Projektilrörelse – problem och lösningar

27 Projektilrörelse – problem och lösningar

1. En kula avfyras med en vinkel θ = 60 ^° med en hastighet på 20 m/s. Tyngdaccelerationen är 10 m/s² ^. Vilken tidsintervall tar det att nå maximal höjd?

Känd:

Kulans initialhastighet (v _o ) = 20 m/s

Vinkel (θ) = 60 ^° C

Tyngdacceleration (g) = 10 ms ^–2

Önskad: Tidsintervallet för att nå maximal höjd

lösning:

Den initiala hastigheten i horisontell riktning (x-axeln):

v _ox = v _o cos 60 ^o = (20)(0.5) = 10 m/s

Den initiala hastigheten i vertikal riktning (y-axeln):

v _oy = vo sin 60 ^o = (20)(0.5√3) = 10√3 m/s

Tidsintervallet för att nå maximal höjd, beräknat med hjälp av denna ekvation:

v _ty = v _oy + gt

v _ty = sluthastigheten i vertikal riktning = sluthastigheten vid den högsta punkten = 0 m/s

v _oy = initialhastigheten i horisontell riktning = 10√3 m/s

g = tyngdaccelerationen = 10 m/ ^s²

t = tidsintervall

Tidsintervallet:

v _ty = v _oy + gt

0 = 10√3 – 10 t

10√3 = 10 t

t = 10√3 / 10

t = √3 sekunder

2. Ett objekt projicerat i en vinkel. Objektets höjd är densamma när tidsintervallet = 1 sekund och 3 sekunder. Vilket är objektets tidsintervall i luften?

lösning:

Objektet i luften i 4 sekunder.

3. Ett flygplan rör sig horisontellt med en hastighet av 50 m/s. På 2 km höjd släpps ett föremål från flygplanet. Tyngdaccelerationen = 10 m/ s², vad är tidsintervallet innan föremålet träffar marken?

Känd:

Höjd = 2 km = 2000 meter

Tyngdacceleration (g) = 10 m/ ^s²

Önskat: Tidsintervallet (t)

lösning:

h = 1/2 ^gt²

2000 = 1/2 (10) ^t²

2000 = 5 ^t²

t2 = 2000/5 = ⁴⁰⁰

t = √400 = 20 sekunder

4. En sparkad fotboll lämnar marken i en vinkel θ = 45 ^° med horisontalplanet och en initialhastighet på 25 m/s. Bestäm avståndet till X. Tyngdaccelerationen är 10 m/ ^s².

Känd:

Initialhastighet (v _o ) = 25 m/s

Tyngdacceleration (g) = 10 m/ ^s²

Vinkel (θ) = 45 ^°

Önskas: X

lösning:

Den horisontella komponenten av den initiala hastigheten:

v _ox = v _o cos θ = (25 m/s)(cos 45 ^o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s

Den vertikala komponenten av den initiala hastigheten:

v _oy = v _o sin θ = (25 m/s)(sin 45 ^o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s

Projektilrörelse kan förstås genom att analysera rörelsens horisontella och vertikala komponenter separat. X-rörelsen sker med konstant hastighet och y-rörelsen sker med konstant tyngdacceleration.

Tid i luften (t):

Tiden i luft beräknas med ekvationen för den uppåtgående vertikala rörelsen.

Välj uppåtgående riktning som positiv och nedåtgående riktning som negativ.

Känd:

Begynnelsehastigheten (v _o ) = 12.5√2 m/s (uppåtgående riktning, positiv)

Tyngdacceleration (g) = -10 m/s² ⁽ nedåtgående riktning, negativ)

Höjd (h) = 0

Önskat: Tidsintervall (t)

lösning:

h = v _o t + 1/2 ^gt²

0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) ^t²

0 = 12.5√2 t – 5 ^t2

12.5√² t = 5 ^t²

12.5√2 = 5 t

t = 12.5√2 / 5

t = 2.5√2 sekunder

Det horisontella avståndet (X):

Beräknad med hjälp av ekvationen för likformig linjär rörelse med konstant hastighet.

