การอนุรักษ์พลังงานกล – ปัญหาและแนวทางแก้ไข

การอนุรักษ์พลังงานกล – ปัญหาและแนวทางแก้ไข

1. ก้อนมวล m-kg ถูกปล่อยจากด้านบนของพื้นเอียง เรียบ ดังแสดงในรูปด้านล่าง จงเปรียบเทียบพลังงานศักย์โน้มถ่วงและพลังงานจลน์ของก้อนมวลที่จุด M…

Solution

พลังงานศักย์โน้มถ่วง ณ จุด M:

PE _M = มก. (1/3 ชม.) = 1/3 มก. ชม.

พลังงานจลน์ ณ จุด M:

KE _M = EP = มก. (2/3 ชม.) = 2/3 มก

อีพี_เอ็ม : อีเค_เอ็ม

1/3 มก. : 2/3 มก.

1/3 : 2/3

1: 2

2. นักสกีน้ำแข็งคนหนึ่งกำลังไถลลงมาจากความสูง A ดังแสดงในรูปด้านล่าง ถ้าความเร็วเริ่มต้นเท่ากับ 0 และความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงเท่ากับ 10 ms⁻² ^แล้วความเร็วของนักสกีที่จุด B คือเท่าใด

เป็นที่รู้จัก :

ความเร็วเริ่มต้น (v _o ) = 0

ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = 10 m/ ^s²

การเปลี่ยนแปลงความสูง = 50 เมตร – 10 เมตร = 40 เมตร

ต้องการทราบ:ความเร็วของนักสกี ณ จุด B

วิธีการแก้ปัญหา:

หลักการอนุรักษ์พลังงานกลกล่าวว่าพลังงานกล เริ่มต้น เท่ากับพลังงานกลสุดท้าย

พลังงานกลเริ่มต้น = พลังงานศักยภาพ ณ จุด B (ความสูง = 40 เมตร)

พลังงานกลสุดท้าย = พลังงานจลน์ ณ จุด B

พลังงานกลสุดท้าย = พลังงานกลเริ่มต้น

½ mv _t ² = mgh

½ v _t ² = gh

½ v _t ² = (10)(50-10)

½ v _t ² = (10)(40)

½ v _t ² = 400

v _t ² = (2)(400) = 800

v _t = √800 = √(2)(400) = 20√2 m/s

3. วัตถุเริ่มไถลจากจุด A โดยไม่มีความเร็วเริ่มต้น หากไม่มีแรงเสียดทาน ความเร็วของวัตถุที่จุดต่ำสุดจะเป็นเท่าใด

เป็นที่รู้จัก :

มวลของวัตถุ = m

ความเร็วเริ่มต้น (v _o ) = 0

ความสูง (h) = 20 เมตร

ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = 10 m/ ^s²

ต้องการทราบ:ความเร็วสุดท้าย (v _t )

วิธีการแก้ปัญหา:

พลังงานกลเริ่มต้น (ME ₁ ) = พลังงานศักย์โน้มถ่วง ณ จุด A (PE _A ) = mgh = (m)(10)(20) = 200 m

พลังงานกลสุดท้าย (ME ₂ ) = พลังงานจลน์ (KE) = ½ mv _t ²

ความเร็วของวัตถุ ณ จุดต่ำสุด(v _t ) คือเท่าใด?

ใช้หลักการอนุรักษ์พลังงานกล ซึ่งระบุว่า พลังงานกลเริ่มต้นเท่ากับพลังงานกลสุดท้าย

EM1 = _EM2

200 ม. = ½ ม.ว. _ต^.

200 = ½ v _t ²

400 = v _t ²

v _t = 20 ม./วินาที

4. ลูกบอลมวล 2 กิโลกรัม ตกลงมาอย่างอิสระจากจุด A ดังแสดงในรูปด้านล่าง (g = 10 ms⁻² ⁾หลังจากมาถึงจุด B พลังงานจลน์เท่ากับ 2 เท่าของพลังงานศักย์ จงหาความสูงของจุด B เหนือพื้นผิวโลก

เป็นที่รู้จัก :

มวลของลูกบอล (เมตร) = 2 กิโลกรัม

ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = 10 ^ms⁻²

ความสูงของจุด A (h _A ) = 90 เมตร

ต้องการทราบ:ความสูงของจุด B (h _B )

วิธีการแก้ปัญหา:

