Rotationsrörelse – problem och lösningar

Vridmoment

1. En balk som är 140 cm lång. Tre krafter verkar på balken, F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N och F3 ₌ 40 N, med riktning och position som visas i figuren nedan. Vilket vridmoment får balken att rotera kring balkens masscentrum?

Känd: Rotationsrörelse – problem och lösningar 1

Masscentrumet ligger i balkens centrum.

Balkens längd (l) = 140 cm = 1.4 meter

Kraft 1 (F1 ₎ = 20 N, hävstången 1 (l1 ₎ = 70 cm = 0.7 meter

Kraft 2 (F2 ₎ = 10 N, hävstången 2 (l2 ₎ = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 meter

Kraft 3 (F3 ₎ = 40 N, hävstången 3 (l3 ₎ = 70 cm = 0.7 meter

Önskat: Storleken på vridmomentet

lösning:

Vridmoment 1 roterar balken medurs, så vridmoment 1 tilldelas ett negativt tecken.

τ1 ₌ F1l1 = ( ₂₀ N)(0.7 m ₎ = -14 Nm

Momentet 2 roterar balken moturs, vilket ger vridmomentet 2 ett positivt tecken.

τ² ₌ F² _{l² = (10 N}₎ (0.3 m ) = 3 Nm

Momentet 3 roterar strålen medurs, så momentet 3 tilldelas ett positivt tecken.

τ3 ₌ F3l3 = ( ₄₀ N)(0.7 m) = -28 Nm

Netto vridmomentet:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

Vridmomentets storlek är 39 Nm. Balkens rotationsriktning är medurs och tilldelas därför ett negativt tecken.

2. Vilket är nettomomentet som verkar på balken? Rotationsaxeln vid punkt D. (sin 53 ^o = 0.8)

Känd:

Rotationsaxeln vid punkt D Rotationsrörelse – problem och lösningar 2

F ₁ = 10 N och l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm)(sin 53 ^o ) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 meter

F ₂ = 10√2 N och l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm)(sin 45 ^o ) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 meter

F ₃ = 20 N och l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm)(sin 90 ^o ) = (0.1 m)(1) = 0.1 meter

Önskat: Nettomomentet

lösning:

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N) (0.32 m) = 3.2 Nm

(Vridmoment 1 roterar strålen moturs så vi tilldelar vridmoment 1 positivt tecken)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(Vridmoment 2 roterar strålen medurs så vi tilldelar vridmoment 2 ett negativt tecken)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N) (0.1 m) = 2 Nm

(Vridmoment 3 roterar strålen moturs så vi tilldelar vridmoment 3 positivt tecken)

Netto vridmomentet:

Στ = _τ1 – _τ1 + _τ3

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Vad är nettomomentet om rotationsaxeln är vid punkt D. (sin 53 ^o = 0.8)

Känd:

Rotationsaxeln vid punkten D. Rotationsrörelse – problem och lösningar 3

Avståndet mellan F1 _och rotationsaxeln (rAD ₎ = 40 cm = 0.4 m

Avståndet mellan F2 _och rotationsaxeln (rBD ₎ = 20 cm = 0.2 m

Se även Mekanisk energi – problem och lösningar

Avståndet mellan F3 _och rotationsaxeln (rCD ₎ = 10 cm = 0.1 m

F1 = ₁₀ Newton

F² = 10√² _Newton

F² = ₂₀ Newton

Sinus 53 ^o = 0.8

Önskat: Nettomomentet

lösning:

Kraftmomentet 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(Vridmoment 1 roterar strålen moturs så vi tilldelar vridmoment 1 positivt tecken)

Kraftmomentet 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(Vridmoment 2 roterar strålen medurs så vi tilldelar vridmoment 2 ett negativt tecken)

Kraftmomentet 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(Vridmoment 2 roterar strålen moturs så vi tilldelar vridmoment 3 positivt tecken)

Netto vridmomentet:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 Newtonmeter

