टोरिसेलीचे प्रमेय – समस्या आणि उपाय

टोरिसेलीचे प्रमेय – समस्या आणि उपाय

१०० सेमी उंचीची एक नळी पाण्याने भरलेली आहे. जमिनीपासून १० सेमी उंचीवर एक छिद्र (Q) आहे. क्षैतिज अंतर (x) किती आहे?

ज्ञात :

छिद्र आणि पाण्याच्या पृष्ठभागामधील अंतर (h) = 100 सेमी – 10 सेमी = 90 सेमी = 0.9 मीटर

गुरुत्वाकर्षणामुळे प्रवेग (g) = 10 m/s²

पाहिजे: x चे अंतर

उपाय:

छिद्राजवळील पाण्याच्या प्रवाहाचा वेग

v= गती, g = गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारा प्रवेग, h = छिद्र आणि पाण्याच्या पृष्ठभागामधील अंतर

छिद्राजवळील पाण्याच्या प्रवाहाचा वेग:

हवेतील वेळ

छिद्रातून जमिनीकडे होणारी पाण्याची हालचाल म्हणजे प्रक्षेपण गतीगतीच्या क्षैतिज आणि उभ्या घटकांचे स्वतंत्रपणे विश्लेषण करून प्रक्षेप्य गती समजून घेता येते. x दिशेतील गती स्थिर वेगाने होते आणि y दिशेतील गती गुरुत्वाकर्षणाच्या स्थिर त्वरणाने होते.

या समस्येमध्ये, उभ्या गती मुक्त पतन गती म्हणून विश्लेषण केले.

समीकरणाचा वापर करून हवेतील वेळेची गणना करा मुक्त पतन गती.

ज्ञात :

छिद्राची उंची (y) = 10 सेमी = 0.1 मीटर

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²

पाहिजे आहे : वेळेचा कालावधी (t)

उपाय:

y = 1/2 gt²

0.1 = 1/2 (10) t²

0.1 = 5 टी²

t² = 0.1/5

t² = 0.02

t = √0.02 सेकंद

आडवे अंतर (x) :

ज्ञात :

प्रारंभिक वेग (v_o = वि_ox) = ३√२ मी/से

हवेतील वेळ (t)= √0.02 सेकंद

पाहिजे आहे : आडवे अंतर (x)

उपाय:

v = x / t

x = vt = (3√2)(√0.02) = (3)(1.41)(0.14) = 0.59 = 0.6 मीटर

२. एका टाकीत १ मीटर उंचीचे पाणी आहे. P बिंदूवर एक छिद्र आहे. त्या छिद्रापाशी पाण्याच्या प्रवाहाचा वेग किती आहे? गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण १० m/s² आहे.².

ज्ञात :

छिद्र आणि पाण्याच्या पृष्ठभागामधील अंतर (h) = 100 सेमी – 80 सेमी = 20 सेमी = 0.2 मीटर

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²

पाहिजे: छिद्राजवळील पाण्याच्या प्रवाहाचा वेग (v)

उपाय:

छिद्राजवळील पाण्याच्या प्रवाहाचा वेग:

3. एक मोठाई ट्यूब खालील चित्रात दाखवल्याप्रमाणे त्यात पाणी आहे आणि एक नळ आहे. जर g = 10 ms असेल तर^-2तर नळातून बाहेर पडणाऱ्या पाण्याचा वेग…

ज्ञात :

उंची (h) = ८५ सेमी – ४० सेमी = ४५ सेमी = ०.४५ मीटर

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²

पाहिजे: पाण्याचा वेग (v)

उपाय:

Tओरिसेलीच्या प्रमेयानुसार, पाण्याच्या पृष्ठभागापासून h अंतरावर असलेल्या छिद्रातून जाणाऱ्या पाण्याचा वेग हा... चा वेग मुक्तपणे पडणेING h उंचीवरून पाणी.

पाण्याच्या वेगाची गणना मुक्त पतन गतीच्या सूत्राचा वापर करून केली जाते.a v_t² = २ घ

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v_t = √9 = 3 मी/से

4. A टब पाण्याने भरलेले आहे आणि भिंतीवर एक छिद्र आहे (पहा) खालील आकृतीछिद्रातून बाहेर येणाऱ्या पाण्याचा वेग… (g = 10 ms^-2)

ज्ञात :

उंची (h) = 1.5 मी – 0.25 मी = 1.25 मीटर

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²

पाहिजे आहे : Sपाण्याचा वेग (V)

उपाय:

v_t² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v_t = √25 = 5 मी/से

5. १ मीटर उंचीपर्यंत पाणी असलेली टाकी (g = 10 ms)^-2) आणि भिंतीवर एक गळतीचे छिद्र आहे (पहा खालील आकृतीछिद्रातून बाहेर येणाऱ्या पाण्याचा वेग... आहे.

