Bí a ṣe lè yanjú àwọn ohun èlò díẹ̀díẹ̀: Ìtọ́sọ́nà pípé
Ìṣọ̀kan àwọn ẹ̀yà jẹ́ ọ̀nà pàtàkì nínú ìṣirò tí ó máa ń hàn nígbà gbogbo ní onírúurú ẹ̀ka, láti fisiksi àti ìmọ̀ ẹ̀rọ sí ọrọ̀ ajé àti statistiki. Ní ọ̀pọ̀lọpọ̀ ìgbà, àwọn ẹ̀yà tí ó dàbí ẹni pé ó díjú tàbí tí kò ṣeé yanjú nípa lílo àwọn ọ̀nà ìṣàpẹẹrẹ lè rọrùn nípa lílo ìṣọ̀kan àwọn ẹ̀yà. Àpilẹ̀kọ yìí yóò fúnni ní ìtọ́sọ́nà kíkún lórí bí a ṣe lè yanjú àwọn ẹ̀yà nípa lílo àwọn ẹ̀yà, pẹ̀lú àwọn èrò ìpìlẹ̀, àwọn ìgbésẹ̀ ìdáhùn, àti àwọn àpẹẹrẹ ìṣe.
Kí ni Apakan Integral kan?
Ìṣọ̀kan apa kan jẹ́ ọ̀nà ìṣọ̀kan tí a ń lò nígbà tí integral bá jẹ́ àbájáde iṣẹ́ méjì tí ó rọrùn láti lò nípa pípín in sí apá méjì. Ọ̀nà yìí dá lórí òfin ìṣọ̀kan apa kan, èyí tí ó jẹ́ ìlò òfin ìṣẹ̀dá-ọjà nínú ìṣirò ìyàtọ̀. Òfin ìpìlẹ̀ ti ìṣọ̀kan apa kan ni a lè sọ gẹ́gẹ́ bí:
\[ \int u \, dv = uv – \int v \, du \]
Nibi:
– \( u \) àti \( v \) jẹ́ àwọn iṣẹ́ tí a gbọ́dọ̀ pinnu,
– \( du \) ni itọsẹ ti \( u \),
– \( dv \) ni iyatọ ti \( v \), ati
– \( dv \) ni a so pọ mọ lati gba \( v \).
Láti lo ọ̀nà yìí, a ní láti yan \( u \) àti \( dv \) tó yẹ kí ìlànà ìṣọ̀kan náà lè rọrùn lẹ́yìn tí a bá ti lo fọ́múlá náà.
Àwọn ìgbésẹ̀ láti yanjú àwọn ìpín kan
1. Ṣe àfihàn àwọn iṣẹ́ \( u \) àti \( dv \)
Igbesẹ akọkọ ninu isopọpọ apakan ni lati yan awọn iṣẹ \(u \) ati \(dv \) fun integral ti a fun. Yiyan \(u \) ati \(dv \) ṣe pataki nitori pe o pinnu irọrun integral ti o waye. Ni deede, a yan \(u \) gẹgẹbi iṣẹ ti o rọrun lati di iyatọ (\( du \)), ati \(dv \) gẹgẹbi iṣẹ ti o wa ni irọrun lati dipọ.
Gẹ́gẹ́ bí ìtọ́sọ́nà, a lè lo ọ̀nà LIATE láti yan \( u \):
– Àwọn iṣẹ́ Logarithmic (\( \ln (x) \))
– Àwọn iṣẹ́ trigonometric oníyípadà (\( \arctan(x), \arcsin(x), \arccos(x) \))
– Àwọn iṣẹ́ lgebra (\( x^n \))
– Àwọn iṣẹ́ T rigonometric (\( \sin(x), \cos(x) \))
– Àwọn iṣẹ́ ìfọ̀rọ̀wérọ̀ (\( e^x \))
Iṣẹ́ tí ó farahàn ní àkọ́kọ́ nínú ìtẹ̀léra LIATE yìí ni a sábà máa ń yàn gẹ́gẹ́ bí \( u \).
2. Gbà \( u \) kí o sì ṣepọ \( dv \)
Lẹ́yìn yíyan \(u \) àti \(dv \), ìgbésẹ̀ tó tẹ̀lé ni láti ṣírò àbájáde \(u \) (ìyẹn ni, \(du \)) àti àkópọ̀ \(dv \) (ìyẹn ni, \( v \)).
3. Lo agbekalẹ Apakan Integral
Nígbà tí a bá ti ṣírò \(u \), \( du \), \( v \), àti \( dv \), a lè lo fọ́múlá apa kan tí a fi kún un:
\[ \int u \, dv = uv – \int v \, du \]
4. Mú kí ó rọrùn kí ó sì so gbogbo àwọn tó kù pọ̀ mọ́ra
Igbesẹ ikẹhin ni lati mu abajade naa rọrun ki a si so iyoku pọ titi ti a o fi ri ojutu ikẹhin.
