Rotationsrörelse – problem och lösningar

Vridmoment

1. En balk som är 140 cm lång. Tre krafter verkar på balken, F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N och F3 ₌ 40 N, med riktning och position som visas i figuren nedan. Vilket vridmoment får balken att rotera kring balkens masscentrum?

Känd: Rotationsrörelse – problem och lösningar 1

Masscentrumet ligger i balkens centrum.

Balkens längd (l) = 140 cm = 1.4 meter

Kraft 1 (F₁) = 20 N, hävstången 1 (l₁) = 70 cm = 0.7 meter

Kraft 2 (F₂) = 10 N, hävstången 2 (l₂) = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 meter

Kraft 3 (F₃) = 40 N, hävstången 3 (l₃) = 70 cm = 0.7 meter

Önskad: Storleken på vridmomentet

lösning:

Vridmoment 1 roterar balken medurs, så vridmoment 1 tilldelas ett negativt tecken.

τ₁ =F₁ l₁ = (20 N)(0.7 m) = -14 N m

Momentet 2 roterar balken moturs, vilket ger vridmomentet 2 ett positivt tecken.

τ₂ =F₂ l₂ = (10 N)(0.3 m) = 3 N m

Momentet 3 roterar strålen medurs, så momentet 3 tilldelas ett positivt tecken.

τ₃ =F₃ l3 = (40 N)(0.7 m) = -28 N m

Netto vridmomentet:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

Vridmomentets storlek är 39 Nm. Balkens rotationsriktning är medurs och tilldelas därför ett negativt tecken.

2. Vad är nettomomentet som verkar på balken? Rotationsaxeln vid punkt D. (sin 53^o = 0.8)

Känd:

Rotationsaxeln vid punkt D Rotationsrörelse – problem och lösningar 2

F₁ = 10 N och l₁= r₁ sin θ = (40 cm)(sin 53^o) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 meter

F₂ = 10√2 N och l₂= r₂ sin θ = (20 cm)(sin 45^o) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 meter

F₃ = 20 N och l₃ = r₁ sin θ = (10 cm)(sin 90^o) = (0.1 m)(1) = 0.1 meter

Önskad: Netto vridmomentet

lösning:

τ₁ =F₁ l₁ = (10 N)(0.32 m) = 3.2 Nm

(Vridmoment 1 roterar strålen moturs så vi tilldelar vridmoment 1 positivt tecken)

τ₂ =F₂ l₂ = (10√2 N)(0.1√2 m) = -2 Nm

(Vridmoment 2 roterar strålen medurs så vi tilldelar vridmoment 2 ett negativt tecken)

τ₃ =F₂ l₂ = (20 N)(0.1 m) = 2 Nm

(Vridmoment 3 roterar strålen moturs så vi tilldelar vridmoment 3 positivt tecken)

Netto vridmomentet:

Στ = τ₁ – t₁ + τ₃

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Vad är nettomomentet om rotationsaxeln vid punkt D (sinus 53)^o= 0.8)

Känd:

Rotationsaxeln vid punkten D. Rotationsrörelse – problem och lösningar 3

Distans mellan F₁ och rotationsaxeln (r_AD) = 40 cm = 0.4 m

Avstånd mellan F₂ och rotationsaxeln (r_BD) = 20 cm = 0.2 m

Se även Upp- och nedtransformatorer – problem och lösningar

Avstånd mellan F₃ och rotationsaxeln (r_CD) = 10 cm = 0.1 m

F₁= 10 Newton

F₂ = 10√2 Newton

F² = ₂₀ Newton

Synd 53^o= 0.8

Önskad: Netto vridmomentet

lösning:

Kraftens ögonblick 1

St.₁ = (F₁)(r_AD son 53^o) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(Vridmoment 1 roterar strålen moturs så vi tilldelar vridmoment 1 positivt tecken)

Kraftmomentet 2

St.₂= (F₂)(r_BD son 45^o) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(Vridmoment 2 roterar strålen medurs så vi tilldelar vridmoment 2 ett negativt tecken)

