Exempelfrågor om rotationsdynamik

11 exempel på rotationsdynamikfrågor

Stilens ögonblick

1. En mycket lätt stav, 140 cm lång. Tre krafter verkar på staven, F1 ₌ 20 Newton, _F2 = 10 N och F3 ₌ 40 N, var och en med den riktning och det läge som visas i figuren. Storleken på det kraftmoment som får staven att rotera kring sin masscentrum är...

A. 40 Nm

B. 39 Nm

C. 28 Nm

D. 14 Nm

E. 3 Nm

Diskussion

Det är känt att:

Stångens masscentrum ligger i mitten av stången.

Stångens längd (l) = 140 cm = 1,4 meter

Kraft 1 (F1 ₎ = 20 N, kraftarm 1 (l1 ₎ = 70 cm = 0,7 meter

Kraft 2 (F2 ₎ = 10 N, kraftarm 2 (l2 ₎ = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0,3 meter

Kraft 3 (F3 ₎ = 40 N, kraftarm 3 (l3 ₎ = 70 cm = 0,7 meter

Fråga: Storleken på det kraftmoment som får stången att rotera kring sin masscentrum

Jawab:

Kraftmoment 1 får stången att rotera medurs. Därför är kraftmoment 1 negativt.

τ³ ₌ F³ _{l³ = (20 N )} (0,7 m ) = -14 Nm

Kraftmoment 2 får stången att rotera moturs. Därför är kraftmoment 2 positivt.

τ² ₌ F² _{l² = (10 N )} (0,3 m ) = 3 Nm

Kraftmoment 3 får stången att rotera medurs. Därför är kraftmoment 3 negativt.

τ³ ₌ F³ _{l³ = (40 N )} (0,7 m ) = -28 Nm

Resulterande kraftmoment:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

Kraftmomentets storlek är 39 Newtonmeter. Minustecknet betyder att stången roterar moturs.

Det rätta svaret är B.

2. Stången AB, vars massa ignoreras, placeras horisontellt och påverkas av tre krafter som visas i figuren. Det resulterande kraftmomentet som verkar på stången när den roteras kring axeln vid D är… (sin 53 ^o = 0,8)

A. 2,4 Nm

B. 2,6 Nm

C. 3,0 Nm

D. 3,2 Nm

E. 3,4 Nm

Diskussion

Det är känt att :

Rotationsaxeln eller pivotaxeln är belägen vid punkt D.

F ₁ = 10 N och l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm)(sin 53 ^o ) = (0,4 m)(0,8) = 0,32 meter

F ₂ = 10√2 N och l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm)(sin 45 ^o ) = (0,2 m)(0,5√2) = 0,1√2 meter

F ₃ = 20 N och l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm)(sin 90 ^o ) = (0,1 m)(1) = 0,1 meter

Frågade : Resulterande kraftmoment

Svar :

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N) (0,32 m) = 3,2 Nm

(positivt eftersom detta kraftmoment får blocket att rotera moturs)

τ ₁ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0,1√2 m) = -2 Nm

(negativt eftersom detta kraftmoment får blocket att rotera medurs)

τ ₁ = F ₂ l ₂ = (20 N) (0,1 m) = 2 Nm

(positivt eftersom detta kraftmoment får blocket att rotera moturs)

Resulterande kraftmoment:

Στ = _τ1 – _τ1 + _τ3

Στ = 3,2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3,2 Nm

Det rätta svaret är D.

3. Stången AB, vars massa ignoreras, placeras horisontellt och påverkas av tre krafter som visas i figuren. Det resulterande kraftmomentet som verkar på stången när den roteras kring axeln vid D är… (sin 53 ^o = 0,8)

A. 2,4 Nm

B. 2,6 Nm

C. 3,0 Nm

D. 3,2 Nm

E. 3,4 Nm

Diskussion

Det är känt att :

Rotationsaxeln är belägen vid D.

