Ọ̀nà Àtúnṣe ní Wíwá Gbòǹgbò
Nínú ìmọ̀ ìṣirò tí a lò, fisiksi, ìmọ̀ ẹ̀rọ, àti ìmọ̀ kọ̀ǹpútà, ìṣòro "rírí gbòǹgbò" máa ń wáyé nígbà gbogbo. Gbòǹgbò ni iye \(x\) tí ó sọ iṣẹ́ di òdo, ìyẹn ni, ìdáhùn sí ìfojúsùn náà:
\[
f(x)=0
\]
Kìí ṣe gbogbo àwọn ìṣètò ló ní àwọn ìdáhùn tí a lè fi hàn nínú àwọn fọ́ọ̀mù ìpele pípẹ́, bíi àwọn ìṣètò onípele mẹ́rin. Fún ọ̀pọ̀lọpọ̀ àwọn ọ̀ràn gidi—bí àwọn ìṣètò tí kò ní ìlà tí ó díjú—a nílò àwọn ọ̀nà nọ́mbà. Ọ̀kan lára àwọn ọ̀nà pàtàkì jùlọ ni ọ̀nà ìtúnṣe, ìlànà kan tí ó ń mú àwọn ọ̀nà ìtúpalẹ̀ tí ó súnmọ́ gbòǹgbò jáde nípasẹ̀ ìtúnṣe.
Àpilẹ̀kọ yìí jíròrò àwọn ìlànà pàtàkì ti àwọn ọ̀nà ìtúnṣe, àwọn ipò ìṣọ̀kan wọn, àti àwọn ọ̀nà ìtúnṣe tí a sábà máa ń lò fún wíwá gbòǹgbò.
-
1. Ìmọ̀ ìpìlẹ̀ nípa Ọ̀nà Ìtẹ̀síwájú
Ọ̀nà àtúnṣe náà ń ṣiṣẹ́ nípa ṣíṣe àkíyèsí àkọ́kọ́ \(x_0\), lẹ́yìn náà ó ń mú un sunwọ̀n síi láti gba ìtẹ̀léra náà:
\[
x_0, x_1, x_2, \dots, x_n
\]
pẹlu awọn ireti:
\[
x_n \sí \alpha
\]
níbi tí \(\alpha\) jẹ́ gbòǹgbò tòótọ́ ti ìṣirò \(f(x)=0\).
Ni gbogbogbo, ọna atunwi yi iṣoro naa \(f(x)=0\) pada si fọọmu kanna:
\[
x = g(x)
\]
Lẹ́yìn náà, a ṣe àtúnṣe:
\[
x_{n+1} = g(x_n)
\]
Tí ìlànà yìí bá para pọ̀, nígbà náà, ojú ibi tí a ti fi sí \(g(x)\) jẹ́ ojútùú gbòǹgbò ti ìṣirò àkọ́kọ́ náà.
-
2. Ìbáṣepọ̀: Ìgbà wo ni ìyípadà yóò yọrí sí rere?
Kìí ṣe gbogbo iṣẹ́ \(g(x)\) ló máa ń mú àwọn ìyípadà tó dúró ṣinṣin jáde. Kí ìyípadà \(x_{n+1}=g(x_n)\) tó lè para pọ̀ mọ́ gbòǹgbò \(\alpha\), àwọn ipò gbogbogbò tí a sábà máa ń lò ni:
1. \(g(\alpha)=\alpha\) (gbòǹgbò jẹ́ ojú kan tí a ti fìdí rẹ̀ múlẹ̀)
2. \(|g'(\alpha)| < 1\) (ìfàmọ́ra àdúgbò) Ìmọ̀lára \(|g'(\alpha)| < 1\) ni: ní àyíká ojutu naa, iṣẹ \(g\) kò “ga jù”, nitorinaa atunwi kọọkan mu iye \(x_n\) sunmọ, kii ṣe siwaju. Iṣọkan naa tun ni ipa nipasẹ amoro akọkọ. Awọn ọna meji kanna le ṣaṣeyọri tabi kuna da lori \(x_0\). --- 3. Ọna Bisection gẹgẹbi Atunwi Rọrun Biotilẹjẹpe a maa n pin ọna bisection lọtọ, ọna bisection le ṣee ri bi ọna atunwi ti o lagbara pupọ. Awọn ipo ni: iṣẹ \(f(x)\) jẹ tẹsiwaju lori aarin \([a,b]\) ati pe iyipada ami kan wa: \[f(a)\cdot f(b) < 0 \] Iyẹn ni, gbongbo kan wa laarin \(a\) ati \(b\). Algorithm náà: 1. Ṣírò àárín ojú ìwé \(c=\frac{a+b}{2}\) 2. Pinnu ìpele-abẹ́ tí ó ṣì wà ní ìpìlẹ̀ náà (ní ìbámu pẹ̀lú ìyípadà àmì) 