Moment zotrvačnosti častíc – problémy a riešenia

Moment zotrvačnosti častíc – problémy a riešenia

1. Dve gule spojené tyčou, ako je znázornené na obrázku nižšie. Zanedbajte hmotnosť tyče . Hmotnosť gule P je 600 gramov a hmotnosť gule Q je 400 gramov. Aký je moment zotrvačnosti sústavy okolo osi AB?

Známe:

Os otáčania je AB.

m _p = 600 gramov = 0.6 kg, m _q = 400 gramov = 0.4 kg

rp = 20 cm = 0.2 m, _{rq =} 50 cm = 0.5 m

Hľadaný moment zotrvačnosti systému

riešenie:

I _{= mp_r_p²} + m_q_r_q²_​^​_​​^​

I = (0.6 kg)(0.2 m) ^² + (0.4 kg)(0.5 m) ^²

I = (0.6 kg)(0.04 m² ⁾ + (0.4 kg)(0.25 ^m² )

I = 0.024 kg m² ⁺ 0.1 kg ^m²

I = 0.124 kg ^m²

2. Tyč AB s hmotnosťou 2 kg sa otáča okolo bodu A, moment zotrvačnosti tyče je 8 kg m² ^. Ak sa otáča okolo bodu O (AO = OB), aký je moment zotrvačnosti tyče?

Známe:

Hmotnosť tyče AB (m) = 2 kg

Ak sa otáča okolo bodu A tak, že polomer otáčania (r) = dĺžka AB = r, potom moment zotrvačnosti (I) = 8 kg ^m²

Hľadané: Ak sa tyč otáča okolo bodu O tak, že polomer otáčania (r) = dĺžka AO = dĺžka OB = 1/2 r, aký je moment zotrvačnosti?

riešenie:

Ja = Pán ²

8 kg ^m² = (2 kg) ^r²

8 m² ⁼ (2) ^r²

r² ⁼ 8 m² ^/ ²

r² = ^{4 m²}

r = 2 metre

Ak sa otočí okolo bodu O, takže ½ r = 1 meter, potom moment zotrvačnosti:

I = mr² ⁼ (2 kg)(1 m²) ^² = (2 kg)(1 ^m² ) = 2 kg ^m²

3. Dve gule spojené tyčou, ako je znázornené na obrázku nižšie. Zanedbajte hmotnosť tyče. Aký je moment zotrvačnosti sústavy?

Známe:

Hmotnosť gule A (m_A) = 200 gramov = 0.2 kg

Hmotnosť gule B (m _B ) = 400 gramov = 0.4 kg

Vzdialenosť medzi guľou A a osou otáčania (r _A ) = 0

Vzdialenosť medzi guľou B a osou otáčania (r _B ) = 25 cm = 0.25 m

Hľadaný: Moment zotrvačnosti systému

riešenie:

Moment zotrvačnosti gule A:

IA ₌ (mA ₎ (rA2 ⁾ ₌ (0.2)(0) ² = 0

Moment zotrvačnosti gule B:

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m ²

Moment zotrvačnosti systému:

I = _IA + I _B = 0 + 0.025 = 0.025 kg m² ⁼ 25 x ^10⁻³ kg ^m²

4. Štyri častice s rôznymi hmotnosťami, znázornené na obrázku nižšie. Určte moment zotrvačnosti sústavy okolo vodorovnej priamky P.

Riešenie

Os otáčania je vodorovná čiara P.

Známe:

Hmotnosť častice A (m _A ) = m

Hmotnosť častice B (m _B ) = 2m

Hmotnosť častice C (m _C ) = 3m

Prechod častíc D (m _D ) = 4 m

Vzdialenosť medzi časticou A a osou rotácie (r _A ) = b

Vzdialenosť medzi časticou B a osou rotácie (rB ₎ = b

Vzdialenosť medzi časticou C a osou rotácie (r _C ) = 2b

Vzdialenosť medzi časticou D a osou rotácie (r _D ) = 2b

Hľadá sa: Moment zotrvačnosti systému okolo vodorovnej priamky P

riešenie:

I ⁼ _{mA_ar_A²} + mB_r_B² _{+ mC_r_C²} + mD_r_D²_​^​_​​_​^​​_​​_​^​

I = (m) (b) ² + (2 m) (b) ² + (3 m) (2b) ² + (4 m) (2b) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3 m) (4b ² ) + (4 m) (4b ² )

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

I = 31 ^mb²

5. Štyri častice spojené tyčou. Hmotnosť tyče zanedbajte. Určte moment zotrvačnosti okolo osi otáčania cez častice m1 _a m2 _, ako je znázornené na obrázku nižšie.

