Ọ̀nà Àtúnṣe ní Wíwá Gbòǹgbò
Nínú ìmọ̀ ìṣirò tí a lò, fisiksi, ìmọ̀ ẹ̀rọ, àti ìmọ̀ kọ̀ǹpútà, ìṣòro "rírí gbòǹgbò" máa ń wáyé nígbà gbogbo. Gbòǹgbò ni iye \(x\) tí ó sọ iṣẹ́ di òdo, ìyẹn ni, ìdáhùn sí ìfojúsùn náà:
\[
f(x)=0
\]
Kìí ṣe gbogbo àwọn ìṣètò ló ní àwọn ìdáhùn tí a lè fi hàn nínú àwọn fọ́ọ̀mù ìpele pípẹ́, bíi àwọn ìṣètò onípele mẹ́rin. Fún ọ̀pọ̀lọpọ̀ àwọn ọ̀ràn gidi—bí àwọn ìṣètò tí kò ní ìlà tí ó díjú—a nílò àwọn ọ̀nà nọ́mbà. Ọ̀kan lára àwọn ọ̀nà pàtàkì jùlọ ni ọ̀nà ìtúnṣe, ìlànà kan tí ó ń mú àwọn ọ̀nà ìtúpalẹ̀ tí ó súnmọ́ gbòǹgbò jáde nípasẹ̀ ìtúnṣe.
Àpilẹ̀kọ yìí jíròrò àwọn ìlànà pàtàkì ti àwọn ọ̀nà ìtúnṣe, àwọn ipò ìṣọ̀kan wọn, àti àwọn ọ̀nà ìtúnṣe tí a sábà máa ń lò fún wíwá gbòǹgbò.
-
1. Ìmọ̀ ìpìlẹ̀ nípa Ọ̀nà Ìtẹ̀síwájú
Ọ̀nà àtúnṣe náà ń ṣiṣẹ́ nípa ṣíṣe àkíyèsí àkọ́kọ́ \(x_0\), lẹ́yìn náà ó ń mú un sunwọ̀n síi láti gba ìtẹ̀léra náà:
\[
x_0, x_1, x_2, \dots, x_n
\]
pẹlu awọn ireti:
\[
x_n \sí \alpha
\]
níbi tí \(\alpha\) jẹ́ gbòǹgbò tòótọ́ ti ìṣirò \(f(x)=0\).
Ni gbogbogbo, ọna atunwi yi iṣoro naa \(f(x)=0\) pada si fọọmu kanna:
\[
x = g(x)
\]
Lẹ́yìn náà, a ṣe àtúnṣe:
\[
x_{n+1} = g(x_n)
\]
Tí ìlànà yìí bá para pọ̀, nígbà náà, ojú ibi tí a ti fi sí \(g(x)\) jẹ́ ojútùú gbòǹgbò ti ìṣirò àkọ́kọ́ náà.
-
2. Ìbáṣepọ̀: Ìgbà wo ni ìyípadà yóò yọrí sí rere?
Kìí ṣe gbogbo iṣẹ́ \(g(x)\) ló máa ń mú àwọn ìyípadà tó dúró ṣinṣin jáde. Kí ìyípadà \(x_{n+1}=g(x_n)\) tó lè para pọ̀ mọ́ gbòǹgbò \(\alpha\), àwọn ipò gbogbogbò tí a sábà máa ń lò ni:
1. \(g(\alpha)=\alpha\) (gbòǹgbò jẹ́ ojú kan tí a ti fìdí rẹ̀ múlẹ̀)
2. \(|g'(\alpha)| < 1\) (ìfàmọ́ra agbègbè)
Ìmọ̀lára \(|g'(\alpha)| < 1\) ni: ní àyíká ojútùú náà, iṣẹ́ \(g\) kò “ga jù”, nítorí náà, ìtẹ̀síwájú kọ̀ọ̀kan mú ìníyelórí \(x_n\) sún mọ́ ọn, kì í ṣe jìnnà sí i.
Àròyé àkọ́kọ́ náà tún ní ipa lórí ìṣọ̀kan. Ọ̀nà méjì kan náà lè ṣe àṣeyọrí tàbí kí ó kùnà ní ìbámu pẹ̀lú \(x_0\).