Avståndet mellan F1 _och rotationsaxeln (rAD ₎ = 40 cm = 0,4 m

Avståndet mellan F2 _och rotationsaxeln (rBD ₎ = 20 cm = 0,2 m

Avståndet mellan F3 _och rotationsaxeln (rCD ₎ = 10 cm = 0,1 m

F² = ₁₀ Newton

F² = 10√² _Newton

F² = ₂₀ Newton

Sinus 53 ^o = 0,8

Fråga : Resulterande kraftmoment om stången roteras kring axeln vid D

Svar :

Beräkna kraftmomentet som produceras av varje kraft.

Kraftmoment 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0,4 m)(0,8) = 3,2 Nm

Kraftmomentet 1 är positivt eftersom stångens rotationsriktning orsakad av kraftmomentet 1 är moturs.

Kraftmoment 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0,2 m)(0,5√2) = -2 Nm

Kraftmoment 2 är negativt eftersom stångens rotationsriktning orsakad av kraftmoment 2 är i samma riktning som klockvisarnas rotation.

Kraftmoment 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0,1 m)(1) = 2 Nm

Kraftmomentet 3 är positivt eftersom stångens rotationsriktning orsakad av kraftmomentet 3 är moturs.

Resulterande kraftmoment

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3,2 – 2 + 2

Στ = 3,2 Newtonmeter

Det rätta svaret är D.

Tröghetsmoment

4. Betrakta bilden av två bollar sammankopplade med en tråd. Trådens längd = 12 m, l1 ₌ 4 m och trådens massa ignoreras, så storleken på systemets tröghetsmoment är…

A. 52,6 kg/m²

B. 41,6 kg ^m²

Ca 34,6 kg ^m²

D. 22,4 kg ^m²

E. 20,4 kg ^m²

Diskussion

Det är känt att :

Massa av boll A (m _A ) = 0,2 kg

Massa av boll B (mB ₎ = 0,6 kg

Avståndet mellan kula A och rotationsaxeln (r _A ) = 4 meter

Avståndet mellan kula B och rotationsaxeln (r²B ₎ = 12 – 4 = 8 meter

Fråga : Systemets tröghetsmoment (I)

Svar :

Tröghetsmoment för kula A

I _A = (m _A )(r _A2 ) = (0,2)(4) ^{2 =} (0,2)(16) = 3,2 kg m ²

Tröghetsmomentet för kula B

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0,6)(8) ² = (0,6)(64) = 38,4 kg m ²

Tröghetsmoment för ett partikelsystem :

I = I _A + I _B = 3,2 + 38,4 = 41,6 kg m ²

Det rätta svaret är B.

Newtons andra lag om rotationsrörelse

5. Titta på bilden av ett homogent, massivt hjul på sidan. Ett snöre lindas runt hjulets kant och sedan dras änden av snöret med en kraft F på 6 N. Om hjulets massa är 5 kg och dess radie är 20 cm, är hjulets vinkelacceleration…

A. 0,12 rad/s^-2

B. 1,2 rad ^s⁻²

C. 3,0 rad ^s⁻²

D. 6,0 rad ^s⁻²

E. 12,0 rad ^s⁻²

Diskussion

Det är känt att:

Dragkraft (F) = 6 Newton

Hjulmassa (M) = 5 kg

Hjulradie (R) = 20 cm = 20/100 m = 0,2 m

Fråga: Hjulets vinkelacceleration (α)

Jawab:

Beräkna kraftmomentet:

τ = FR = (6 Newton)(0,2 meter) = 1,2 Newtonmeter

Beräkna tröghetsmomentet:

Formeln för tröghetsmomentet för ett massivt hjul i form av en skiva eller platta är 1/2 MR ² = 1/2 (5 kg)(0,2 m) ² = 1/2 (5 kg)(0,04 m ² ) = 1/2 (0,2) = 0,1 kg m ².

Beräkna vinkelaccelerationen med hjälp av rotationsdynamikformeln:

τ = Iα

a = τ/I = 1,2/0,1 = 12 rad s ^-2

Det rätta svaret är E.