Kraftmomentet 3

St.₃ = (F₃)(r_CD son 90^o) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(Vridmoment 2 roterar strålen moturs så vi tilldelar vridmoment 3 positivt tecken)

Netto vridmomentet:

Στ = Στ₁ + Στ₂+ Στ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 Newtonmeter

Tröghetsmomentet

4. Trådlängd = 12 m, l₁ = 4 m. Ignorera trådens massa. Vad är ögonblick av tröghet av systemet.

Känd: Rotationsrörelse – problem och lösningar 4

Massa av A (m_A) = 0.2 kg

Massa av B (m_B) = 0.6 kg

Avståndet mellan A och rotationsaxeln (r_A) = 4 meter

Avståndet mellan B och rotationsaxeln (r_B) = 12 – 4 = 8 meter

Önskad: Systemets tröghetsmoment

lösning:

Tröghetsmomentet för A

I_A = (m_A)(r_A²) = (0.2)(4)² = (0.2)(16) = 3.2 kg/m²

Tröghetsmomentet för B

I_B= (m_B)(r_B²) = (0.6)(8)² = (0.6)(64) = 38.4 kg/m²

Systemets tröghetsmoment:

Jag = jag_A + I_B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg/m²

Rotationsdynamik

5. En kraft på 6 N appliceras på en lina som är lindat runt en remskiva med massan M = 5 kg och radien R = 20 cm. Vad är remskivans vinkelacceleration? Remskivan är en likformig solid cylinder.

Känd:

Kraft (F) = 6 Newton

Massa (M) = 5 kg

Radie (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Önskad: Vinkelacceleration (a)

lösning:

Kraftmomentet:

τ = FR = (6 Newton)(0.2 meter) = 1.2 Nm

Tröghetsmomentet för en solid cylinder:

Jag = 1/2 MR²

I = 1/2 (5 kg) (0.2 m)²

I = 1/2 (5 kg) (0.04 m²)

Jag = 1/2 (0.2)

Jag = 0.1 kg/m².

Vinkelaccelerationen:

τ = Iα

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s^-2

6. Ett block med massan 4 kg hängande från en lina linad runt en remskiva med massan 8 kg och radien R 10 cm. Tyngdaccelerationen är 10 ms.^-2Vad är blockets linjära acceleration? Remskivan är en likformig solid cylinder.

Känd:

Remskivans massa (m) = 8 kg

Remskivans radie (r) = 10 cm = 0.1 m

Blockets massa (m) = 4 kg

Tyngdacceleration (g) = 10 m/ ^s²

Se även Parabolisk rörelse Arbete och kinetisk energi Linjärt momentum Linjär och vinkelrörelse Problem och lösningar

Vikt (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 Newton

Önskad: Blockets acceleration i fritt fall

lösning:

Tröghetsmomentet för den solida cylindern:

Jag = 1/2 MR²= 1/2 (8 kg) (0.1 m²)² = (4 kg)(0.01 m²²) = 0.04 kg/m²²

Kraftmomentet:

τ = F r = (40 N) (0.1 m) = 4 Nm

Vinkelaccelerationen:

Στ = Iα

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Den linjära accelerationen:

a = ra = (0.1)(100) = 10 m/s²

7. Ett block med massan m som hänger från en lina som virats runt en remskiva. Om fritt fall Blockets acceleration är am/s², vad är tröghetsmomentet för remskivan..

Känd:

vikt = w = mg Rotationsrörelse – problem och lösningar 6

Hävarm = R

Vinkelaccelerationen = α

Blockets acceleration vid fritt fall = a ms^-2

Efterlyst: Tröghetsmomentet för remskivan (I)

lösning:

Sambandet mellan linjär acceleration och vinkelacceleration:

a = Rα

α = a / R

Tröghetsmomentet:

τ = Iα

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a^-1

Vinkelmomentet

8. En partikel på 0.2 gram rör sig i en cirkel med en konstant hastighet av 10 m/s. Cirkelns radie är 3 cm. Vad är partikelns rörelsemängdsmoment?