3. Tún ṣe títí tí ìfaradà yóò fi dé. Àǹfààní ọ̀nà yìí: dájúdájú yóò para pọ̀ tí a bá mú ipò ìyípadà àmì náà ṣẹ. Àléébù náà: ìfaradà náà lọ́ra díẹ̀ nítorí pé àṣìṣe náà dínkù ní ìdajì pẹ̀lú ìtẹ̀síwájú kọ̀ọ̀kan (ìbáṣepọ̀ ìlà). --- 4. Ọ̀nà Ìtẹ̀síwájú Fixed-Point Èyí ni ọ̀nà ìtẹ̀síwájú tí ó tààrà jùlọ: \[ x_{n+1} = g(x_n) \] Àwọn ìgbésẹ̀ náà: 1. Yí \(f(x)=0\) padà sí \(x=g(x)\) 2. Yan àbá àkọ́kọ́ \(x_0\) 3. Tẹ̀síwájú títí \(|x_{n+1}-x_n|\) tàbí \(|f(x_n)|\) yóò kéré sí ìfaradà náà. Àǹfààní náà rọrùn. Síbẹ̀síbẹ̀, ọ̀nà yìí ní ìmọ̀lára púpọ̀ sí yíyàn \(g(x)\). Fún ìforúkọsílẹ̀ kan náà, ọ̀pọ̀lọpọ̀ ọ̀nà ló wà láti kọ \(x=g(x)\), ṣùgbọ́n díẹ̀ nínú wọn ló para pọ̀.
Fún àpẹẹrẹ, tí a bá fẹ́ rí gbòǹgbò \(f(x)=x^3-2x-5\), a lè kọ: - \(x = \sqrt[3]{2x+5}\) kí \(g(x)=\sqrt[3]{2x+5}\) lè jẹ́ kí \(x_{n+1}=\sqrt[3]{2x+5}\) Lẹ́yìn náà a ó tún \(x_{n+1}=\sqrt[3]{2x_n+5}\). Àṣeyọrí ìtúnṣe náà sinmi lórí bóyá \(|g'(x)|<1\) yíká gbòǹgbò náà. --- 5. Ọ̀nà Newton-Raphson: Ìtúnṣe Tí Ó Da Lórí Yára Ọ̀nà Newton-Raphson jẹ́ ọ̀kan lára àwọn ọ̀nà tí ó gbajúmọ̀ jùlọ nítorí pé ìṣọ̀kan rẹ̀ sábà máa ń yára gan-an. Fọ́múlá ìtúnṣe náà ni: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] Ìtumọ̀: ní \(x_n\), a kọ́ tangent sí iṣẹ́ náà \(f(x)\). A lo ikorita ti tangent pẹlu axis \(x\)-axis gẹgẹbi iṣiro atẹle. Awọn anfani: - Isopọpọ onigun mẹrin (yiyara pupọ) ti o ba sunmọ gbongbo ati \(f'(\alpha)\neq 0\). Awọn alailanfani: - O nilo itọsi ti \(f'(x)\). - O le kuna ti aṣiro akọkọ ba buru, tabi ti \(f'(x_n)\) ba sunmọ odo, ti o jẹ ki igbesẹ iteration jẹ alailesi. Ọna yii ni a lo jakejado ni iṣapeye, awoṣe fisiksi, ati iṣipọ imọ-ẹrọ nitori ṣiṣe daradara rẹ nigbati awọn ipo ba dara. --- 6. Ọna Secant: Yiyan Newton Laisi Awọn itọsi Ti o ba nira lati ṣe iṣiro, ọna secant nfunni ni adehun. Èrò pàtàkì ni láti ṣe àfihàn àwọn ìyàtọ̀ tó ní ààlà: \[f'(x_n)\approx \frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}} \] Nítorí náà, àgbékalẹ̀ ìtúnṣe ni: \[x_{n+1}=x_n - f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})} \] Ọ̀nà yìí nílò àwọn àbá méjì àkọ́kọ́: \(x_0\) àti \(x_1\). Ìyára ìdàpọ̀ rẹ̀ sàn ju ìpínkiri àti ibi tí a fi sí, bó tilẹ̀ jẹ́ pé ó sábà máa ń lọ́ra díẹ̀ ju Newton lọ. Ṣùgbọ́n, nítorí pé kò nílò àwọn àbájáde, secant sábà máa ń wúlò jù.