6. En solid skivremskiva med en massa på 8 kg och en radie på 10 cm är lindad runt kanten av ett rep med en last på 4 kg bunden i ena änden (g = 10 ms ^-2 ). Accelerationen av lastens nedåtgående rörelse är...

A. 2,5 ms ^–2

B. 5,0 ms ^–2

C. 10,0 ms ^–2

D. 20,0 ms ^–2

E. 33,3 ms ^–2

Diskussion

Det är känt att:

Massa av solid skivremskiva (m) = 8 kg

Radie för solid skivremskiva (r) = 10 cm = 0,1 meter

Lastens massa (m) = 4 kg

Tyngdacceleration (g) = 10 m/ ^s²

Lastens vikt (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 Newton

Fråga: Acceleration av lastens nedåtgående rörelse

Jawab:

Beräkna tröghetsmomentet för en solid skiva:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 kg)(0,1 m) ² = (4 kg)(0,01 m ² ) = 0,04 kg m ²

Beräkna kraftmomentet:

τ = F r = (40 N) (0,1 m) = 4 Nm

Beräkna vinkelaccelerationen med hjälp av Newtons andra lagformel för rotationsrörelse:

Στ = Iα

4 = 0,04 α

α = 4 / 0,04 = 100

Beräkna accelerationen av lastens nedåtgående rörelse:

a = r α = (0,1)(100) = 10 m/s ²

Det rätta svaret är C.

7. En solid remskiva med massa (M) och radie (R) som visas på bilden! Ena änden av ett masslöst rep är lindat runt remskivan, den andra änden av repet hängs med en last på m kg, remskivans vinkelacceleration (α) om lasten släpps. Om en bit plasticine A med en massa på 1⁄2 M är fäst vid remskivan, för att producera samma vinkelacceleration måste lasten göras…. (I remskiva = 1/2 MR ² )

A. 3/4 m kg

B. 3/2 m kg

C. 2 miljoner kg

D. 3 miljoner kg

E. 4 miljoner kg

Diskussion

Det är känt att :

lastens massa = m

Lastvikt = w = mg

Massa av solid remskiva = M

Radie av solid remskiva = R

Remskivans vinkelacceleration = α

Frågade :

Om remskivans massa ökar till M + M/2 = 3M/2 och remskivans vinkelacceleration = α, vad är lastens massa?

Svar :

Tröghetsmoment för remskiva utan plasticine:

I = 1/2 MR² ⁼ 0,5 ^MR²

Tröghetsmoment för remskiva + plasticin:

I = 1/2 (3M/2) R2 ⁼ (3M/4) R2 ⁼ 0,75M ^R2

Kraftmoment:

τ = FR

Newtons andra lag om rotationsrörelse:

Στ = Iα

w R = I α

mg R = Iα

α = mg R / I

För att producera samma vinkelacceleration måste lastens massa göras….. Ersätt α i ekvation 2 med α i ekvation 1:

Det rätta svaret är B.

8. En remskiva gjord av ett massivt föremål med ett rep lindat runt dess utsida visas som visas i figuren. Remskivans friktion med repet och friktionen vid dess rotationsaxel försummas. Om lasten rör sig nedåt med en konstant acceleration a ms ^-2 , är värdet på remskivans tröghetsmoment lika med….

A. I = ταR

B. I = τα ^- 1R

C. I = τ a R

D. I = τ a ^-1 R ^-1

E. I = τ a R ^-1

Diskussion

Det är känt att:

Kraft = w = mg

Kraftarm = R

Vinkelacceleration = α

Lastacceleration = a ms ^-2

Fråga: Tröghetsmomentet för remskivan (I)

Jawab:

Sambandet mellan linjär acceleration och vinkelacceleration:

a = Rα

α = a / R

Tröghetsmomentet beräknas med hjälp av formeln:

τ = Iα

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

Det finns inget rätt svar.

9. En remskiva gjord av ett massivt föremål med ett rep lindat runt dess utsida visas som visas i figuren. Remskivans friktion försummas. Om remskivans tröghetsmoment I = β och repet dras med en konstant kraft F, då är värdet på F lika med….

