Àwọn Ìpìlẹ̀ Ẹ̀kọ́ nípa Ìṣètò Ìṣẹ̀dá Euclidean
Ìlànà Euclidean jẹ́ ẹ̀ka ìṣirò tí ó ń ṣe àyẹ̀wò ìrísí, ìtóbi, ipò, àti àwọn ànímọ́ ààyè tí a gbé karí àwọn èrò tí Euclid (tó bí ọ̀rúndún kẹta ṣáájú Sànmánì Kristẹni) gbé kalẹ̀ nínú iṣẹ́ rẹ̀ ńlá, Àwọn Èròjà. Fún ọ̀pọ̀ ọ̀rúndún, ìlànà yìí ni ìpìlẹ̀ àkọ́kọ́ fún òye ààyè onípele méjì (pítéènì) àti onípele mẹ́ta (ààyè) bí a ṣe ń pàdé rẹ̀ ní ìgbésí ayé ojoojúmọ́. Nígbà tí a bá fa ìlà títọ́ pẹ̀lú olùṣàkóso, tí a bá wọn àwọn igun onígun mẹ́ta, tàbí tí a bá ṣírò agbègbè onígun mẹ́rin, a ń lo àwọn ìlànà ìlànà Euclidean ní pàtàkì. Àpilẹ̀kọ yìí jíròrò àwọn èrò ìpìlẹ̀ ti ìlànà Euclidean, àwọn ohun pàtàkì rẹ̀, àwọn axiom, àti díẹ̀ lára àwọn ìlànà pàtàkì tí ó para pọ̀ di ìpìlẹ̀ rẹ̀.
1. Àwọn Àmì, Àwọn Ìlà, àti Àwọn Pẹpẹ: Àwọn Ohun Pàtàkì
A kọ́ ìrísí Euclidean láti inú àwọn ohun pàtàkì mẹ́ta: àwọn ojú àmì, àwọn ìlà, àti àwọn ìpele.
1. Àmì ni ohun tó rọrùn jùlọ tó ń fi ipò hàn nìkan, kò sì ní ìwọ̀n kankan (kò ní gígùn, ìbú, tàbí gíga). Àwọn lẹ́tà ńlá bíi A, B, tàbí C ni wọ́n sábà máa ń fi àmì sí àwọn àmì náà.
2. Ìlà jẹ́ àkójọ àwọn àmì tí ó gùn ní ọ̀nà méjì láìlópin, tí ó sì ní ìwọ̀n kan, èyí ni gígùn. Nínú ìrísí ojú ìwé pípé, ìlà kan kò ní ìwúwo. A lè fi àwọn ojú ìwé méjì ọ̀tọ̀ọ̀tọ̀ ṣàlàyé ìlà kan, fún àpẹẹrẹ, ìlà tí ó kọjá A àti B ni a ń pè ní ìlà AB.
3. Pẹpẹ jẹ́ ojú ilẹ̀ tí ó tẹ́jú tí ó gùn ní gbogbo ìtọ́sọ́nà, ó ní ìwọ̀n méjì (gígùn àti fífẹ̀), kò sì ní ìwúwo. A lè fi àwọn ojú mẹ́ta tí kò sí ní ìlà títọ́ ṣe àpèjúwe pẹpẹ kan.
Bó tilẹ̀ jẹ́ pé nínú àwọn àwòrán lórí ìlà ìwé, ó dà bíi pé wọ́n ní ìwúwo àti pé àwọn ìpele náà ní ààlà, nínú èrò ìṣirò Euclidean, gbogbo ìwọ̀nyí jẹ́ àbájáde.
2. Àwọn Àgbékalẹ̀ Euclid àti Ipa Àwọn Àkíyèsí
Ànímọ́ ti ìrísí Euclidean ni ìrísí ìyọkúrò rẹ̀: bẹ̀rẹ̀ láti àwọn gbólóhùn ìpìlẹ̀ tí a gbà láìsí ẹ̀rí (àsíómù tàbí àwọn ìgbékalẹ̀), lẹ́yìn náà yíyọ wọ́n sínú àwọn ìlànà nípasẹ̀ ẹ̀rí ọgbọ́n.
Euclid ṣe àgbékalẹ̀ àwọn gbólóhùn márùn-ún tí ó lókìkí. Ní ọ̀nà òde òní tí ó ṣókí, a lè lóye àwọn gbólóhùn wọ̀nyí gẹ́gẹ́ bí:
1. Àwọn ojú méjì tó yàtọ̀ síra ló ń pinnu ìlà kan pàtó.
2. A le fa apa ila siwaju nigbagbogbo lati ṣe ila taara.
3. Pẹ̀lú àárín àti rédíọ̀mù kan pàtó, a lè ṣe yíká kan.
4. Gbogbo igun ọtun ni o dọgba.
5. Àgbékalẹ̀ onípele méjì: Tí ìlà kan bá so àwọn ìlà méjì mìíràn pọ̀ débi pé àròpọ̀ àwọn igun inú ní ẹ̀gbẹ́ kan kéré sí 180°, nígbà náà àwọn ìlà méjèèjì yóò so pọ̀ ní ẹ̀gbẹ́ yẹn tí a bá gùn ún.