Àwọn Àpẹẹrẹ Tó Wúlò
Àpẹẹrẹ 1: \( \int xe^x \, dx \)
Ká sọ pé a fẹ́ láti so \( \int xe^x \, dx \) pọ̀.
1. Yan \(u \) ati \(dv \):
– \( u = x \) (nítorí pé ó máa ń rọrùn nígbà tí a bá dínkù, ó sì máa ń di 1)
– \( dv = e^x \, dx \) (níwọ̀n ìgbà tí ó rọrùn láti sopọ̀ mọ́ ara wọn, ó ṣì wà \( e^x \))
2. Ṣe àwọn ohun tí a lè ṣe àtúnṣe àti àwọn ohun tí a lè ṣe àtúnṣe:
– \( du = dx \)
– \( v = \int e^x \, dx = e^x \)
3. Lo agbekalẹ apa kan ninu rẹ̀:
\[ \int xe^x \, dx = xe^x – \int e^x \, dx \]
4. Yanjú àwọn ohun tó kù nínú rẹ̀:
\[ \int e^x \, dx = e^x \]
Nítorí náà:
\[ \int xe^x \, dx = xe^x – e^x + C \]
tabi
\[ \int xe^x \, dx = e^x (x – 1) + C \]
níbi tí \(C \) jẹ́ ìdúróṣinṣin ìṣọ̀kan.
Àpẹẹrẹ 2: \( \int \ln(x) \, dx \)
Ká sọ pé a fẹ́ láti so \( \int \ln(x) \, dx \) pọ̀.
1. Yan \(u \) ati \(dv \):
– \( u = \ln(x) \) (nítorí pé ó máa ń rọrùn nígbà tí a bá yà á sọ́tọ̀)
– \( dv = dx \) (nítorí pé ó rọrùn láti sopọ̀ mọ́ra)
2. Ṣe àwọn ohun tí a lè ṣe àtúnṣe àti àwọn ohun tí a lè ṣe àtúnṣe:
– \( du = \frac{1}{x} \, dx \)
– \( v = \int dx = x \)
3. Lo agbekalẹ apa kan ninu rẹ̀:
\[ \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) – \int x \left(\frac{1}{x} \, dx\ọtun) \]
\[ \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) – \int 1 \, dx \]
4. Yanjú àwọn ohun tó kù nínú rẹ̀:
\[ \int 1 \, dx = x \]
Nítorí náà:
\[ \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) – x + C \]
Awọn Iṣoro ati Awọn imọran
Awọn Iṣoro ti o wọpọ
1. Yíyàn tí kò tọ́ fún \( u \) àti \( dv \): Yíyàn \( u \) àti \( dv \) ní ọ̀nà tí kò tọ́ lè mú kí ìṣọ̀kan náà túbọ̀ díjú sí i. Títẹ̀lé ìtọ́sọ́nà LIATE sábà máa ń ran lọ́wọ́.
2. Àwọn ìṣọ̀kan tó kù tó díjú: Nígbà míìrán, lẹ́yìn tí a bá ti lo fọ́ọ̀mù ìṣọ̀kan tó kù, ìṣọ̀kan tó kù ṣì máa ń ṣòro láti yanjú. Nínú ọ̀ràn yìí, ó lè pọndandan láti lo ọ̀nà ìṣọ̀kan tó jẹ́ ti apá kan lẹ́ẹ̀kan síi tàbí kí a lo ọ̀nà mìíràn.
Tips
– Ṣe adaṣe pẹlu awọn iru iṣẹ oriṣiriṣi lati loye awọn ilana ati mu awọn ọgbọn rẹ dara si ni yiyan \(u \) ati \(dv \).
– Lo apapo awọn ọna isọdọkan ti o ba jẹ dandan, gẹgẹbi u-substitution.
– Má ṣe yára; ṣàyẹ̀wò ìgbésẹ̀ kọ̀ọ̀kan láti rí i dájú pé kò sí àṣìṣe nínú ìyọrísí àti ìṣọ̀kan.
Penutup
Àwọn ìṣọ̀kan apa kan jẹ́ irinṣẹ́ alágbára nínú ìṣirò, tí ó ń ṣí ọ̀nà sílẹ̀ fún yíyanjú àwọn ìṣọ̀kan dídíjú ní ọ̀nà tí ó rọrùn. Nípa lílóye àwọn èrò ìpìlẹ̀ àti àwọn ìgbésẹ̀ ìdáhùn tí ó tọ́, àti ṣíṣe àgbéyẹ̀wò pẹ̀lú onírúurú àpẹẹrẹ, a lè mọ ọ̀nà yìí dáadáa kí a sì lò ó ní oríṣiríṣi ipò ìṣirò àti ìmọ̀ sáyẹ́ǹsì. A nírètí pé ìtọ́sọ́nà yìí ti ràn ọ́ lọ́wọ́ láti lóye àti láti yanjú àwọn ìṣọ̀kan apa kan pẹ̀lú ìgbẹ́kẹ̀lé.
