द्रव गतिकी – समस्या आणि उपाय

द्रव गतिकी – समस्या आणि उपाय

टोरिसेलीचे प्रमेय

खालील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे , एका भांड्यात पाणी भरलेले आहे आणि त्याला एक छिद्र आहे . जर गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण 10 ^ms⁻² असेल , तर त्या छिद्रातून जाणाऱ्या पाण्याचा वेग किती असेल?

ज्ञात :

उंची (h) = ८५ सेमी – ४० सेमी = ४५ सेमी = ०.४५ मीटर

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

हवे आहे : पाण्याचा वेग (v)

उपाय:

टोरिसेलीच्या प्रमेयानुसार, त्याच उंचीवरून मुक्तपणे खाली पडणाऱ्या वस्तूच्या वेगानेच पाणी छिद्रातून बाहेर पडते. उंची (h) = ८५ सेमी – ४० सेमी = ४५ सेमी = ०.४५ मीटर

मुक्त पतन गतीच्या समीकरणाचा वापर करून पाण्याचा वेग मोजला जातो :

v _t ² = 2 gh

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v _t = √9 = 3 m/s

४. खालील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे , एका भांड्यात पाणी भरलेले आहे आणि त्याला एक छिद्र आहे . जर गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण १० मी/से² असेल ^, तर त्या छिद्रातून जाणाऱ्या पाण्याचा वेग किती असेल?

ज्ञात :

उंची (h) = 1.5 मी – 0.25 मी = 1.25 मीटर

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

हवे आहे : पाण्याचा वेग (v)

उपाय:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v _t = √25 = 5 m/s

४. खालील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे , एका भांड्यात पाणी भरलेले आहे आणि त्याला एक छिद्र आहे . जर गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण १० मी/से² असेल ^, तर त्या छिद्रातून जाणाऱ्या पाण्याचा वेग किती असेल?

ज्ञात :

उंची (h) = 1 मी – 0.20 मी = 0.8 मीटर

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

हवे आहे : पाण्याचा वेग (v)

उपाय:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v _t = √16 = 4 m/s

४. खालील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे , एका भांड्यात पाणी भरलेले आहे आणि त्याला एक छिद्र आहे . जर गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण १० मी/से² असेल ^, तर त्या छिद्रातून जाणाऱ्या पाण्याचा वेग किती असेल?

ज्ञात :

उंची (h) = २० सेमी = ०.२ मीटर

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

हवे आहे: पाण्याचा वेग (v)

उपाय:

५. खालील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे , एका भांड्यात पाणी असून त्याला दोन छिद्रे आहेत . _x₁ आणि x₂ _{यांचे} गुणोत्तर काय आहे?

उपाय

छिद्र १ मधून पाणी मुक्तपणे खाली पडण्याचा कालावधी:

h = 1/2 at ²

0.8 = 1/2 (10) t ²

१० = ५ टी ^२

t ² = 0.8 / 5 = 0.16

t = २ सेकंद

छिद्र १ मधून पाणी मुक्तपणे खाली पडण्याचा कालावधी:

h = 1/2 at ²

0.5 = 1/2 (10) t ²

१० = ५ टी ^२

t ² = 0.5 / 5 = 0.1

t = √0.1 सेकंद

आडवे अंतर (x) :

x ₁ = v ₁ t ₁ = (2)(0.4) = 0.8 मीटर

x ₂ = v ₂ t ₂ = (√10)(√0.1) = (10)(0.1) = 1 मीटर

_{x 1} आणि x ₂ यांचे गुणोत्तर :

x _{1 :} x ₂ = 0.8 : 1 = 8 : 10 = 4 : 5

सातत्य समीकरण

6. पाणी वेगवेगळ्या व्यासांच्या पाईपमधून A पासून B आणि नंतर C पर्यंत वाहते. A आणि C चे गुणोत्तर 8 : 3 आहे. जर पाईप A मधील पाण्याचा वेग v असेल, तर पाईप C मधील पाण्याचा वेग किती असेल?

ज्ञात :

A चे क्षेत्रफळ (A_A) = १.१३३

C चे क्षेत्रफळ (A _C ) = 3

पाईप A मधील पाण्याचा वेग (v _A ) = v

पाईप C मधील पाण्याचा वेग (v _C ) हवा आहे.

उपाय:

सातत्याचे समीकरण:

A _A v _A = A _C v _C

८ व्ही = ३ व्ही _सी

v _C = 8/3 v

७. जर १२ सेमी व्यासाच्या पाईपमधील पाण्याचा वेग १० सेमी/सेकंद असेल, तर ८ सेमी व्यासाच्या पाईपमधील पाण्याचा वेग किती असेल?