Àpótí karùn-ún yìí ló fa àríyànjiyàn jùlọ, nítorí pé ó dàbí ẹni pé kò “rọrùn” bíi ti àwọn mẹ́rin yòókù. Àwọn ìgbìyànjú láti fi hàn pé ó jẹ́ “ojúlówó” láti inú àwọn àpótí mìíràn kò já sí pàbó fún ọ̀pọ̀ ọ̀rúndún, nígbẹ̀yìn-gbẹ́yín, ó ṣí ọ̀nà sílẹ̀ fún ìbílẹ̀ àwọn àpótí tí kì í ṣe ti Euclidean. Ṣùgbọ́n níwọ̀n ìgbà tí a bá ti gba àpótí karùn-ún, a ó dúró láàrín ìlànà Euclidean.
3. Èrò Àwọn Ìlà Pípéńdíọ̀mù àti Pípéńdíọ̀mù
Nínú ìrísí Euclidean, a sọ pé ìlà méjì nínú ìpele kan jẹ́ onípele kan tí wọn kò bá pàdé ara wọn rárá bí wọ́n tilẹ̀ gùn ún títí láé. Ohun pàtàkì kan: nípasẹ̀ ojú kan lẹ́yìn ìlà kan, ìlà kan ṣoṣo ló wà tí ó jọra sí ìlà náà (gẹ́gẹ́ bí ìtẹ̀léra náà ṣe sọ).
Nibayi, a sọ pe awọn ila meji ni o duro ni apa kan ti wọn ba n so pọ ni igun 90°. Ero ti perpendicularity jẹ ipilẹ pataki fun fifi awọn eto coordinate kalẹ, kikọ awọn aworan plane, ati awọn igun wiwọn.
4. Àwọn igun àti àwọn ìwọ̀n wọn
A máa ń ṣẹ̀dá igun kan nípa lílo àwọn ìtànṣán méjì tí wọ́n pàdé ní ibi ìbẹ̀rẹ̀ (ìgun àlàfo). A máa ń wọn àwọn igun ní ìwọ̀n (°) tàbí radian. Nínú ìpìlẹ̀ Euclidean geometry, díẹ̀ lára àwọn irú igun tí a sábà máa ń sọ̀rọ̀ nípa wọn jùlọ ni:
– Igun líle: 0° < igun < 90° - Igun ọtun: igun = 90° - Igun odi: 90° < igun < 180° - Igun taara: igun = 180° Ibasepo laarin awọn igun tun ṣe pataki, fun apẹẹrẹ, awọn igun afikun (iye 180°), awọn igun afikun (iye 90°), ati awọn igun idakeji (dogba). 5. Awọn apẹrẹ Igun: Awọn onigun mẹta, Awọn onigun mẹrin, ati Awọn iyika a. Awọn onigun mẹta Onigun mẹta jẹ apẹrẹ ofurufu ti a fi awọn ẹgbẹ mẹta bò. Ninu jiometirika Euclidean, onigun mẹta ni ohun-ini ipilẹ kan: apapọ awọn igun ninu onigun mẹta jẹ 180°. Eyi yatọ si ni jiometirika ti kii ṣe Euclidean. A le pin awọn onigun mẹta si awọn ẹgbẹ: - Onigun mẹta: gbogbo awọn ẹgbẹ mẹta dogba - Awọn Isosceles: awọn ẹgbẹ meji dogba - Eyikeyi: gbogbo awọn ẹgbẹ yatọ Ati da lori awọn igun: - Aṣeyọri, ọtun, obtuse Ilana ti a mọ daradara ninu awọn onigun mẹta ni Ẹkọ Pythagorean, eyiti o kan awọn onigun mẹta ọtun: \(a^2 + b^2 = c^2\) nibiti \(c\) jẹ hypotenuse. b. Awọn onigun mẹrin Onigun mẹrin ni awọn ẹgbẹ mẹrin. Diẹ ninu awọn onigun mẹrin pataki: - Onigun mẹrin: gbogbo awọn ẹgbẹ dogba, gbogbo awọn igun jẹ 90° - Onigun mẹrin: awọn igun jẹ 90°, awọn ẹgbẹ idakeji jẹ dogba - Parallelogram: awọn ẹgbẹ idakeji jẹ parallel ati dogba - Rhombus: gbogbo awọn ẹgbẹ dọgba - Trapezoid: ni awọn ẹgbẹ meji ti o jọra Kọọkan ni awọn ohun-ini alailẹgbẹ ti awọn igun ati awọn diagonal, eyiti a le fihan nipasẹ ọna Euclidean. c. Yika Yika jẹ akojọpọ awọn aaye ti o jinna si aaye aarin kan. Àwọn èrò pàtàkì nínú àwọn yíká pẹ̀lú: - Radius (r), iwọn ila opin (2r) - Yiká: \(K = 2\pi r\) - Agbègbè: \(L = \pi r^2\) Ní àfikún, àwọn èrò ti àwọn arcs, àwọn chords, àwọn ẹ̀ka, àwọn ìpín, àti àwọn igun àárín àti àwọn igun yíká wà. 6. Ìbáramu àti Ìbáramu Àwọn àwòrán méjì ni a sọ pé wọ́n bára mu tí ìrísí àti ìwọ̀n wọn bá jọra (a lè fi kún un nípasẹ̀ ìtumọ̀, yíyípo, tàbí ìṣàfihàn). Fún àpẹẹrẹ, àwọn onígun mẹ́ta méjì tí wọ́n bára mu ní àwọn ẹ̀gbẹ́ àti igun kan náà.
