Rotačný pohyb – problémy a riešenia

Krútiaci moment

1. Nosník s dĺžkou 140 cm. Na nosník pôsobia tri sily: F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N a F3 ₌ 40 N so smerom a polohou znázornenými na obrázku nižšie. Aký krútiaci moment spôsobuje, že sa nosník otáča okolo ťažiska nosníka?

Známe: Rotačný pohyb – problémy a riešenia 1

Ťažisko sa nachádza v strede lúča.

Dĺžka nosníka (d) = 140 cm = 1.4 metra

Sila 1 (F1 ₎ = 20 N, rameno páky 1 (l1 ₎ = 70 cm = 0.7 metra

Sila 2 (F2 ₎ = 10 N, rameno páky 2 (l2 ₎ = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 metra

Sila 3 (F3 ₎ = 40 N, rameno páky 3 (l3 ₎ = 70 cm = 0.7 metra

Hľadaná hodnota: Veľkosť krútiaceho momentu

riešenie:

Krútiaci moment 1 otáča nosník v smere hodinových ručičiek, takže krútiacemu momentu 1 bolo priradené záporné znamienko.

τ1 ₌ F1l1 = ( ₂₀ N)(0.7 m ₎ = -14 Nm

Krútiaci moment 2 otáča nosník proti smeru hodinových ručičiek, čím sa krútiacemu momentu 2 priradí kladné znamienko.

τ² ₌ F² _{l² = (10 N}₎ (0.3 m) = 3 N m

Krútiaci moment 3 otáča nosník v smere hodinových ručičiek, takže krútiacemu momentu 3 je priradené kladné znamienko.

τ³ = F³ _l³₌ (40 N)(0.7 m) = -28 Nm

Čistý krútiaci moment:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

Veľkosť krútiaceho momentu je 39 N m. Smer otáčania nosníka je v smere hodinových ručičiek, preto mu je priradené záporné znamienko.

2. Aký je čistý krútiaci moment pôsobiaci na nosník? Os otáčania v bode D. (sin 53 ^o = 0.8)

Známe:

Os otáčania v bode D Rotačný pohyb – problémy a riešenia 2

F ₁ = 10 N a _{1 1} = r ₁ sin θ = (40 cm) (sin 53 ^o ) = (0.4 m) (0.8) = 0.32 metra

F2 = 10√2 N a l2 ₌_r2 sin _θ = (20 cm) (sin 45 ^o ) = (0.2 m) (0.5√2) = 0.1√2 metre

F ₃ = 20 N a l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm) (sin 90 ^o ) = (0.1 m) (1) = 0.1 metra

Hľadaný: Čistý krútiaci moment

riešenie:

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N) (0.32 m) = 3.2 Nm

(Krútiaci moment 1 otáča nosník proti smeru hodinových ručičiek, takže krútiacemu momentu 1 priradíme kladné znamienko)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(Krútiaci moment 2 otáča nosník v smere hodinových ručičiek, takže krútiacemu momentu 2 priradíme záporné znamienko)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N) (0.1 m) = 2 Nm

(Krútiaci moment 3 otáča nosník proti smeru hodinových ručičiek, takže krútiacemu momentu 3 priradíme kladné znamienko)

Čistý krútiaci moment:

Στ = _τ1 – _τ1 + _τ3

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Aký je čistý krútiaci moment, ak je os otáčania v bode D (sin 53 ^o = 0.8)?

Známe:

Os otáčania v bode D. Rotačný pohyb – problémy a riešenia 3

Vzdialenosť medzi F1 _a osou otáčania (rAD ₎ = 40 cm = 0.4 m

Vzdialenosť medzi F2 _a osou otáčania (rBD ₎ = 20 cm = 0.2 m

Vzdialenosť medzi F3 _a osou otáčania (rCD ₎ = 10 cm = 0.1 m

F1 = ₁₀ Newtonov

F² = _10√² Newtonov

F ₃ = 20 Newtonov

Sin 53 ^o = 0.8

Hľadaný: Čistý krútiaci moment

riešenie:

Moment sily 1

Στ ₁ = (F ₁ ) (r _AD sin 53 ^o ) = (10 N) (0.4 m) (0.8) = 3.2 Nm

(Krútiaci moment 1 otáča nosník proti smeru hodinových ručičiek, takže krútiacemu momentu 1 priradíme kladné znamienko)

Moment sily 2

Στ ₂ = (F ₂ ) (r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N) (0.2 m) (0.5√2) = -2 Nm

