Tröghetsmoment för partiklar – problem och lösningar

1. Två kulor sammankopplade med en stång, som visas i figuren nedan. Ignorera stavens massa . Kulans P massa är 600 gram och kulans Q massa är 400 gram. Vad är systemets tröghetsmoment kring AB?

Känd:

Rotationsaxeln är AB. Tröghetsmoment för partiklar – problem och lösningar 1

m _p = 600 gram = 0.6 kg, m _q = 400 gram = 0.4 kg

rp ₌ 20 cm = 0.2 m, _rq = 50 cm = 0.5 m

Önskad: Systemets tröghetsmoment

lösning:

I = ^m^p_r p² ₊ m _q r _q²

I = (0.6 kg)(0.2 m) ^² + (0.4 kg)(0.5 m) ^²

I = (0.6 kg)(0.04 m² ⁾ + (0.4 kg)(0.25 ^m² )

I = 0.024 kg ^m² + 0.1 kg ^m²

Jag = 0.124 kg ^m²

2. Stången AB med massan 2 kg roteras kring punkt A, stångens tröghetsmoment är 8 kg/m²Om den roteras kring punkten O (AO = OB), vad är stångens tröghetsmoment?

Känd: Tröghetsmoment för partiklar – problem och lösningar 2

Massa av stav AB (m) = 2 kg

Om roteras kring punkt A så att rotationsradien (r) = längden på AB = r, då är tröghetsmomentet (I) = 8 kg/m²

Efterlyst: Om den roteras kring punkten O så att rotationsradien (r) = längden på AO = längden på OB = 1/2 r, vad är då stångens tröghetsmoment?

lösning:

Jag = Herr ²

8 kg ^m² = (2 kg) ^r²

8 m² ⁼ (2) ^r²

r² ⁼ 8 m² ^/ 2

r² = ⁴^m²

r = 2 meter

Om roteras kring punkt O så att ½ r = 1 meter, då är tröghetsmomentet:

I = mr² ⁼ (2 kg)(1 m² ⁾ = (2 kg)(1 ^m² ) = 2 kg ^m²

3. Två kulor sammankopplade med en stång enligt figuren nedan. Ignorera stavens massa. Vad är systemets tröghetsmoment?

Känd:

Massa av boll A (m_A) = 200 gram = 0.2 kg Tröghetsmoment för partiklar – problem och lösningar 3

Massa av boll B (mB ₎ = 400 gram = 0.4 kg

Avståndet mellan kula A och rotationsaxeln (r_A) = 0

Se även Newtons första rörelselag – problem och lösningar

Avståndet mellan kula B och rotationsaxeln (r_B) = 25 cm = 0.25 m

Önskad: Systemets tröghetsmoment

lösning:

Tröghetsmomentet för kula A:

I _A = (m _A )(r _A² ) = (0.2)(0) ² = 0

Tröghetsmomentet för kula B:

I _B = (m _B )(r _B² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m ²

Systemets tröghetsmoment:

Jag = jag_A+ I_B = 0 + 0.025 = 0.025 kg/m² = 25 x 10^-3 kg m²

4. Fyra partiklar med olika massor, visade i figuren nedan. Bestäm systemets tröghetsmoment kring den horisontella linjen P.

Lösning

Rotationsaxeln är den horisontella linjen P.

Känd: Tröghetsmoment för partiklar – problem och lösningar 4

Massa av partikel A (m_A) = m

Massa av partikel B (m_B) = 2m

Massa av partikel C (m_C) = 3m

Passage av partikel D (m_D) = 4m

Avståndet mellan partikel A och rotationsaxeln (r_A) = b

Avståndet mellan partikel B och rotationsaxeln (r_B) = b

Avståndet mellan partikel C och rotationsaxeln (r_C) = 2b

Avståndet mellan partikel D och rotationsaxeln (r_D) = 2b

Önskad: Systemets tröghetsmoment kring den horisontella linjen P

lösning:

Jag = m_A r_A² +m_B r_B²+m_C r_C²+m_Dr_D²

I = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

Jag = mb²+ 2 mb² + (3m)(4b²) + (4m)(4b²)

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

Jag = 31 ^mb²

5. Fyra partiklar sammankopplade med en stav. Ignorera stavens massa. Bestäm tröghetsmomentet kring rotationsaxeln genom partikel m.₁ och M₂, som visas i figuren nedan.