--- 7. Àwọn Ìlànà Ìdádúró Nínú ìṣirò nọ́mbà, ó yẹ kí a dá ìtúnṣe dúró nígbà tí ó bá péye tó tàbí tí a bá fura sí pé kò wọ́pọ̀. Àwọn ìlànà gbogbogbòò: 1. Àṣìṣe àárín-ìtúnṣe kékeré: \[ |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon \] 2. Iye iṣẹ́ súnmọ́ òdo: \[ |f(x_n)|<\varepsilon \] 3. Ààlà ìtúnṣe tó pọ̀ jùlọ láti dènà àwọn ìyípo àìlópin: \[n \le n_{\max} \] Yíyàn ìfaradà \(\varepsilon\) da lórí àwọn àìní: àwọn ìṣeré ẹ̀rọ lè nílò ìfaradà tó lágbára, nígbà tí àwọn ìṣirò tó le koko jẹ́ aláìlágbára. --- 8. Àfiwé Kúkúrú ti Àwọn Ọ̀nà Ìtúnṣe Ní àkótán: - Ìpín: ìdúróṣinṣin jùlọ, dájúdájú ó ń parapọ̀ (tí a bá fún ní ìyípadà àmì), ṣùgbọ́n ó lọ́ra. - Ààyè tí a fi sí ipò: ó rọrùn púpọ̀, ṣùgbọ́n ìfaradà kì í ṣe ìdánilójú nígbà gbogbo. - Newton-Raphson: yára púpọ̀, ṣùgbọ́n ó nílò àwọn àbájáde àti pé ó ní ìmọ̀lára sí àwọn àbá àkọ́kọ́. - Secant: a kò nílò àwọn ohun tí a fi ṣe àtúnṣe, ó yára díẹ̀, ṣùgbọ́n ó lè má dúró ṣinṣin ju bí a ṣe ń ṣe àtúnṣe lọ. Ní ìṣe, yíyan ọ̀nà náà da lórí irú iṣẹ́ náà, wíwà àwọn ohun tí a fi ṣe àtúnṣe, àìní fún iyàrá, àti ìdúróṣinṣin. --- Ìparí Àwọn ọ̀nà ìyípadà ni ìtìlẹ́yìn wíwá gbòǹgbò nọ́mbà fún àwọn ìdọ́gba tí kì í ṣe línárì. Nípa kíkọ́ ìtẹ̀lé àwọn ìfàsẹ́yìn tí a ṣe àtúnṣe lẹ́ẹ̀kọ̀ọ̀kan, a lè súnmọ́ ojútùú náà nígbà tí àwọn ọ̀nà ìṣàyẹ̀wò kò bá sí. Lílóye ìṣọ̀kan, yíyan àmọ̀ràn àkọ́kọ́, àti ìlànà ìdúró jẹ́ pàtàkì fún ìtúnṣe láti mú àwọn gbòǹgbò tí ó tọ́ àti tí ó gbéṣẹ́ jáde. Nínú àwọn ohun èlò gidi, a sábà máa ń lo ọgbọ́n àpapọ̀: bẹ̀rẹ̀ pẹ̀lú ọ̀nà tí ó dúró ṣinṣin bíi bisection láti “dè” àárín gbòǹgbò, lẹ́yìn náà yíyípadà sí Newton tàbí secant láti mú kí ìṣọ̀kan yára. Èyí ń ṣe àṣeyọrí ìgbẹ́kẹ̀lé àti iyàrá—àwọn apá méjì tí ó ṣe pàtàkì nínú ìṣiṣẹ́ nọ́mbà. --- Tí o bá fẹ́, mo lè fi àpẹẹrẹ ìgbésẹ̀-ní-ìgbésẹ̀ (nọ́mbà) ti èyíkéyìí nínú àwọn ọ̀nà tí a mẹ́nu kàn lókè yìí kún un láti jẹ́ kí àpilẹ̀kọ náà túbọ̀ ṣe kedere.