Känd:

Hastighet (v) = 12.5√2 m/s

Tidsintervall (t) = 2.5√2 sekunder

Önskas: Avstånd

lösning:

d = vt = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5 meter

5. Ett objekt som projiceras uppåt i en vinkel θ = 30 ^° med horisontalplanet har en initialhastighet på 20 m/s. Tyngdaccelerationen är 10 m/s² ^. Bestäm den maximala höjden.

Känd:

Den initiala hastigheten (v_o) = 20 m/s

Tyngdacceleration (g) = 10 m/ ^s²

Vinkel (θ) = 30 ^°

Önskad : Maximal höjd

lösning:

Först, hitta den vertikala komponenten av den initiala hastigheten (v _oy ):

v _oy = v _o sin 30 ^o = (20)(sin 30 ^o ) = (20)(0.5) = 10 m/s

Beräkna den maximala höjden. Välj uppåtgående riktning som positiv och nedåtgående riktning som negativ.

Känd:

Tyngdacceleration (g) = -10 m/s² ⁽ nedåtgående riktning , negativ )

Den vertikala komponenten av initialhastigheten (voy ₎ = 10 m/s ( uppåtgående riktning, positiv )

Hastighet vid maximal höjd (v _ty ) = 0

Önskad: Maximal höjd (h)

lösning:

vt² = _v² + ^2gh_​^​

0 ² = 10 ² + 2 (-10) timmar

0 = 100 – 20 timmar

100 = 20 timmar

h = 100 / 20

h = 5 meter

Maximal höjd är 5 meter.

6. Ett föremål kastas med en viss höjdvinkel. Föremålets höjd är densamma efter 1 sekund och 3 sekunder. Bestäm tiden i luften.

A. 3.6 s

B. 4.0 s

Ca 5.6 sekunder

D. 6.4 sekunder

Lösning

Tid i luft = 4 sekunder.

Rätt svar är B.

7. Ett flygplan rör sig horisontellt med en hastighet av 50 m/s. När flygplanet är på en höjd av 2 km kan ett föremål fritt falla från flygplanet. Bestäm vilken typ av rörelse det rör sig om.

A. Fritt fall

B. Flytande rörelse

C. Horisontell rörelse

D. Projektilrörelse

lösning:

Föremålet släpps från det rörliga planet eftersom det har samma hastighet som planets hastighet, det vill säga 50 m/s. Föremåls rörelse är inte som fritt fallande rörelse utan som parabolisk rörelse. Fallet är detsamma som att släppa föremål inifrån en bil i rörelse.

Det rätta svaret är D.

8. En boll kastas horisontellt med 15 m/s från en 60 meter hög klippa. Hur lång tid tar det för den att träffa marken?
Lösning: Med hjälp av (h = \frac{1}{2}gt^2 \) finner vi att tiden är (t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 3.5 \text{s} \).

9. En projektil avfyras i en vinkel på 30° över horisontalplanet med en initialhastighet på 20 m/s. Vilken är den maximala höjden som uppnås?
Lösning: Med hjälp av (h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \) är den maximala höjden (h \approx 10.2 \text{m} \).

10. En sten kastas horisontellt med 10 m/s från ett torn som är 80 meter högt. Beräkna den horisontella sträckan den färdas innan den träffar marken.
Lösning: Med tiden funnen på ett liknande sätt som i problem 1 är det horisontella avståndet (d = vt, ungefär 40 m).

11. En kanonkula avfyras med 40 m/s i en vinkel på 45°. Beräkna flygtiden.
Lösning: Med hjälp av (t = \frac{2v \sin \theta}{g} \) är flygtiden (t \approx 5.8 \text{s} \).

12. En baseboll kastas i en vinkel på 60° med en hastighet på 12 m/s. Beräkna det horisontella avståndet.
Lösning: Med hjälp av (R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \) är intervallet (R \approx 14.0 \text{m} \).