Àwọn ìrísí méjì ni a sọ pé wọ́n jọra tí wọ́n bá ní ìrísí kan náà ṣùgbọ́n wọ́n lè yàtọ̀ síra ní ìtóbi; ìpíndọ́gba àwọn ẹ̀gbẹ́ tó báramu jẹ́ èyí tí kò yí padà. Ìbáramu ṣe pàtàkì púpọ̀ nínú àwòrán ilẹ̀, yíyàwòrán ìwọ̀n, ìṣètò ilẹ̀, àti wíwọ̀n tí kò ṣe tààrà (fún àpẹẹrẹ wíwọ̀n gíga igi nípa lílo òjìji rẹ̀). 7. Àwọn Ìyípadà Jẹ́ẹ́mẹ́tíríkì nínú Ààyè Euclidean Ìrísí Jẹ́ẹ́tíríkì Euclidean tún ń kẹ́kọ̀ọ́ nípa àwọn ìyípadà tí ó ń pa àwọn ohun ìní kan mọ́. Àwọn ìyípadà ìpìlẹ̀ ní nínú: - Ìtumọ̀ (yíyí): gbígbé gbogbo àwọn ojú ìwé nípa fíktò kan náà - Yíyí (yíyí): yíyí àwòrán nípa ààrin ibi tí a ń yípo - Ìyípadà (dígí): ṣíṣe àfihàn ìrísí kan lórí ìlà kan (nínú ọkọ̀ òfurufú) tàbí ọkọ̀ òfurufú (nínú ààyè) - Ìyípadà (sun-ún sí/síta): yíyípadà ìrísí nípa ìwọ̀n ìyípadà Àwọn ìyípadà bíi ìtumọ̀, yíyípo, àti ìṣàfihàn pa àwọn ìjìnnà àti àwọn igun mọ́ (isometrics), nígbà tí fífípo pa ìrísí mọ́ ṣùgbọ́n yíyípadà ìtóbi. 8. Kí ló dé tí Jẹ́ẹ́tíríkì Euclidean fi ṣe pàtàkì? Ìlànà Euclidean kìí ṣe pàtàkì gẹ́gẹ́ bí ìmọ̀ ìṣirò nìkan, ṣùgbọ́n ó tún jẹ́ irinṣẹ́ tó wúlò ní onírúurú ẹ̀ka: ìmọ̀ ẹ̀rọ ìlú, àgbékalẹ̀, àwòrán ọjà, àwòrán kọ̀ǹpútà, àwòrán ìṣàfihàn, àti pàápàá fisiksi ìbílẹ̀. Àwọn ààyè tí a kà sí “déédé” lórí ìwọ̀n ojoojúmọ́ ni a lè fi àwòrán Euclidean ṣe àwòkọ́ṣe dáadáa. Bó tilẹ̀ jẹ́ pé lórí ìwọ̀n àgbáyé tàbí nínú ìmọ̀ nípa ìbáramu, ààyè lè tẹ̀ (tí kìí ṣe Euclidean), ìlànà Euclidean ṣì jẹ́ ìpìlẹ̀ ìbẹ̀rẹ̀ tí ó rọrùn jùlọ láti lóye àti èyí tí a sábà máa ń lò jùlọ. Ìparí Àwọn èrò ìpìlẹ̀ ti ìlànà Euclidean bẹ̀rẹ̀ pẹ̀lú àwọn ohun pàtàkì—àwọn àmì, ìlà, àti àwọn ìpele—lẹ́yìn náà wọ́n ń dàgbàsókè nípasẹ̀ àwọn ìfihàn àti ẹ̀rí tí ó fi àwọn ìlànà pàtàkì múlẹ̀ nípa àwọn igun, àwọn ìlà onípele, àti onírúurú àwọn fíìmù ìpele bíi àwọn onígun mẹ́ta, àwọn onígun mẹ́rin, àti àwọn yíká. Pẹ̀lú ìlànà ọgbọ́n àti ìṣètò rẹ̀, ìlànà Euclidean jẹ́ ọ̀kan lára àwọn àṣeyọrí ọgbọ́n tí ó tóbi jùlọ nínú ìtàn ìlànà, àti irinṣẹ́ tí ó wúlò tí ó ṣì ṣe pàtàkì lónìí. Lílóye àwọn ìpìlẹ̀ jẹ́ ìgbésẹ̀ àkọ́kọ́ tí ó lágbára láti kẹ́kọ̀ọ́ ìlànà mathimatiki tí ó ti ní ìlọsíwájú, pẹ̀lú ìlànà analytic, trigonometry, àti ìlànà tí kìí ṣe Euclidean.