เมื่อลูกบอลมาถึงจุด B พลังงานจลน์ของลูกบอลที่จุด B จะเท่ากับ 2 เท่าของพลังงานศักย์โน้มถ่วงที่จุด B

EK = 2 EP

½ mv ² = 2 mgh _B

½ v ² = 2 gh _B

v ² = 2(2)(10) h _B

v ² = 40 ชั่วโมง_B

ความเร็ว (v) ของลูกบอลเมื่อมาถึงจุด B หลังจากตกอย่างอิสระจากจุด A :

v ² = 2 gh = 2(10)(90–h _B ) = 20(90–h _B )

แทนค่า v ²ในสมการข้างต้นด้วย v ²ในสมการนี้

v ² = 40 ชั่วโมง_B

20(90–h _B ) = 40 h _B

1800–20 น. _B = 40 น_{. B}

1800 = 40 ชั่วโมง_B + 20 ชั่วโมง_B

1800 = 60 ชั่วโมง_บี

h _B = 1800 / 60

h _B = 30 เมตร

5. ลูกบอลมวล 1 กิโลกรัมถูกปล่อยและเลื่อนลงจากจุด A ไปยังจุด C ดังแสดงในรูปด้านล่าง ถ้าความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงเท่ากับ 10 ms⁻² ^{พลังงานจลน์}ของลูกบอลเมื่อมาถึงจุด C คือเท่าใด

เป็นที่รู้จัก :

มวลของลูกบอล (เมตร) = 1 กิโลกรัม

ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = 10 m/ ^s²

การเปลี่ยนแปลงความสูง (h) = 0.75 เมตร

พลังงานศักย์เริ่มต้น (PE _o ) = mgh = (1)(10)(0.75) = 7.5 จูล

พลังงานจลน์เริ่มต้น (KE _o ) = ½ mv _o ² = ½ m (0) ² = 0

พลังงานศักย์โน้มถ่วงสุดท้าย (PE _t ) = mgh = mg (0) = 0

ต้องการทราบ:พลังงานจลน์ของลูกบอล ณ จุด C

วิธีการแก้ปัญหา:

พลังงานกลเริ่มต้น (ME _o ) = พลังงานกลสุดท้าย (ME _t )

พลังงานศักย์โน้มถ่วงเริ่มต้น (PE _o ) + พลังงานจลน์เริ่มต้น (KE _o ) = พลังงานศักย์โน้มถ่วงสุดท้าย (PE _t ) + พลังงานจลน์สุดท้าย (KE _t )

7.5 จูล + 0 = 0 + KE _t

7.5 จูล = _{พลังงานจลน์}

พลังงานจลน์ของลูกบอล ณ จุด C = 7.5 จูล

6. ลูกบอลมวล 2 กิโลกรัมถูกปล่อยจากจุด A ดังแสดงในรูปด้านล่าง ระนาบโค้งเรียบ ถ้าความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงคือ 10 ms⁻² ^{พลังงานจลน์}ของลูกบอลที่จุด B คือเท่าใด

เป็นที่รู้จัก :

มวลของลูกบอล (เมตร) = 2 กิโลกรัม

ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = 10 m/ ^s²

การเปลี่ยนแปลงความสูง (h) = 120 ซม. = 1.2 เมตร

พลังงานศักย์โน้มถ่วงเริ่มต้น (PE _o ) = mgh = (2)(10)(1.2) = 24 จูล

พลังงานจลน์เริ่มต้น (KE _o ) = ½ mv _o ² = ½ m (0) ² = 0

พลังงานศักย์โน้มถ่วงสุดท้าย (PE _t ) = mgh = mg (0) = 0

ต้องการทราบ:พลังงานจลน์ของลูกบอล ณ จุด B

วิธีการแก้ปัญหา:

พลังงานกลที่จุด A (พลังงานกลเริ่มต้น) = พลังงานกลที่จุด B (พลังงานกลสุดท้าย)

พลังงานกลเริ่มต้น (ME _o ) = พลังงานกลสุดท้าย (ME _t )

พลังงานศักย์โน้มถ่วงเริ่มต้น (PE _o ) + พลังงานจลน์เริ่มต้น (KE _o ) = พลังงานศักย์โน้มถ่วงสุดท้าย (PE _t ) + พลังงานจลน์สุดท้าย (KE _t )