-
3. Ọ̀nà Bisection gẹ́gẹ́ bí Ìyípadà Rọrùn
Bó tilẹ̀ jẹ́ pé wọ́n sábà máa ń pín ọ̀nà ìbísí sí ọ̀tọ̀ọ̀tọ̀, a lè rí ọ̀nà ìbísí gẹ́gẹ́ bí ọ̀nà ìyípadà tó lágbára gan-an. Àwọn ipò náà ni: iṣẹ́ \(f(x)\) jẹ́ èyí tó ń tẹ̀síwájú lórí àlàfo \([a,b]\) àti pé ìyípadà àmì wà:
\[
f(a)\cdot f(b) < 0
\]
Ìyẹn ni pé, gbòǹgbò kan wà láàárín \(a\) àti \(b\). Àlàyé náà ni:
1. Ṣírò àárín ojú-ìwé \(c=\frac{a+b}{2}\)
2. Pinnu subuterval ti o tun wa ni bracket gbongbo naa (da lori awọn iyipada ami)
3. Tún un ṣe títí tí a ó fi ní ìfaradà.
Àǹfààní ọ̀nà yìí ni pé ó dájú pé yóò parapọ̀ tí a bá mú ipò ìyípadà àmì náà ṣẹ. Àléébù náà ni pé ìsopọ̀ náà lọ́ra díẹ̀ nítorí pé àṣìṣe náà dínkù sí i ní ìdajì pẹ̀lú ìyípadà kọ̀ọ̀kan (ìsopọ̀ ìlà).
-
4. Ọ̀nà Àtúnṣe Àmì-Àfikún
Eyi ni fọọmu ti o taara julọ ti atunṣe:
\[
x_{n+1} = g(x_n)
\]
Awọn igbesẹ naa:
1. Yí \(f(x)=0\) padà sí \(x=g(x)\)
2. Yan àbá àkọ́kọ́ \(x_0\)
3. Tẹ̀síwájú títí \(|x_{n+1}-x_n|\) tàbí \(|f(x_n)|\) yóò fi kéré sí ìfaradà náà.
Àǹfààní rẹ̀ ni ìrọ̀rùn rẹ̀. Síbẹ̀síbẹ̀, ọ̀nà yìí ní ìmọ̀lára púpọ̀ sí yíyàn \(g(x))\). Fún ìṣọ̀kan kan náà, ọ̀pọ̀lọpọ̀ ọ̀nà ló wà láti kọ \(x=g(x))\, ṣùgbọ́n díẹ̀ nínú wọn ló para pọ̀.
Fún àpẹẹrẹ, tí a bá fẹ́ rí gbòǹgbò \(f(x)=x^3-2x-5\), a lè kọ:
– \(x = \sqrt[3]{2x+5}\) kí \(g(x)=\sqrt[3]{2x+5}\)
Lẹ́yìn náà, ṣe àtúnṣe \(x_{n+1}=\sqrt[3]{2x_n+5}\). Àṣeyọrí àtúnṣe náà sinmi lórí bóyá \(|g'(x)|<1\) yíká gbòǹgbò náà.
-
5. Ọ̀nà Newton-Raphson: Ìyípadà Kíákíá tí a dá lórí ìtọ́sọ́nà
Ọ̀nà Newton-Raphson jẹ́ ọ̀kan lára àwọn ọ̀nà tó gbajúmọ̀ jùlọ nítorí pé ìṣọ̀kan rẹ̀ máa ń yára gan-an. Àgbékalẹ̀ ìtúnṣe rẹ̀ ni:
\[
x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
\]
Ìtumọ̀: ní \(x_n\), a kọ́ tangent kan sí iṣẹ́ \(f(x)\). A lo ìsopọ̀ tangent pẹ̀lú axis \(x\)- gẹ́gẹ́ bí ìṣirò tó tẹ̀lé e.
Opoju:
– Ìṣọ̀kan onígun mẹ́rin (yára gan-an) tí ó bá sún mọ́ gbòǹgbò àti \(f'(\alpha)\neq 0\).
Aini:
– Ó nílò àtúnṣe \(f'(x)\).
– Ó lè kùnà tí àbá àkọ́kọ́ bá burú, tàbí tí \(f'(x_n)\) bá sún mọ́ òdo, kí ìgbésẹ̀ àtúnṣe náà má baà dúró ṣinṣin.
Ọ̀nà yìí ni a ń lò fún ṣíṣe àtúnṣe, ṣíṣe àwòṣe fisiksi, àti ṣíṣe ikọ́ǹpútà ìmọ̀-ẹ̀rọ nítorí pé ó ṣiṣẹ́ dáadáa nígbà tí àwọn ipò bá dára.
-
6. Ọ̀nà Secant: Àṣàyàn Newton Láìsí Àwọn Ìtọ́sọ́nà
Tí ó bá ṣòro láti ṣírò àwọn ohun tí a ti ṣe àtúnṣe, ọ̀nà secant náà fúnni ní ìbáramu. Èrò pàtàkì ni láti ṣe àfihàn àwọn ohun tí a ti ṣe àtúnṣe nípa lílo àwọn ìyàtọ̀ tí ó ní òpin:
\[
f'(x_n)\approx \frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}
\]
Nitorinaa agbekalẹ atunwi ni:
\[
x_{n+1}=x_n – f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}
\]
Ọ̀nà yìí nílò àbá méjì àkọ́kọ́: \(x_0\) àti \(x_1\). Ìyára ìsopọ̀ rẹ̀ sàn ju ìpele ìpele àti ibi tí a fi sí, bó tilẹ̀ jẹ́ pé ó sábà máa ń lọ́ra díẹ̀ ju ti Newton lọ. Ṣùgbọ́n, nítorí pé kò nílò àwọn ohun tí a fi ṣe àtúnṣe, secant sábà máa ń wúlò jù.