13. En projektil avfyras med en initialhastighet på 50 m/s vid 37° över horisontalplanet. Vad är den vertikala hastighetskomponenten?
Lösning: Den vertikala komponenten är (v_y = v \sin \theta \approx 30 \text{m/s}).

14. En projektil avfyras horisontellt med 20 m/s från en höjd av 100 meter. Vad är den vertikala hastigheten precis innan den träffar marken?
Lösning: Med hjälp av \(v_y = \sqrt{2gh} \) är den vertikala hastigheten \(v_y \approx 44.7 \text{m/s} \).

15. En sten kastas i en vinkel på 25° över horisontalplanet med en initialhastighet på 15 m/s. Vilka är de horisontella och vertikala komponenterna av hastigheten?
Lösning: Den horisontella komponenten är (v_x = v \cos \theta \approx 13.4 \text{m/s} \) och den vertikala komponenten är (v_y \approx 6.4 \text{m/s} \).

16. En fotboll sparkas med en initialhastighet på 30 m/s i en vinkel på 40° över horisontalplanet. Vad är dess horisontella hastighetskomponent?
Lösning: Den horisontella komponenten är (v_x = v\cos ≤ 22.9 m/s).

17. En golfboll slås med en initialhastighet på 70 m/s i en vinkel på 20°. Vilken är flygtiden?
Lösning: Med hjälp av flygtidsekvationen är tiden (t = 4.9 s).

18. En projektil avfyras från marken med en hastighet av 25 m/s vid 53° över horisontalplanet. Vad är dess initiala vertikala hastighetskomponent?
Lösning: Den vertikala komponenten är (v_y = v \sin \theta \approx 20 \text{m/s}).

19. En baseboll kastas med en initialhastighet på 20 m/s i en vinkel på 50°. Vilken är den maximala höjden?
Lösning: Med ekvationen för maximal höjd är höjden (h = 15.3 m).

20. En kula avfyras horisontellt med en hastighet av 200 m/s från en höjd av 10 meter. Hur lång tid tar det för den att träffa marken?
Lösning: Med hjälp av tidsekvationen är tiden (t = 1.4 s).

21. En kanonkula avfyras med 45 m/s i en vinkel på 30°. Bestäm avståndet.
Lösning: Med hjälp av intervallekvationen är intervallet \( R \approx 88.2 \ \text{m} \).

22. En basketboll kastas i en vinkel på 75° med en hastighet på 10 m/s. Beräkna det horisontella avståndet.
Lösning: Med hjälp av intervallekvationen är intervallet \( R \approx 5.3 \ \text{m} \).

23. En projektil avfyras med en initialhastighet på 30 m/s vid 22° över horisontalplanet. Vad är den vertikala hastigheten precis innan den träffar marken?
Lösning: Med hjälp av ekvationen för vertikal hastighet är den vertikala hastigheten (v_y = 11.4 m/s).

24. En sten kastas horisontellt med 8 m/s från ett 40 meter högt torn. Hur långt är den horisontella sträckan den färdas?
Lösning: Med hjälp av ekvationen för horisontellt avstånd är avståndet (d = 16 m).

25. En fotboll sparkas med en initialhastighet på 12 m/s i en vinkel på 30° över horisontalplanet. Vilka är de horisontella och vertikala komponenterna av hastigheten?
Lösning: Den horisontella komponenten är (v_x = 10.4 m/s) och den vertikala komponenten är (v_y = 6 m/s).

26. En golfboll slås med en initialhastighet på 50 m/s i en vinkel på 15°. Vilken är flygtiden?
Lösning: Med hjälp av flygtidsekvationen är tiden (t = 2.6 s).

27. En projektil avfyras från marken med en hastighet av 40 m/s vid 60° över horisontalplanet. Vad är dess initiala horisontella hastighetskomponent?
Lösning: Den horisontella komponenten är (v_x = v\cos ≤ 20 m/s).