24 จูล + 0 = 0 + KE _t

24 จูล = _{พลังงานจลน์}

พลังงานจลน์ (KE) ของลูกบอล ณ จุด C = 24 จูล

7. วัตถุชิ้นหนึ่งมีพลังงานกลคงที่ พลังงานจลน์มากกว่า และพลังงานศักย์โน้มถ่วงน้อยกว่า วัตถุนั้นคือ…

ก. ขณะพักผ่อน

ข. เคลื่อนขึ้นด้านบน

ค. เคลื่อนลง

ง. เร่งความเร็วขึ้น

วิธีการแก้ปัญหา:

พลังงานจลน์มีค่ามากขึ้น หมายความว่าความเร็วของวัตถุมีค่ามากขึ้น ในขณะที่พลังงานศักย์โน้มถ่วงมีค่าน้อยลง หมายความว่าความสูงของวัตถุจากผิวดินมีค่าน้อยลง ปรากฏการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อวัตถุเคลื่อนที่จากความสูงระดับหนึ่งลงสู่พื้นดิน

ความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วและพลังงานจลน์แสดงได้ด้วยสูตรพลังงานจลน์:

พลังงานจลน์ = ½ มิลลิโวลต์^²

คำอธิบายสูตร: KE = พลังงานจลน์, m = มวล, v = ความเร็ว

ความสัมพันธ์ระหว่างความสูงและพลังงานศักย์โน้มถ่วงแสดงได้ด้วยสูตรพลังงานศักย์โน้มถ่วง:

PE = mgh

คำอธิบายสูตร: PE = พลังงานศักย์โน้มถ่วง, m = มวล, g = ความเร่งโน้มถ่วง, h = ความสูง

คำตอบที่ถูกต้องคือ C.