ज्ञात :

व्यास २ (d ₁ ) = ८ सेमी, त्रिज्या २ (r ₁ ) = ४ सेमी

व्यास २ (d ₂ ) = ८ सेमी, त्रिज्या २ (r ₂ ) = ४ सेमी

पाण्याचा वेग 1 (v ₁ ) = 10 सेमी/से

हवे आहे : पाण्याचा वेग २ ( _v² )

उपाय:

क्षेत्रफळ 1 (A ₁ ) = π r ² = π 6 ² = 36π सेमी ²

क्षेत्रफळ 2 (A ₂ ) = π r ² = π 4 ² = 16π सेमी ²

सातत्याचे समीकरण:

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

(36π)(10) = (16π) v ₂

(36)(10) = (16) v ₂

360 = (16) v ₂

v ₂ = 360/16

v ₂ = 22.5 सेमी/से

8. खालील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे, पाणी वेगवेगळ्या व्यासाच्या पाईपमधून वाहते. जर क्षेत्रफळ 1 (A ₁ ) = 8 cm ² , A ₂ = 2 cm ² आणि पाईप 2 मधील पाण्याचा वेग = v ₂ = 2 m/s असेल, तर पाईप 1 मधील पाण्याचा वेग = v ₁ काय आहे?

ज्ञात :

क्षेत्र १ (अ)₁) = 8 सेमी²

क्षेत्रफळ २ (A ₂ ) = २ सेमी ^२

पाईप २ मधील पाण्याचा वेग (v ₂ ) = २ मी/से

पाईप १ मधील पाण्याचा वेग (v ₁ ) हवा आहे.

उपाय:

सातत्याचे समीकरण:

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

8 v ₁ = (2)(2)

८ वि _१ = ४

v ₁ = 4 / 8 = 0.5 m/s

९. जर मोठ्या पाईपचा व्यास लहान पाईपच्या व्यासाच्या २ पट असेल, तर लहान पाईपमधील द्रवाचा वेग किती असेल?

ज्ञात :

मोठ्या पाईपचा व्यास (d₁) = १.१३३

मोठ्या पाईपची त्रिज्या (r ₁ ) = ½ d ₁ = ½ (2) = 1

मोठ्या पाईपचे क्षेत्रफळ ( A ₁ ) = π r ₁ ² = π (1) ² = π (1) = π

लहान पाईपचा व्यास (d ₂ ) = 1

लहान पाईपची त्रिज्या (r ₂ ) = ½ d ₂ = ½ (1) = ½

लहान पाईपचे क्षेत्रफळ ( A ₂ ) = π r ₂ ² = π (1/2) ² = π (1/4) = ¼ π

_{मोठ्या} पाईपमधील द्रवाचा वेग ( v1 ) = 4 मी/से

लहान पाईपमधील द्रवाचा वेग ( v² ) हवा आहे_.

उपाय:

सातत्याचे समीकरण:

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

π 4 = ¼ π (v ₂ )

4 = ¼ (v ₂ )

v ₂ = 8 m/s

बर्नोलीचे तत्त्व आणि समीकरणे

10. 120 kP कंप्रेसरने पंप केलेले पाणी खालच्या पाईप (1) मध्ये प्रवेश करते आणि 1 m/s च्या वेगाने वर वाहते . गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण 10 m/ s² आहे आणि पाण्याची घनता 1000 kg/m³ ^आहे . वरच्या पाईप (II ) वरील पाण्याचा दाब किती आहे ?

ज्ञात :

खालच्या पाईपची त्रिज्या (r₁) = 12 सेमी

खालच्या पाईपची त्रिज्या (r ₂ ) = 6 सेमी

खालच्या पाईपमधील पाण्याचा दाब (पी ₁ ) = 120 किलोपास्कल = 120,000 पास्कल

खालच्या पाईपमधील पाण्याचा वेग (v ₁ ) = 1 ms ^-1

खालच्या पाईपची उंची (h ₁ ) = 0 मी

वरच्या पाईपची उंची (h ₂ ) = 2 मी

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 ms ^-2

पाण्याची घनता = 1000 kg.m ^-3

पाईप २ (पी _२ ) मधील पाण्याचा दाब हवा आहे.

उपाय:

पाईप २ मधील पाण्याचा वेग सातत्य समीकरणाने मोजला जातो:

पाईप २ मधील पाण्याचा दाब बर्नोली समीकरणाचा वापर करून मोजला जातो:

११. एक मोठा पाईप जमिनीपासून ५ मीटर उंचीवर आणि एक लहान पाईप जमिनीपासून १ मीटर उंचीवर आहे. मोठ्या पाईपमधील पाण्याचा वेग ३६ किमी/तास असून दाब ९.१ x १०⁵ ^{पास्कल} आहे , तर लहान पाईपमधील दाब २.१०⁵ पास्कल आहे ^. लहान पाईपमधील पाण्याचा वेग किती आहे? पाण्याची घनता = १०³ किलोग्रॅम ^/ घनमीटर^.