ज्ञात :

उंची (h) = 1 मी – 0.20 मी = 0.8 मीटर

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/s²²

पाहिजे आहे : Sपाण्याचा वेग (V)

उपाय:

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v_t = √16 = 4 मी/से

1. टोरिसेलीचे प्रमेय कशाचे वर्णन करते?
   • उत्तर: टोरिसेलीचा प्रमेय, स्थिर, अश्यानताहीन (श्यानता नसलेला) आणि असंपीड्य प्रवाह गृहीत धरून, छिद्रातून बाहेर वाहणाऱ्या द्रवाच्या वेगाचा संबंध छिद्रावरील द्रवाच्या स्तंभाच्या उंचीशी जोडतो.
2. टोरिसेलीचे प्रमेय गणितात कसे मांडले जाते?
   • उत्तर: प्रमेय खालीलप्रमाणे मांडले जाते v=√2gh​, जेथे $v$ प्रवाहाचा वेग आहे, $g$ गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण आहे, आणि $h$ छिद्राच्या वर असलेल्या द्रव स्तंभाची उंची आहे.
3. टोरिसेलीचे प्रमेय कोणत्या गृहितकांवर आधारित होते?
   • उत्तर: हे प्रमेय असे गृहीत धरते की द्रव असंपीड्य आणि अ-स्निग्ध आहे, प्रवाह स्थिर आहे आणि द्रवामध्ये कोणतीही अतिरिक्त ऊर्जा दिली जात नाही किंवा त्यातून घेतली जात नाही.
4. जर एका पात्राला वेगवेगळ्या खोलीवर दोन छिद्रे असतील, तर त्या छिद्रांमधून बाहेर पडणाऱ्या द्रवांच्या वेगांची तुलना कशी असेल?
   • उत्तर: तळाजवळील छिद्रातून बाहेर पडणाऱ्या द्रवाचा वेग, वरच्या छिद्रातून येणाऱ्या द्रवापेक्षा जास्त असतो. याचे कारण असे की, जास्त खोलीवर दाब (आणि त्यामुळे स्थितिज ऊर्जा) अधिक असतो.
5. प्रवाहाचा वेग पात्राच्या आकारावर किंवा आडव्या छेदाच्या क्षेत्रफळावर का अवलंबून नसतो?
   • उत्तर: टोरिसेलीचा प्रमेय केवळ छिद्राच्या वर असलेल्या द्रव स्तंभाच्या उंचीमुळे निर्माण होणाऱ्या स्थितिज ऊर्जेचा विचार करतो. पात्राच्या आकारामुळे ही उंची बदलत नाही, त्यामुळे बाहेर पडण्याचा वेग तोच राहतो.
6. वास्तविक परिस्थितीत, छिद्रातून बाहेर वाहणाऱ्या द्रवाचा प्रत्यक्ष वेग टोरिसेलीच्या प्रमेयाने केलेल्या भाकितापेक्षा कसा वेगळा असतो?
   • उत्तर: वास्तविक परिस्थितीत, द्रवाची चिकटपणा, प्रक्षोभ आणि छिद्राचा आकार यांसारखे घटक प्रत्यक्ष वेगावर परिणाम करू शकतात, ज्यामुळे तो अनेकदा टोरिसेलीच्या प्रमेयाने भाकीत केलेल्या वेगापेक्षा कमी होतो.
7. टोरिसेलीचे प्रमेय आणि उर्जेचे संवर्धन यांच्यात काय संबंध आहे?
   • उत्तर: टोरिसेलीचा प्रमेय यांत्रिक ऊर्जेच्या संवर्धनाच्या नियमावरून मिळवला आहे. तो द्रवाच्या पृष्ठभागावरील स्थितिज ऊर्जा आणि छिद्राजवळील गतिज ऊर्जा यांना समान मानतो.
8. जर द्रवाने भरलेल्या पात्राच्या अगदी वरच्या टोकाला एक छिद्र असेल, तर टॉरिसेलीचा प्रमेय बहिर्वाह गतीचे वर्णन कसे करतो?
   • उत्तर: उंची $h$ छिद्राच्या वर शून्य असेल, म्हणून टोरिसेलीच्या प्रमेयानुसार, बाहेर पडणाऱ्या प्रवाहाचा वेग शून्य असेल.
9. वातावरणीय दाबाच्या उपस्थितीचा टोरिसेलीच्या प्रमेयाच्या भाकितांवर कसा परिणाम होतो?
   • उत्तर: टोरिसेलीचे प्रमेय असे गृहीत धरते की पात्र वातावरणात उघडे आहे आणि त्यामुळे, वातावरणीय दाब द्रवाच्या पृष्ठभागावर समान रीतीने कार्य करतो. द्रवाच्या उंचीवरील दाबातील फरक विचारात घेतल्यास हा दाब रद्द होतो, म्हणून हे प्रमेय वैध राहते.
10. पात्रातील द्रव कमी झाल्यावर बाहेर पडण्याच्या गतीवर काय परिणाम होतो?

• उत्तर: द्रवाची पातळी कमी झाल्यावर, उंची $h$ छिद्राच्या वरील भाग कमी होतो. टोरिसेलीच्या प्रमेयानुसार, प्रवाहाचा वेग कमी होईल कारण v=√2gh​.

या प्रश्नोत्तरांमध्ये द्रव गतिकीमधील टोरिसेलीच्या प्रमेयाची पायाभूत तत्त्वे, परिणाम आणि उपयोजने यांचा शोध घेतला आहे.