang sama dengan {\displaystyle \mathbf{B}} tetapi dengan arah yang berlawanan. Secara matematis, ini bisa ditulis sebagai:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})}
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1: Pengurangan Vektor Dua Dimensi
Misalkan terdapat dua vektor dalam koordinat kartesian:
{\displaystyle \mathbf{A} = (4, 3)} dan {\displaystyle \mathbf{B} = (1, 2)}. Hitunglah {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}}.
Pembahasan:
Langkah pertama adalah mencari vektor negatif dari {\displaystyle \mathbf{B}}, yaitu:
{\displaystyle -\mathbf{B} = (-1, -2)}
Selanjutnya, tambahkan vektor {\displaystyle \mathbf{A}} dengan {\displaystyle -\mathbf{B}}:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4, 3) + (-1, -2)}
Lakukan operasi penambahan vektor dengan menjumlahkan setiap komponen x dan y:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4 + (-1), 3 + (-2))}
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (3, 1)}
Jadi, hasil pengurangan vektor {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} adalah vektor (3, 1).
Soal 2: Pengurangan Vektor Tiga Dimensi
Diberikan dua vektor dalam koordinat tiga dimensi:
{\displaystyle \mathbf{P} = (2, -4, 6)} dan {\displaystyle \mathbf{Q} = (-3, 5, 7)}. Hitunglah {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}}.
Pembahasan:
Langkah pertama adalah mencari vektor negatif dari {\displaystyle \mathbf{Q}}:
{\displaystyle -\mathbf{Q} = (3, -5, -7)}
Selanjutnya, tambahkan vektor {\displaystyle \mathbf{P}} dengan {\displaystyle -\mathbf{Q}}:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}
Lakukan operasi penambahan vektor dengan menjumlahkan setiap komponen x, y, dan z:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (5, -9, -1)}
Jadi, hasil pengurangan vektor {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} adalah vektor (5, -9, -1).
Soal 3: Pengurangan Vektor pada Bidang Kompleks
Misalkan terdapat dua vektor yang direpresentasikan dengan bilangan kompleks:
{\displaystyle \mathbf{M} = 3 + 4i} dan {\displaystyle \mathbf{N} = 1 + 2i}. Hitunglah {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}}.
Pembahasan:
Langkah pertama adalah mencari vektor negatif dari {\displaystyle \mathbf{N}}:
{\displaystyle -\mathbf{N} = -1 – 2i}
Selanjutnya, tambahkan vektor {\displaystyle \mathbf{M}} dengan {\displaystyle -\mathbf{N}}:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + 4i) + (-1 – 2i)}
Lakukan operasi penambahan vektor dengan menjumlahkan setiap komponen nyata dan imajiner:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + (-1)) + (4i + (-2i))}
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = 2 + 2i}
Jadi, hasil pengurangan vektor {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} adalah bilangan kompleks 2 + 2i.
Soal 4: Pengurangan Vektor dalam Sistem Koordinat Polar
Misalkan terdapat dua vektor dalam koordinat polar:
{\displaystyle \mathbf{U}} memiliki magnitude 5 dan sudut 30°,
dan {\displaystyle \mathbf{V}} memiliki magnitude 3 dan sudut 150°.
Hitunglah {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}}.
Pembahasan:
Langkah pertama adalah mengonversi vektor {\displaystyle \mathbf{U}} dan {\displaystyle \mathbf{V}} ke koordinat kartesian.
Untuk {\displaystyle \mathbf{U}}:
{\displaystyle U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 \cdot 0.866 = 4.33}
{\displaystyle U_y = 5 \sin(30^\circ) = 5 \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot 0.5 = 2.5}
Sehingga {\displaystyle \mathbf{U}} dalam kartesian adalah (4.33, 2.5).
Untuk {\displaystyle \mathbf{V}}:
{\displaystyle V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
{\displaystyle V_y = 3 \sin(150^\circ) = 3 \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot 0.5 = 1.5}
Sehingga {\displaystyle \mathbf{V}} dalam kartesian adalah (-2.598, 1.5).
Langkah selanjutnya, hitung pengurangan vektor dalam kartesian:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}
Yang berarti dengan menambahkan negatif vektor:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (6.928, 1)}
Jadi, hasil pengurangan vektor {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} dalam koordinat kartesian adalah (6.928, 1).
Kesimpulan
Pengurangan vektor adalah operasi matematis yang esensial dalam berbagai bidang yang menggunakan analisis vektor. Baik dalam dua dimensi, tiga dimensi, sistem koordinat kompleks, atau polar, prinsip dasarnya tetap sama: yaitu menambahkan vektor satu dengan negatif dari vektor lainnya. Contoh soal di atas mengilustrasikan berbagai cara mengaplikasikan operasi ini dalam konteks yang berbeda, membantu kita memahami konsep ini secara lebih mendalam dan praktis.