(Krútiaci moment 2 otáča nosník v smere hodinových ručičiek, takže krútiacemu momentu 2 priradíme záporné znamienko)

Moment sily 3

Στ ₃ = (F ₃ ) (r _CD sin 90 ^o ) = (20 N) (0.1 m) (1) = 2 Nm

(Krútiaci moment 2 otáča nosník proti smeru hodinových ručičiek, takže krútiacemu momentu 3 priradíme kladné znamienko)

Čistý krútiaci moment:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 Newton metrov

Moment zotrvačnosti

4. Dĺžka drôtu = 12 m, l ₁ = 4 m. Hmotnosť drôtu zanedbajte. Aký je moment zotrvačnosti sústavy?

Známe: Rotačný pohyb – problémy a riešenia 4

Hmotnosť A (m _A ) = 0.2 kg

Hmotnosť B (m _B ) = 0.6 kg

Vzdialenosť medzi bodom A a osou otáčania (r _A ) = 4 metre

Vzdialenosť medzi B a osou otáčania (r _B ) = 12 – 4 = 8 metrov

Hľadaný moment zotrvačnosti systému

riešenie:

Moment zotrvačnosti A

I _A = (m _A ) (r _A² ) = (0.2) (4) ² = (0.2) (16) = 3.2 kg m ²

Moment zotrvačnosti B

I _B = (m _B )(r _B² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

Moment zotrvačnosti systému:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg m ²

Rotačná dynamika

5. Na šnúru omotanú okolo kladky s hmotnosťou M = 5 kg a polomerom R = 20 cm pôsobí sila 6 N. Aké je uhlové zrýchlenie kladky? Kladka je rovnomerný plný valec.

Známe:

Sila (F) = 6 Newtonov

Hmotnosť (M) = 5 kg

Polomer (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Hľadané: Uhlové zrýchlenie (α)

riešenie:

Moment sily:

τ = FR = (6 Newtonov) (0.2 metra) = 1.2 N m

Moment zotrvačnosti pre plný valec:

I = 1/2 ^MR2

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m) ^²

I = 1/2 (5 kg)(0.04 ^m² )

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg ^m².

Uhlové zrýchlenie:

τ = Iα

a = τ/I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s ^-2

6. Blok s hmotnosťou = 4 kg visí na šnúre omotanej okolo kladky s hmotnosťou = 8 kg a polomerom R = 10 cm. Tiažové zrýchlenie je 10 ms ^-2 . Aké je lineárne zrýchlenie bloku? Kladka je rovnomerný plný valec.

Známe:

Hmotnosť kladky (m) = 8 kg

Polomer kladky (r) = 10 cm = 0.1 m

Hmotnosť bloku (m) = 4 kg

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 m/ ^s²

Hmotnosť (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 Newtonov

Hľadá sa: Zrýchlenie voľného pádu bloku

riešenie:

Moment zotrvačnosti plného valca:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 kg)(0.1 m) ² = (4 kg)(0.01 m² ⁾ = 0.04 kg ^m²

Moment sily:

τ = F r = (40 N) (0.1 m) = 4 Nm

Uhlové zrýchlenie:

Στ = Iα

4 = 0.04α

α = 4 / 0.04 = 100

Lineárne zrýchlenie:

a = r a = (0.1) (100) = 10 m/s ²

7. Blok s hmotnosťou m visí na šnúre omotanej okolo kladky. Ak je zrýchlenie voľného pádu bloku am/s² ^, aký je moment zotrvačnosti kladky?

Známe:

hmotnosť = w = mg Rotačný pohyb – problémy a riešenia 6

Rameno páky = R

Uhlové zrýchlenie = α

Zrýchlenie voľného pádu bloku = a ms ^-2

Hľadaný moment zotrvačnosti kladky (I)

riešenie:

Súvislosť medzi lineárnym zrýchlením a uhlovým zrýchlením:

a = Rα

α = a / R

Moment zotrvačnosti:

τ = Iα

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

Moment hybnosti

8. Častica s hmotnosťou 0.2 gramu sa pohybuje po kružnici konštantnou rýchlosťou 10 m/s. Polomer kružnice je 3 cm. Aký je moment hybnosti častice?