1. พลังงานกลคืออะไร?
   • คำตอบ: พลังงานกลคือผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักยภาพของวัตถุ พลังงานจลน์เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ของวัตถุ ในขณะที่พลังงานศักยภาพเกี่ยวข้องกับตำแหน่งหรือลักษณะของวัตถุ
2. หลักการอนุรักษ์พลังงานกลกล่าวถึงอะไร?
   • คำตอบ: หลักการนี้กล่าวว่า ในระบบที่แยกตัวออกจากสิ่งแวดล้อมภายนอก โดยมีเพียงแรงอนุรักษ์กระทำอยู่ พลังงานกลรวมจะคงที่ นั่นหมายความว่า ผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์จะไม่เปลี่ยนแปลงไปตามเวลา
3. แรงอนุรักษ์และแรงอนาธิปไตยส่งผลต่อการอนุรักษ์พลังงานกลอย่างไร?
   • คำตอบ: แรงอนุรักษ์ เช่น แรงโน้มถ่วง ไม่เปลี่ยนแปลงพลังงานกลรวมของระบบ อาจเปลี่ยนพลังงานศักยภาพเป็นพลังงานจลน์หรือในทางกลับกัน แต่ผลรวมยังคงที่ ส่วนแรงไม่อนุรักษ์ เช่น แรงเสียดทาน สามารถทำให้พลังงานกลลดลง โดยทั่วไปจะเปลี่ยนเป็นพลังงานความร้อน
4. เหตุใดพลังงานกลจึงไม่ได้รับการอนุรักษ์ในสถานการณ์จริงที่เกี่ยวข้องกับแรงเสียดทาน?
   • คำตอบ: แรงเสียดทานเป็นแรงที่ไม่คงตัว เมื่อวัตถุเคลื่อนที่เข้าหากัน แรงเสียดทานจะเปลี่ยนพลังงานกลบางส่วนของระบบให้เป็นพลังงานความร้อน ส่งผลให้พลังงานกลรวมของระบบลดลง
5. การอนุรักษ์พลังงานกลแสดงให้เห็นได้อย่างไรในลูกตุ้มที่แกว่งไปมา?
   • คำตอบ: ในกรณีที่ไม่มีแรงต้านอากาศ (แรงที่ไม่คงตัว) ขณะที่ลูกตุ้มแกว่งขึ้น พลังงานจลน์ของมันจะถูกเปลี่ยนเป็นพลังงานศักย์โน้มถ่วง ณ จุดสูงสุดของการแกว่ง ลูกตุ้มจะมีพลังงานศักย์สูงสุดและพลังงานจลน์ต่ำสุด ขณะที่มันแกว่งลง พลังงานศักย์นี้จะถูกเปลี่ยนกลับเป็นพลังงานจลน์ พลังงานกลรวมยังคงที่ แม้ว่ารูปแบบของพลังงานจะสลับกันไปมาก็ตาม
6. ทำไมลูกบอลที่กระดอนจึงหยุดนิ่งในที่สุด แม้ว่าจะไม่มีแรงภายนอกมากระทำก็ตาม?
   • คำตอบ: เมื่อลูกบอลกระดอน พลังงานจลน์ทั้งหมดไม่ได้ถูกแปลงกลับไปเป็นพลังงานศักยภาพเสมอไป พลังงานบางส่วนจะสูญเสียไป มักจะอยู่ในรูปของเสียงหรือการเสียรูปของลูกบอล โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากแรงเสียดทานภายในเนื้อวัสดุของลูกบอล สิ่งเหล่านี้เป็นรูปแบบของแรงที่ไม่คงตัวซึ่งลดพลังงานกลของลูกบอลลงในแต่ละครั้งที่กระดอนจนกระทั่งหยุดนิ่ง
7. ในรถไฟเหาะตีลังกา พลังงานกลสูงสุดและต่ำสุดอยู่ที่จุดใด?
   • คำตอบ: พลังงานกลรวมของรถไฟเหาะจะคงที่หากเราไม่คำนึงถึงแรงต้านอากาศและแรงเสียดทาน อย่างไรก็ตาม ที่จุดสูงสุด พลังงานศักย์จะมีค่าสูงสุด ในขณะที่พลังงานจลน์จะมีค่าต่ำสุด เมื่อรถไฟเหาะลงมา พลังงานศักย์จะเปลี่ยนเป็นพลังงานจลน์ ดังนั้นที่จุดต่ำสุด พลังงานจลน์จะมีค่าสูงสุด และพลังงานศักย์จะมีค่าต่ำสุด
8. หลักการอนุรักษ์พลังงานกลช่วยให้เข้าใจวงโคจรของดาวเคราะห์ได้อย่างไร?
   • คำตอบ: ดาวเคราะห์ที่โคจรรอบดาวฤกษ์อย่างดวงอาทิตย์มีทั้งพลังงานจลน์ (เนื่องจากการเคลื่อนที่ของมัน) และพลังงานศักย์โน้มถ่วง (เนื่องจากตำแหน่งของมันเมื่อเทียบกับดวงอาทิตย์) เมื่อดาวเคราะห์เคลื่อนที่เข้าใกล้ดวงอาทิตย์มากขึ้น ความเร็วของมันก็จะเพิ่มขึ้น ทำให้พลังงานจลน์เพิ่มขึ้นในขณะที่พลังงานศักย์โน้มถ่วงลดลง และในทางกลับกัน พลังงานกลรวมของดาวเคราะห์จะคงที่ตลอดเวลา โดยสมมติว่าแรงอื่นๆ (เช่น จากดาวเคราะห์ดวงอื่น) นั้นมีน้อยมากจนสามารถละเลยได้
9. เหตุใดดาวเทียมที่โคจรอย่างเสถียรจึงไม่ตกลงสู่โลก?
   • คำตอบ: แม้ว่าดาวเทียมจะถูกดึงดูดเข้าหาโลกเนื่องจากแรงโน้มถ่วง แต่พลังงานจลน์ในทิศทางไปข้างหน้าช่วยให้มันเคลื่อนที่ต่อไปในวงโคจร ความสมดุลระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์โน้มถ่วงทำให้ดาวเทียมอยู่ในวงโคจรที่เสถียรด้วยพลังงานกลคงที่
10. ถ้าหากนักสกีเริ่มออกตัวจากหยุดนิ่งที่ยอดเนินที่ไม่มีแรงเสียดทาน แล้วจึงเริ่มเล่นสกีลงมา ความเร็วของเธอที่ด้านล่างจะเป็นอย่างไรเมื่อเทียบกับกรณีที่เธอเริ่มเล่นสกีจากกลางเนิน?

• คำตอบ: บนเนินเขาที่ไม่มีแรงเสียดทาน พลังงานกลรวมของนักสกีจะคงที่ ถ้าเธอเริ่มจากยอดเขา เธอจะมีพลังงานศักย์มากกว่าถ้าเธอเริ่มจากกลางทาง พลังงานศักย์นี้จะเปลี่ยนเป็นพลังงานจลน์ทั้งหมดขณะที่ลงมา ดังนั้น เธอจะเร็วกว่าที่ด้านล่างถ้าเธอเริ่มจากยอดเขามากกว่าถ้าเธอเริ่มจากกลางทาง