Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè Tí Ó Ń Jíròrò Àfikún Vektor Nípasẹ̀ Ẹ̀yà Ara
Àfikún Vektor jẹ́ ìlànà pàtàkì nínú fisiksi àti mathimatiki tí a ń lò láti rí àbájáde àwọn vektor méjì tàbí jù bẹ́ẹ̀ lọ. Ọ̀nà tí a gbà ń yanjú àfikún vektor jẹ́ ọ̀nà tí ó wúlò gan-an, pàápàá jùlọ nígbà tí a bá ń bá àwọn vektor ní ìwọ̀n méjì tàbí mẹ́ta lò. Àpilẹ̀kọ yìí yóò ṣàlàyé èrò ìfikún vektor oní-papọ̀-nínú-ẹ̀rọ, yóò sì fún wa ní àpẹẹrẹ àwọn ìṣòro àti ìdáhùn.
Èrò Àfikún Vektorí Onírúurú
Gbogbo fekito ni aaye onisẹpo meji (2D) ni a le pin si awọn apakan meji: apakan x (perional) ati apakan y (inaro). Ni awọn iwọn mẹta (3D), awọn fekito ni paati afikun kan, apakan z (jinle).
Ká sọ pé a ní àwọn fáítà méjì A àti B. Àwọn èròjà àwọn fáítà wọ̀nyí ni a lè sọ gẹ́gẹ́ bí a ṣe sọ:
– Vektọ A ní àwọn èròjà \(A_x\) àti \(A_y\) nínú 2D (tàbí pẹ̀lú \(A_z\) nínú 3D).
– Vektor B ní àwọn èròjà \(B_x\) àti \(B_y\) nínú 2D (tàbí pẹ̀lú \(B_z\) nínú 3D).
Àfikún àwọn fákítà méjì yìí yóò mú fákítà R tó ní àwọn èròjà wọ̀nyí jáde:
\[ R_x = A_x + B_x \]
\[ R_y = A_y + B_y \]
Fún àwọn vektọ ní 3D, ẹ̀yà z náà jẹ́ àwọn wọ̀nyí:
\[ R_z = A_z + B_z \]
Lẹ́yìn ṣíṣírò gbogbo ẹ̀yà ara fekito tí ó yọrí sí, a lè rí modulus (iwọn) àti ìtọ́sọ́nà fekito tí ó yọrí sí nípa lílo fọ́múlá náà:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (fún 2D)
Tabi fun 3D:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
A sì le pinnu itọsọna fekito ti o jẹyọ nipasẹ igun si awọn aake ipoidojuko.
Àpẹẹrẹ Àwọn Ìbéèrè àti Ìjíròrò
Ìbéèrè 1
Fún àwọn fíkítà méjì nínú ìpele onípele méjì:
– A jẹ́ \(5 \, \text{unit}\) sí ìlà-oòrùn.
– B jẹ́ \(3 \, \text{unit}\) sí àríwá.
Pinnu fekito ti o jẹ abajade R.
Ifọrọwanilẹnuwo
Àkọ́kọ́, a yí vektọ náà padà sí àwọn èròjà rẹ̀.
– Fẹ́kítà A: \(A = (5, 0)\) nítorí pé ó ní ẹ̀yà x nìkan.
– Fẹ́kítà B: \(B = (0, 3)\) nítorí pé ó ní ìpín y nìkan.
Àròpọ̀ àwọn èròjà wọ̀nyí nìyí:
\[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
Lẹ́yìn náà, fekito R tó jẹ́ àbájáde ni:
\[ R = (5, 3) \]
Láti ṣírò gígùn (modulu) ti fekito R:
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.83 \]
A le ṣe iṣiro itọsọna fekito R nipa lilo igun θ si ipo-x:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
Nítorí náà, fekito R tó jẹ́ àbájáde rẹ̀ ní gígùn tó tó nǹkan bí 5.83 units ó sì ṣe igun 30.96° pẹ̀lú àáké-x.
Ìbéèrè 2
Fún àwọn fíkítà méjì ní ìwọ̀n mẹ́ta:
– A ni \(3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\)
– B jẹ́ \(1\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}\)
Pinnu fekito ti o jẹ abajade R.
Ifọrọwanilẹnuwo
Ni akọkọ, a ṣe idanimọ awọn paati ti fekito kọọkan:
– Fẹ́kítà A: \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– Fẹ́kítà B : \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\).
Àròpọ̀ àwọn èròjà wọ̀nyí nìyí:
\[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]
Lẹ́yìn náà, fekito R tó jẹ́ àbájáde ni:
\[ R = (4, 6, 3) \]
Láti ṣírò gígùn (modulu) ti fekito R:
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \approx 7.81 \]
A le ṣe iṣiro itọsọna fekito R ni ibatan si awọn àáké x, y, ati z nipa lilo cosine ti oludari:
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \approx 0.512 \]
\[ \alpha = \arccos(0.512) \nnọ́ńbà 59.50^\circ \]
\[ \cos(\beta) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \approx 0.768 \]
\[ \beta = \arccos(0.768) \nto bi 39.50^\circle \]
\[ \cos(\gamma) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \approx 0.384 \]
\[ \gamma = \arccos(0.384) \nnọ́mbà 67.64^\circ \]
Nítorí náà, fekito R tó jẹ́ àbájáde ní gígùn tó tó nǹkan bí 7.81 units àti ìtọ́sọ́nà rẹ̀ ní ìbámu pẹ̀lú àwọn àáké x, y, àti z jẹ́ 59.50°, 39.50°, àti 67.64°.
Ìbéèrè 3
Fún àwọn olùfẹ́sẹ̀ méjì:
– P ní ìwọ̀n àwọn ẹyọ mẹ́rin ó sì ṣe igun 45° sí àyè-ìdúró x rere.
– Q ní ìwọ̀n àwọn ẹyọ mẹ́fà ó sì ṣe igun 120° sí ààrín x-positive.
Pinnu fekito ti o jẹ abajade R.
Ifọrọwanilẹnuwo
Ni akọkọ, a pin fekito naa si awọn eroja x ati y rẹ:
– Fẹ́kítà P: \(P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\), \(P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\).
– Fẹ́kítà Q: \(Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\), \(Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.2\).
Àròpọ̀ àwọn èròjà wọ̀nyí nìyí:
\[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
Lẹ́yìn náà, àbájáde fekito R ni:
\[ R = (-0.17, 8.03) \]
Láti ṣírò gígùn (modulu) ti fekito R:
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \approx 8.03 \]
Itọsọna fekito R:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
\[ \theta = \arctan(-47.24) \approx -88.99^\circle \]
Sibẹsibẹ, a wọn igun yii nipa ipo-x odi, nitorinaa igun gangan ninu ipo iṣoro naa ni:
\[ 180^\circle – 88.99^\circle \approx 91.01^\circle \]
Nítorí náà, fekito R tó jẹ́ àbájáde rẹ̀ ní gígùn tó tó nǹkan bí 8.03 units ó sì ṣe igun 91.01° pẹ̀lú positive x-axis.
Àpilẹ̀kọ yìí ti jíròrò àfikún fekito oní-ẹ̀rọ, ó sì fúnni ní àpẹẹrẹ àwọn ìṣòro àti ìdáhùn. Ọ̀nà ìfọwọ́sowọ́pọ̀ fún àwọn èròjà wúlò gan-an ní ṣíṣe ìṣírò tó rọrùn àti pípèsè ọ̀nà oníṣẹ́ láti yanjú àwọn ìṣòro fekito nínú ìwọ̀n mathematiki ti ààyè.