ज्ञात :

मोठ्या पाईपमधील पाण्याचा दाब (पी₁) = ४ x १०⁵ पास्कल = ९१०,००० पास्कल्स

लहान पाईपमधील पाण्याचा दाब (p ₂ ) = 2 x 10 ⁵ पास्कल्स = 200,000 पास्कल्स

मोठ्या पाईपमधील पाण्याचा वेग (v ₁ ) = 36 किमी/तास = 36(1000)/(3600) = 36000/3600 =10 मी/से

मोठ्या पाईपची उंची (h ₁ ) = -४ मीटर

लहान पाईपची उंची (h ₂ ) = ० मीटर

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 ms ^-2

पाण्याची घनता = १००० किलोग्रॅम/ ^{घनमीटर}

लहान पाईपमधील पाण्याचा वेग (v² ₎ हवा आहे.

उपाय:

लहान पाईपमधील पाण्याचा वेग (v² ₎ बर्नोलीच्या समीकरणाचा वापर करून मोजला जातो:

१२. १५ सेमी त्रिज्येचा एक पाईप ५ सेमी त्रिज्येच्या दुसऱ्या पाईपला जोडलेला आहे . दोन्ही आडव्या स्थितीत आहेत. मोठ्या पाईपमधील पाण्याच्या प्रवाहाचा वेग १ मी/से असून दाब ^१०५ न्यूटन/ मी² आहे . लहान पाईपमधील पाण्याचा दाब (१ ग्रॅम/ ^{सेमी³} ) किती असेल^?

ज्ञात :

मोठ्या पाईपची त्रिज्या (r ₁ ) = 15 सेमी = 0.15 मीटर

लहान पाईपची त्रिज्या (r ₂ ) = 5 सेमी = 0.05 मीटर

मोठ्या पाईपमधील पाण्याचा दाब (p ₁ ) = 10 ⁵ N m ^-2 = 100.000 N m ^-2

मोठ्या पाईपमधील पाण्याचा वेग (v ₁ ) = 1 ms ^-1

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 ms ^-2

पाण्याची घनता = 1 ग्रॅम सेमी⁻³ ⁼ 1000 किलोग्रॅम ^{मीटर⁻³}

उंचीतील फरक (Δh) = 0.

लहान पाईपमधील दाब हवा आहे (पृष्ठ _२ )

उपाय:

पाईप २ मधील पाण्याचा वेग सातत्य समीकरणाचा वापर करून मोजला जातो:

लहान पाईपमधील पाण्याचा दाब (p ₂ ) बर्नोलीच्या समीकरणाचा वापर करून मोजला जातो:

1. द्रव गतिकी म्हणजे काय?
   • उत्तर: द्रव गतिकी ही भौतिकशास्त्राची एक शाखा आहे जी द्रवांच्या (द्रव आणि वायू) गतीचा आणि त्यांच्यावर कार्य करणाऱ्या बलांचा अभ्यास करते. यामध्ये द्रव कसे वाहतात, घन सीमांशी कसे आंतरक्रिया करतात आणि एकमेकांवर कसा परिणाम करतात याचे वर्णन करणारी तत्त्वे आणि समीकरणे समाविष्ट आहेत.
2. स्तरीय आणि अशांत प्रवाहामध्ये काय फरक आहे?
   • उत्तर: स्तरीय प्रवाहाचे वैशिष्ट्य म्हणजे द्रवाचे गुळगुळीत, समांतर थर सुव्यवस्थित मार्गांनी वाहत असतात. याउलट, अशांत प्रवाह हा गोंधळलेला असतो, ज्यात भोवरे, आवर्त आणि जलद चढउतार असतात. अशांतता सामान्यतः उच्च वेगात किंवा अनियमित आकाराच्या वाहिन्यांमध्ये उद्भवते.
3. द्रव गतिकीमध्ये श्यानतेची संकल्पना कशी महत्त्वाची आहे?
   • उत्तर: श्यानता ही द्रवाच्या प्रवाह किंवा अपघर्षणाला होणाऱ्या प्रतिकाराचे मोजमाप करते. उच्च श्यानतेचे द्रव (जसे की मध) कमी श्यानतेच्या द्रवांपेक्षा (जसे की पाणी) प्रवाहाचा अधिक प्रतिकार करतात. द्रव गतिकीमध्ये, द्रव प्रवाहाचे स्वरूप, ऊर्जा क्षय आणि कर्षण बल निश्चित करण्यात श्यानता महत्त्वपूर्ण भूमिका बजावते.
4. बर्नोलीचे तत्व काय आहे?
   • उत्तर: बर्नोलीच्या तत्वानुसार, स्थिर प्रवाहात, प्रति एकक घनफळातील दाब ऊर्जा, गतिज ऊर्जा आणि स्थितिज ऊर्जा यांची बेरीज स्थिर राहते. विशेषतः, जिथे द्रवाचा वेग जास्त असतो, तिथे दाब कमी असतो आणि याउलट.
5. वायुगतिकीमधील उचल शक्तीचे तत्त्व द्रवगतिकीशी कसे संबंधित आहे?
   • उत्तर: विमानाच्या पंखावरील उचल शक्ती बर्नोलीचे तत्त्व आणि न्यूटनच्या तिसऱ्या नियमाचा वापर करून स्पष्ट करता येते. जेव्हा हवा पंखावरून वाहते, तेव्हा ती खालच्या भागापेक्षा वरच्या वक्र पृष्ठभागावरून अधिक वेगाने जाते, ज्यामुळे दाबात फरक निर्माण होतो. दाबातील हा फरक, पंखामुळे हवेच्या खाली होणाऱ्या विचलनासह, मिळून एक ऊर्ध्वगामी बल किंवा उचल शक्ती निर्माण करतो.
6. द्रव गतिकीमध्ये सातत्याचे समीकरण काय आहे?
   • उत्तर: सातत्य समीकरणानुसार, स्थिर प्रवाहात प्रवाहाच्या आडव्या छेदाचे क्षेत्रफळ (A) आणि त्याचा वेग (v) यांचा गुणाकार प्रवाहरेषेवर स्थिर राहतो. गणितीयदृष्ट्या, A₁​v_1​=A₂​v₂​, जेथे A_1​ आणि A₂​ क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्रफळे आहेत आणि v₁​ आणि v_2​ प्रवाहरेषेवरील दोन बिंदूंवरील वेग आहेत.
7. द्रव गतिकीमध्ये रेनॉल्ड्स नंबरची भूमिका काय असते?
   • उत्तर: रेनॉल्ड्स संख्या ही एक अविमीय राशी आहे जी द्रव गतिकीमध्ये प्रवाहाचा प्रकार (स्तरित, संक्रमणकालीन किंवा अशांत) वर्तवण्यासाठी मदत करते. तिची व्याख्या जडत्वीय बलांचे श्यानता बलांशी असलेले गुणोत्तर म्हणून केली जाते आणि ती द्रवाचा वेग, वैशिष्ट्यपूर्ण लांबी आणि द्रवाचे गुणधर्म यांसारख्या घटकांवर अवलंबून असते.
8. द्रवातून प्रवास करणाऱ्या वस्तूंवर कर्षण बल कसे कार्य करते?
   • उत्तर: रोध बल हे द्रवामधून जाणाऱ्या वस्तूच्या गतीला विरोध करते. हे द्रवाच्या चिकट प्रतिरोधामुळे आणि वस्तूभोवतीच्या दाबातील फरकामुळे निर्माण होते. रोधाचे प्रमाण आणि स्वरूप हे वस्तूचा आकार, खडबडीतपणा, वेग आणि द्रवाचे गुणधर्म यांसारख्या घटकांवर अवलंबून असते.
9. व्हेंचुरी इफेक्ट म्हणजे काय?
   • उत्तर: व्हेंचुरी परिणाम म्हणजे जेव्हा एखादा द्रव पाईपच्या अरुंद भागातून वाहतो तेव्हा त्याच्या दाबात होणारी घट होय. अरुंद भागात (वस्तुमान अक्षय्यतेच्या नियमामुळे) द्रवाचा वेग वाढल्यामुळे, बर्नोलीच्या तत्त्वानुसार त्याचा दाब कमी होतो.
10. पाईप किंवा चॅनलच्या अरुंद भागातून वाहताना द्रवाचा वेग का वाढतो?

• उत्तर: या वर्तनाचे स्पष्टीकरण वस्तुमान अक्षय्यतेच्या तत्त्वाद्वारे देता येते. स्थिर प्रवाहात, नळीच्या एका भागात प्रवेश करणाऱ्या द्रवाचे घनफळ हे त्यातून बाहेर पडणाऱ्या द्रवाच्या घनफळाएवढेच असले पाहिजे. जर नळी अरुंद असेल, तर दिलेल्या वेळेत तेवढेच घनफळ त्यातून जाण्यासाठी द्रवाला वेग वाढवावा लागतो.