A. F = α.β.R

B. ^F = α.β2.R

C. F = α.(β.R) ^-1

D. F = α.β.(R) ^-1

E. F = R. (α. β) ^-1

Diskussion

Det är känt att:

Dragkraft = F

Tröghetsmoment för remskiva = β

Remskivans vinkelacceleration = α

Remskivans radie = R

Fråga: Värdet på F är ekvivalent med….

Jawab:

Newtons andra lag om rotationsrörelse:

Στ = β α ———- Ekvation 1

Formelbeskrivning:

Στ = Resulterande kraftmoment (vridmoment)

β = Tröghetsmoment

α = Vinkelacceleration

Resulterande kraftmoment som verkar på remskivan:

Στ = FR ———-> Ekvation 2

Formelbeskrivning:

F = dragkraft

R = Avstånd från kraftens F verkningspunkt till rotationsaxeln = remskivans radie

Ersätt Στ i ekvation 1 med Στ i ekvation 2:

Στ = β . α

F. R = β. α

F = (β . α) / R

F = β . α . (R ^-1 )

Det rätta svaret är D.

Vinkelmoment

10. En partikel med massan 0,2 gram rör sig i en cirkel med en konstant vinkelhastighet på 10 rad s⁻¹ ^. Om partikelns banradie är 3 cm, är partikelns rörelsemängdsmoment...

^A. 3 × ^10–7 kg ^m² s⁻¹

B. 9 ^{× 10–7} kg ^m² s⁻¹

C. 1,6 ^{× 10–6} kg ^m² s⁻¹

D. 1,8 ^{× 10–4} kg ^m² s⁻¹

^E. 4,5 × ^10–3 kg ^m² s⁻¹

Diskussion

Det är känt att:

Partikelmassa (m) = 0,2 gram = 2 x ^10⁻⁴ kg

Vinkelhastighet (ω) = 10 rad ^s⁻¹

Partikelbanans radie (r) = 3 cm = 3 x ^10⁻² meter

Frågat: Partikelns vinkelmoment

Jawab:

Formel för vinkelmoment:

L = I ω

Beskrivning: I = rörelsemängdsmoment, I = tröghetsmoment, ω = vinkelhastighet

Partikelns tröghetsmoment:

I = mr² ⁼ (2 x ^10⁻⁴ )(3 x ^10⁻² ) ^² = (2 x ^10⁻⁴ )(9 x ^10⁻⁴ ) = 18 x ^10⁻⁶

Vinkelmomentet är:

L = I ω = (18 x ^{10⁻⁶ )} (10 rad ^s⁻¹ ) = 18 x ^10⁻⁶ kg ^m² s⁻¹

Det finns inget rätt svar.

11. En dansare snurrar med utsträckta armar till en längd av 160 cm. Sedan är hennes armar vikta till en längd av 80 cm vid armbågarna. Om dansarens vinkelhastighet förblir konstant, då är hennes linjära rörelsemängd...

A. fortfarande

B. blir halva den ursprungliga storleken

C. blir 3/4 av den ursprungliga storleken

D. blir dubbelt så stor som originalet

E. blir 4 gånger originalet

Diskussion

Det är känt att:

Radie 1 (r1 ₎ = 160 cm

Radie 2 (r2 ₎ = 80 cm

Vinkelhastighet 1 (ω1 ₎ = ω

Vinkelhastighet 1 (ω2 ₎ = ω

Frågat: Linjärt momentum

Jawab:

Linjär hastighet 1:

v² = r² _ω² = (160 cm _{) ω}

Linjär hastighet 2:

v² = r² _ω² = (80 cm _{) ω}

Linjärt momentum 1:

p = mv² ₌ m (160 cm) ω

Linjärt momentum 2:

p = mv² ₌ m (80 cm) ω

Så blir det linjära momentumet 1/2 gånger det ursprungliga.

Det rätta svaret är B.

Frågekälla:

Nationella fysikfrågor för gymnasiet/yrkesgymnasiet