Känd:

Partikelmassa (m) = 0.2 gram = 2 x 10^-4kg

Vinkelhastighet (ω) = 10 rad/s^-1

Radie (r) = 3 cm = 3 x 10^-2mätare

Önskad: Partikelns vinkelmoment

lösning:

Ekvationen för vinkelmomentet:

L = I ω

I = rörelsemängdsmomentet, I = tröghetsmomentet, ω = vinkelhastigheten

Tröghetsmomentet (för partiklar):

Jag = herr²= (2 x 10^-4)(3 x 10^-2)²= (2 x 10^-4)(9 x 10^-4) = 18 x 10^-8

Vinkelmomentet:

L = I ω = (18 x 10^-8)(10 rad/s^-1) = 18 x 10^-7 kg m² s^-1

Vad är rotationsrörelse?
- SvarRotationsrörelse avser ett objekts rörelse runt en fast axel. Det är den typ av rörelse där varje punkt på objektet rör sig i en cirkel runt axeln.
Hur relaterar linjär hastighet till vinkelhastighet i rotationsrörelse?
- SvarLinjär hastighet ( $v$ ) för en punkt i ett roterande objekt är direkt proportionell mot dess avstånd ( $r$ ) från rotationsaxeln och vinkelhastigheten ( $ω$ ) för objektet. Relationen ges av $v = r \cdot ω$ .
Vad är tröghetsmomentet, och hur relaterar det till rotationsrörelse?
- SvarTröghetsmomentet är den rotationsmässiga analogin till massa i linjär rörelse. Det mäter ett objekts motstånd mot förändringar i dess rotationstillstånd. Tröghetsmomentet beror på både objektets massa och dess fördelning i förhållande till rotationsaxeln.
Hur tillämpas Newtons första rörelselag på rotationsrörelse?
- SvarPrecis som ett objekt i linjär rörelse förblir i rörelse om det inte påverkas av en yttre kraft, kommer ett objekt i rotationsrörelse att förbli i det tillståndet om det inte påverkas av ett yttre vridmoment.
Vilken betydelse har gyrationsradien?
- SvarGyrationsradien ger ett mått på fördelningen av ett objekts massa bort från dess rotationsaxel. Den beskriver i huvudsak hur långt från axeln hela objektets massa skulle behöva koncentreras för att ha samma tröghetsmoment som den ursprungliga fördelningen.
Vad är rörelsemängdsmoment och hur bevaras det?
- SvarVinkelmoment är rotationsekvivalenten till linjärt momentum. Det är produkten av ett objekts tröghetsmoment och dess vinkelhastighet. I ett slutet system förblir det totala vinkelmomentet konstant om det inte påverkas av ett externt vridmoment, vilket belyser bevarandet av vinkelmomentet.
Hur påverkar vridmoment rotationsrörelsen?
- SvarVridmoment är rotationsekvivalenten till kraft. Det orsakar förändringar i ett objekts rotationsrörelse. Relationen ges av Newtons andra lag för rotation: $τ = I \cdot α$ Där $τ$ är vridmomentet, $I$ är tröghetsmomentet, och $α$ är vinkelaccelerationen.
Hur skiljer sig masscentrum från rotationscentrum?
- SvarÄven om de kan sammanfalla, är masscentrum den punkt där hela massan av ett objekt kan antas vara koncentrerad för beräkningar i linjär rörelse, medan rotationscentrum är den punkt (eller axel) kring vilken ett objekt roterar.
Vilken roll spelar centripetalkraften i rotationsrörelse?
- SvarCentripetalkraften är nettokraften som verkar på ett objekt som rör sig i en cirkulär bana, riktad mot rotationscentrum. Den ansvarar för att hålla ett objekt i sin krökta bana och förhindra att det rör sig i en rak linje på grund av tröghet.
Hur är rotationskinetisk energi relaterad till tröghetsmoment och vinkelhastighet?
- SvarRotationskinetisk energi är den energi som uppstår när ett objekt roterar kring en axel. Den ges av formeln: $K E_{ro t a t i o na l} = 1/2 I ω^{2}$ Där $I$ är tröghetsmomentet och $ω$ är vinkelhastigheten.