známy

Hmotnosť častice 1 (m₁) = 1/4 kg

Hmotnosť častice 2 (m2 ₎ = 1/2 kg

Hmotnosť častice 3 (m3 ₎ = 1/4 kg

Hmotnosť častice 4 (m4 ₎ = 1/4 kg

Vzdialenosť medzi časticou 1 a osou rotácie (r1 ₎ = 0

Vzdialenosť medzi časticou 2 a osou rotácie (r2 ₎ = 0

Vzdialenosť medzi časticou 3 a osou rotácie (r3 ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Vzdialenosť medzi časticou 4 a osou rotácie (r4 ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Hľadaný: Moment zotrvačnosti

riešenie:

^I = _m1r1 / ₂ + _m2r2 / ₂ + _m3r3 ^/ ₂ + m4r4 _/ 2^​​_​

I = (1/4)(0) ^² + (1/2)(0) ^² + (1/4)(1/10) ^² + (1/4)(1/10) ^²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

I = 1/400 + 1/400

I = 2/400

I = 1/200 ^kg.m²

1. Aký je moment zotrvačnosti častice?
   • OdpoveďPre jednu časticu hmoty $m$ na diaľku $r$ od osi otáčania, jeho moment zotrvačnosti $I$ je daný I=m×r².
2. Prečo sa moment zotrvačnosti často označuje ako „rotačný analóg“ hmoty?
   • OdpoveďTak ako je hmotnosť mierou odporu objektu voči zmenám jeho translačného pohybu (vďaka druhému Newtonovmu zákonu), moment zotrvačnosti je mierou odporu objektu voči zmenám jeho rotačného pohybu.
3. Ako zmena vzdialenosti častice od jej osi rotácie ovplyvňuje jej moment zotrvačnosti?
   • OdpoveďMoment zotrvačnosti je úmerný druhej mocnine vzdialenosti od osi otáčania. Ak zdvojnásobíte vzdialenosť, moment zotrvačnosti sa štvornásobne zvýši.
4. Prečo je druhá mocnina vzdialenosti (r²) použitý vo vzorci pre moment zotrvačnosti namiesto len vzdialenosti?
   • OdpoveďDruhá mocnina vzdialenosti sa používa kvôli spôsobu, akým funguje kinetická energia pri rotácii. Pri rotačnom pohybe každá častica objektu prispieva k rotačnej kinetickej energii na základe svojej hmotnosti aj druhej mocniny vzdialenosti od osi.
5. Ako sa zmení moment zotrvačnosti častice, ak sa jej hmotnosť strojnásobí a vzdialenosť od osi zostane konštantná?
   • OdpoveďAk sa hmotnosť strojnásobí a vzdialenosť sa udrží konštantná, moment zotrvačnosti sa tiež strojnásobí, pretože je priamo úmerný hmotnosti.
6. Môže mať častica moment zotrvačnosti nulový? Ak áno, za akých podmienok?
   • OdpoveďÁno, častica bude mať moment zotrvačnosti nulový, ak sa nachádza priamo na osi rotácie, čím sa jej vzdialenosť zníži $r$ od osi rovnej nule.
7. Prečo majú rôzne objekty s rovnakou hmotnosťou a veľkosťou rôzne momenty zotrvačnosti pri otáčaní okolo rôznych osí?
   • OdpoveďRozloženie hmotnosti okolo osi otáčania určuje moment zotrvačnosti. Aj keď dva objekty majú rovnakú hmotnosť a veľkosť, ich rozloženie hmotnosti vzhľadom na os otáčania sa môže líšiť, čo vedie k rôznym momentom zotrvačnosti.
8. Je moment zotrvačnosti skalárna alebo vektorová veličina?
   • OdpoveďMoment zotrvačnosti je skalárna veličina. Pre tuhé telesá so zložitými tvarmi a viacerými osami otáčania je však reprezentovaný tenzorom.
9. Ak sú dve častice, každá s hmotnosťou $m$, sa nachádzajú vo vzdialenostiach r_1​ a r₂​ od osi otáčania, aký je kombinovaný moment zotrvačnosti?
   • OdpoveďMoment zotrvačnosti je aditívny pre jednotlivé častice. Teda kombinovaný moment zotrvačnosti I=m×r₁^{2 ​}+ m×r₂^2​.

10. Aký je vzťah medzi momentom zotrvačnosti a zákonom zachovania momentu hybnosti?

    • OdpoveďMoment hybnosti $L$ je súčin momentu zotrvačnosti $I$ a uhlová rýchlosť $\omega$, reprezentovaný rovnicou $L=I\times \omega$Ak na systém nepôsobia žiadne vonkajšie krútiace momenty, moment hybnosti zostane konštantný. To znamená, že ak sa moment zotrvačnosti zmení (ako napríklad u krasokorčuliara, ktorý si ťahá ruky), uhlová rýchlosť sa musí upraviť, aby sa súčin udržal konštantný.