Známe:

Hmotnosť častice (m) = 0.2 gramu = 2 x ^10⁻⁴ kg

Uhlová rýchlosť (ω) = 10 rad s ^-1

Polomer (r) = 3 cm = 3 x ^10⁻² metrov

Hľadaný: moment hybnosti častice

riešenie:

Rovnica momentu hybnosti:

L = Iω

I = moment hybnosti, I = moment zotrvačnosti, ω = uhlová rýchlosť

Moment zotrvačnosti (pre častice):

I = mr² ⁼ (2 x 10⁻⁴ ⁾ (3 x ^10⁻² ) ^² = (2 x ^10⁻⁴ )(9 x ^10⁻⁴ ) = 18 x ^10⁻⁴

Moment hybnosti:

L = I ω = (18 x ^10⁻⁴⁾ (10 rad ^s⁻¹ ) = 18 x ^10⁻⁷ kg ^m² s⁻¹

Čo je to rotačný pohyb?
- OdpoveďRotačný pohyb označuje pohyb objektu okolo pevnej osi. Je to druh pohybu, pri ktorom sa každý bod objektu pohybuje po kružnici okolo osi.
Aký je vzťah lineárnej rýchlosti k uhlovej rýchlosti pri rotačnom pohybe?
- OdpoveďLineárna rýchlosť ( $v$ ) bodu v rotujúcom objekte je priamo úmerná jeho vzdialenosti ( $r$ ) od osi otáčania a uhlovej rýchlosti ( $ω$ ) objektu. Vzťah je daný vzťahom $v = r \cdot ω$ .
Čo je moment zotrvačnosti a ako súvisí s rotačným pohybom?
- OdpoveďMoment zotrvačnosti je rotačná analógia hmotnosti pri lineárnom pohybe. Meria odpor objektu voči zmenám jeho rotačného stavu. Moment zotrvačnosti závisí od hmotnosti objektu aj od jej rozloženia vzhľadom na os otáčania.
Ako sa Newtonov prvý pohybový zákon vzťahuje na rotačný pohyb?
- OdpoveďTak ako objekt v lineárnom pohybe zostáva v pohybe, pokiaľ naň nepôsobí vonkajšia sila, aj objekt v rotačnom pohybe zostane v tomto stave, pokiaľ naň nepôsobí vonkajší krútiaci moment.
Aký je význam polomeru gyrácie?
- OdpoveďPolomer gyrácie poskytuje mieru rozloženia hmotnosti objektu od jeho osi otáčania. V podstate opisuje, ako ďaleko od osi by musela byť všetka hmotnosť objektu sústredená, aby mal rovnaký moment zotrvačnosti ako pôvodné rozloženie.
Čo je to moment hybnosti a ako sa zachováva?
- OdpoveďMoment hybnosti je rotačný ekvivalent lineárneho momentu hybnosti. Je to súčin momentu zotrvačnosti objektu a jeho uhlovej rýchlosti. V uzavretom systéme zostáva celkový moment hybnosti konštantný, pokiaľ naň nepôsobí vonkajší krútiaci moment, čo zdôrazňuje zákon zachovania momentu hybnosti.
Ako krútiaci moment ovplyvňuje rotačný pohyb?
- OdpoveďKrútiaci moment je rotačný ekvivalent sily. Spôsobuje zmeny v rotačnom pohybe objektu. Vzťah je daný druhým Newtonovým zákonom pre rotáciu: $τ = I \cdot α$ , Kde $τ$ je krútiaci moment, $I$ je moment zotrvačnosti a $α$ je uhlové zrýchlenie.
Ako sa líši ťažisko od stredu otáčania?
- OdpoveďAj keď sa môžu zhodovať, ťažisko je bod, kde sa dá predpokladať, že je sústredená celá hmotnosť objektu na účely výpočtov v lineárnom pohybe, zatiaľ čo stred otáčania je bod (alebo os), okolo ktorého sa objekt otáča.
Aká je úloha dostredivej sily pri rotačnom pohybe?
- OdpoveďDostredivá sila je výsledná sila pôsobiaca na objekt pohybujúci sa po kruhovej dráhe smerom do stredu otáčania. Je zodpovedná za udržanie objektu v jeho zakrivenej dráhe a za zabránenie jeho pohybu v priamke v dôsledku zotrvačnosti.
Ako súvisí rotačná kinetická energia s momentom zotrvačnosti a uhlovou rýchlosťou?
- OdpoveďRotačná kinetická energia je energia spôsobená rotáciou objektu okolo osi. Je daná vzorcom: $K E_{ro t a t i o na l} = 1/2 I ω^{2}$ , Kde $I$ je moment zotrvačnosti a $ω$ je uhlová rýchlosť.