-
7. Àwọn Ìlànà Ìdádúró
Nínú ìkọ́ǹpútà nọ́mbà, ó yẹ kí a dá àtúnṣe dúró nígbà tí ó bá péye tó tàbí tí a bá fura sí pé kò wọ́pọ̀. Àwọn ìlànà gbogbogbòò:
1. Àṣìṣe kékeré láàárín ìyípadà:
\[
|x_{n+1}-x_n|<\varepsilon
\]
2. Iye iṣẹ naa sunmọ odo:
\[
|f(x_n)|<\varepsilon
\]
3. Ààlà àtúnṣe tó pọ̀ jùlọ láti dènà àwọn ìyípo àìlópin:
\[
n \le n_{\max}
\]
Yíyàn ìfaradà \(\varepsilon\) da lórí àwọn ohun tí a béèrè fún: àwọn ìṣe àgbékalẹ̀ ìmọ̀ ẹ̀rọ lè nílò ìfaradà tí ó lágbára, nígbà tí àwọn ìṣirò tí ó le koko jẹ́ aláìlágbára.
-
8. Àfiwé Kúkúrú ti Àwọn Ọ̀nà Ìtúnṣe
Ni soki:
– Ìpínyà: ó dúró ṣinṣin jùlọ, dájúdájú ó ń yípadà (tí a bá ní ìyípadà àmì), ṣùgbọ́n ó lọ́ra.
– Àkókò tí a fi sí ipò àkọ́kọ́: ó rọrùn gan-an, ṣùgbọ́n a kò lè dá ìdánilójú pé ìbáṣepọ̀ yóò wáyé nígbà gbogbo.
– Newton-Raphson: ó yára gan-an, ṣùgbọ́n ó nílò àwọn àbájáde rẹ̀, ó sì ní ìmọ̀lára sí àwọn àbá àkọ́kọ́.
– Secant: kò sí ohun tí a nílò láti ṣe àtúnṣe, ó yára gan-an, ṣùgbọ́n ó lè má dúró ṣinṣin ju bí a ṣe ń ṣe àtúnṣe lọ.
Ní ìṣe, yíyàn ọ̀nà náà da lórí irú iṣẹ́ náà, wíwà àwọn ohun tí a fi ṣe é, bí a ṣe nílò iyàrá, àti ìdúróṣinṣin.
-
Ipari
Àwọn ọ̀nà ìtúnṣe ni ìtìlẹ́yìn fún wíwá gbòǹgbò nọ́mbà fún àwọn ìdọ́gba tí kìí ṣe línẹ́ẹ̀tì. Nípa ṣíṣe ìtẹ̀lé àwọn ìfàsẹ́yìn tí a ṣe àtúnṣe lẹ́ẹ̀kan síi, a lè súnmọ́ àwọn ìdáhùn nígbà tí àwọn ọ̀nà ìṣàyẹ̀wò kò bá sí. Lílóye ìṣọ̀kan, yíyan àmọ̀ràn àkọ́kọ́, àti àwọn ìlànà ìdádúró ṣe pàtàkì fún ìtúnṣe láti mú àwọn gbòǹgbò tí ó tọ́ àti tí ó gbéṣẹ́ jáde.
Nínú àwọn ohun èlò gidi, a sábà máa ń lo ọgbọ́n àpapọ̀: bẹ̀rẹ̀ pẹ̀lú ọ̀nà tí ó dúró ṣinṣin bíi bísection láti “dè” àárín root, lẹ́yìn náà yíyípadà sí Newton tàbí secant láti mú kí ìṣọ̀kan yára. Ní ọ̀nà yìí, a ṣe àṣeyọrí ìwọ́ntúnwọ́nsí láàrín ìgbẹ́kẹ̀lé àti iyára—àwọn apá méjì tí ó ṣe pàtàkì nínú ìṣiṣẹ́ nọ́mbà.
-
Tí o bá fẹ́, mo lè fi àwọn àpẹẹrẹ ìṣirò ìgbésẹ̀-ní-ìgbésẹ̀ (nọ́mbà) kún èyíkéyìí nínú àwọn ọ̀nà tí a mẹ́nu kàn lókè yìí láti jẹ́ kí àpilẹ̀kọ náà túbọ̀ ṣe kedere.