Tröghetsmomentet

4. Trådlängd = 12 m, l1 ₌ 4 m. Ignorera trådens massa. Vad är systemets tröghetsmoment ?

Känd: Rotationsrörelse – problem och lösningar 4

Massa av A (m _A ) = 0.2 kg

Massa av B (mB ₎ = 0.6 kg

Avståndet mellan A och rotationsaxeln (r _A ) = 4 meter

Avståndet mellan B och rotationsaxeln (r²B ₎ = 12 – 4 = 8 meter

Önskad: Systemets tröghetsmoment

lösning:

Tröghetsmomentet för A

I _A = (m _A )(r _A2 ) = (0.2)(4) ²⁼ (0.2)(16) = 3.2 kg m ²

Tröghetsmomentet för B

I _B = (m _B )(r _B² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

Systemets tröghetsmoment:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg m ²

Rotationsdynamik

5. En kraft på 6 N appliceras på en lina som är lindat runt en remskiva med massan M = 5 kg och radien R = 20 cm. Vad är remskivans vinkelacceleration? Remskivan är en likformig solid cylinder.

Känd:

Kraft (F) = 6 Newton

Massa (M) = 5 kg

Radie (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Önskad: Vinkelacceleration (α)

lösning:

Kraftmomentet:

τ = FR = (6 Newton)(0.2 meter) = 1.2 Nm

Tröghetsmomentet för en solid cylinder:

I = 1/2 ^MR²

I = 1/2 (5 kg) (0.2 m² ⁾

I = 1/2 (5 kg) (0.04 ^m² )

Jag = 1/2 (0.2)

Jag = 0.1 kg ^m².

Vinkelaccelerationen:

τ = Iα

a = τ/I = 1.2/0.1 = 12 rad s ^-2

6. Ett block med massan 4 kg hänger från en lina linad runt en remskiva med massan 8 kg och radien R = 10 cm. Tyngdaccelerationen är 10 ms ^-2 . Vad är blockets linjära acceleration? Remskivan är en likformig solid cylinder.

Känd:

Remskivans massa (m) = 8 kg

Remskivans radie (r) = 10 cm = 0.1 m

Blockets massa (m) = 4 kg

Tyngdacceleration (g) = 10 m/ ^s²

Se även Mekaniska vågors hastighet - problem och lösningar

Vikt (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 Newton

Önskad: Blockets acceleration i fritt fall

lösning:

Tröghetsmomentet för den solida cylindern:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 kg)(0.1 m) ² = (4 kg)(0.01 m ² ) = 0.04 kg m ²

Kraftmomentet:

τ = F r = (40 N) (0.1 m) = 4 Nm

Vinkelaccelerationen:

Στ = Iα

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Den linjära accelerationen:

a = r α = (0.1)(100) = 10 m/s ²

7. Ett block med massan m hängande från en lina linad runt en remskiva. Om blockets acceleration i fritt fall är am/ ^s² , vad är remskivans tröghetsmoment?

Känd:

vikt = w = mg Rotationsrörelse – problem och lösningar 6

Hävarm = R

Vinkelaccelerationen = α

Blockets acceleration vid fritt fall = a ms ^-2

Önskat: Tröghetsmomentet för remskivan (I)

lösning:

Sambandet mellan linjär acceleration och vinkelacceleration:

a = Rα

α = a / R

Tröghetsmomentet:

τ = Iα

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

Vinkelmomentet

8. En partikel på 0.2 gram rör sig i en cirkel med en konstant hastighet av 10 m/s. Cirkelns radie är 3 cm. Vad är partikelns rörelsemängdsmoment?