Känd

Massa av partikel 1 (m₁) = 1/4 kg Tröghetsmoment för partiklar – problem och lösningar 5

Massa av partikel 2 (m₂) = 1/2 kg

Massa av partikel 3 (m₃) = 1/4 kg

Massa av partikel 4 (m₄) = 1/4 kg

Avståndet mellan partikel 1 och rotationsaxeln (r₁) = 0

Avståndet mellan partikel 2 och rotationsaxeln (r₂) = 0

Avståndet mellan partikel 3 och rotationsaxeln (r₃) = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Avståndet mellan partikel 4 och rotationsaxeln (r₄) = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Se även Tillämpningar av Bernoullis princip

Önskad: Tröghetsmomentet

lösning:

Jag = m₁ r₁² +m₂ r₂²+m₃ r₃²+m₄r₄²

I = (1/4)(0) ² + (1/2)(0) ² + (1/4)(1/10) ² + (1/4)(1/10) ²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

Jag = 1/400 + 1/400

Jag = 2/400

I = 1/200 ^kg.m²

Vad är tröghetsmomentet för en partikel?
- SvarFör en enda partikel med massa $m$ på ett avstånd $r$ från en rotationsaxel, dess tröghetsmoment $I$ ges av $I = m \times r^{2}$ .
Varför kallas tröghetsmomentet ofta för massans "rotationsanalog"?
- SvarPrecis som massa är ett mått på ett objekts motstånd mot förändringar i dess translationsrörelse (på grund av Newtons andra lag), är tröghetsmomentet ett mått på ett objekts motstånd mot förändringar i dess rotationsrörelse.
Hur påverkar en partikels tröghetsmoment genom att ändra avståndet från dess rotationsaxel?
- SvarTröghetsmomentet är proportionellt mot kvadraten på avståndet från rotationsaxeln. Om du fördubblar avståndet ökar tröghetsmomentet med en faktor fyra.
Varför är kvadraten på avståndet (r²) som används i formeln för tröghetsmomentet istället för bara avståndet?
- SvarKvadraten av avståndet används på grund av hur kinetisk energi fungerar i rotation. I rotationsrörelse bidrar varje partikel i ett objekt till den rotationella kinetiska energin baserat på både dess massa och dess avstånd från axeln i kvadrat.
Hur förändras en partikels tröghetsmoment om dess massa tredubblas samtidigt som avståndet från axeln hålls konstant?
- SvarOm massan tredubblas och avståndet hålls konstant, kommer även tröghetsmomentet att tredubblas eftersom det är direkt proportionellt mot massan.
Kan en partikel ha ett tröghetsmoment på noll? Om så är fallet, under vilka förhållanden?
- SvarJa, en partikel har ett tröghetsmoment på noll om den är placerad direkt på rotationsaxeln, vilket gör dess avstånd $r$ från axeln lika med noll.
Varför har olika objekt med samma massa och storlek olika tröghetsmoment när de roterar kring olika axlar?
- SvarMassfördelningen kring rotationsaxeln bestämmer tröghetsmomentet. Även om två objekt har samma massa och storlek kan deras massfördelningar i förhållande till rotationsaxeln skilja sig åt, vilket leder till olika tröghetsmoment.
Är tröghetsmomentet en skalär eller vektormässig kvantitet?
- SvarTröghetsmomentet är en skalär kvantitet. För stela kroppar med komplexa former och flera rotationsaxlar representeras det dock av en tensor.
Om två partiklar, var och en med massa $m$ , är belägna på avstånd $r_{1}$ och $r_{2}$ från rotationsaxeln, vad är det kombinerade tröghetsmomentet?
- SvarTröghetsmomentet är additivt för separata partiklar. Således är det kombinerade tröghetsmomentet $I = m \times r_{12} + m \times r_{22}$ .
Hur relaterar tröghetsmomentet till bevarandet av rörelsemängdsmomentet?
- SvarVinkelmoment $L$ är produkten av tröghetsmomentet $I$ och vinkelhastighet $ω$ , representerad av ekvationen $L = I \times ω$ Om inga externa vridmoment verkar på ett system, kommer vinkelmomentet att förbli konstant. Det betyder att om tröghetsmomentet ändras (som hos en konståkare som drar in armarna), måste vinkelhastigheten justeras för att hålla produkten konstant.