Känd:

Partikelmassa (m) = 0.2 gram = 2 x ^10⁻⁴ kg

Vinkelhastighet (ω) = 10 rad ^s⁻¹

Radie (r) = 3 cm = 3 x ^10⁻² meter

Önskat: Partikelns vinkelmoment

lösning:

Ekvationen för vinkelmomentet:

L = I ω

I = rörelsemängdsmomentet, I = tröghetsmomentet, ω = vinkelhastigheten

Tröghetsmomentet (för partiklar):

I = mr² ⁼ (2 x ^10⁻⁴ )(3 x ^10⁻² ) ^² = (2 x ^10⁻⁴ )(9 x ^10⁻⁴ ) = 18 x ^10⁻⁶

Vinkelmomentet:

L = I ω = (18 x ^10⁻⁶⁾ (10 rad ^s⁻¹ ) = 18 x ^10⁻⁶ kg ^m² s⁻¹

Vad är rotationsrörelse?
- SvarRotationsrörelse avser ett objekts rörelse runt en fast axel. Det är den typ av rörelse där varje punkt på objektet rör sig i en cirkel runt axeln.
Hur relaterar linjär hastighet till vinkelhastighet i rotationsrörelse?
- SvarLinjär hastighet ( $v$ ) för en punkt i ett roterande objekt är direkt proportionell mot dess avstånd ( $r$ ) från rotationsaxeln och vinkelhastigheten ( $ω$ ) för objektet. Relationen ges av $v = r \cdot ω$ .
Vad är tröghetsmomentet, och hur relaterar det till rotationsrörelse?
- SvarTröghetsmomentet är den rotationsmässiga analogin till massa i linjär rörelse. Det mäter ett objekts motstånd mot förändringar i dess rotationstillstånd. Tröghetsmomentet beror på både objektets massa och dess fördelning i förhållande till rotationsaxeln.
Hur tillämpas Newtons första rörelselag på rotationsrörelse?
- SvarPrecis som ett objekt i linjär rörelse förblir i rörelse om det inte påverkas av en yttre kraft, kommer ett objekt i rotationsrörelse att förbli i det tillståndet om det inte påverkas av ett yttre vridmoment.
Vilken betydelse har gyrationsradien?
- SvarGyrationsradien ger ett mått på fördelningen av ett objekts massa bort från dess rotationsaxel. Den beskriver i huvudsak hur långt från axeln hela objektets massa skulle behöva koncentreras för att ha samma tröghetsmoment som den ursprungliga fördelningen.
Vad är rörelsemängdsmoment och hur bevaras det?
- SvarVinkelmoment är rotationsekvivalenten till linjärt momentum. Det är produkten av ett objekts tröghetsmoment och dess vinkelhastighet. I ett slutet system förblir det totala vinkelmomentet konstant om det inte påverkas av ett externt vridmoment, vilket belyser bevarandet av vinkelmomentet.
Hur påverkar vridmoment rotationsrörelsen?
- SvarVridmoment är rotationsekvivalenten till kraft. Det orsakar förändringar i ett objekts rotationsrörelse. Relationen ges av Newtons andra lag för rotation: $τ = I \cdot α$ Där $τ$ är vridmomentet, $I$ är tröghetsmomentet, och $α$ är vinkelaccelerationen.
Hur skiljer sig masscentrum från rotationscentrum?
- SvarÄven om de kan sammanfalla, är masscentrum den punkt där hela massan av ett objekt kan antas vara koncentrerad för beräkningar i linjär rörelse, medan rotationscentrum är den punkt (eller axel) kring vilken ett objekt roterar.
Vilken roll spelar centripetalkraften i rotationsrörelse?
- SvarCentripetalkraften är nettokraften som verkar på ett objekt som rör sig i en cirkulär bana, riktad mot rotationscentrum. Den ansvarar för att hålla ett objekt i sin krökta bana och förhindra att det rör sig i en rak linje på grund av tröghet.
Hur är rotationskinetisk energi relaterad till tröghetsmoment och vinkelhastighet?
- SvarRotationskinetisk energi är den energi som uppstår när ett objekt roterar kring en axel. Den ges av formeln: $K E_{ro t a t i o na l} = 1/2 I ω^{2}$ Där $I$ är tröghetsmomentet och $ω$ är vinkelhastigheten.