सातत्य समीकरणाबद्दलचा लेख
नळाच्या तोंडातून बाहेर येणाऱ्या पाण्याच्या वेगाकडे लक्ष देत, पाण्याचा नळ हळूहळू उघडून बघा. आता तुलना करा, नळाचे तोंड बंद असताना पाण्याचा प्रवाह अधिक वेगवान असतो की उघडा असताना? असे का होते? हे समजून घेण्यासाठी, कृपया सातत्य समीकरणाचा अभ्यास करा.
Streamline
स्थिर प्रवाहात, एका बिंदूवर, समजा बिंदू A वर, प्रत्येक द्रव कणाचा वेग नेहमी सारखाच असतो. बिंदू B ओलांडताना, द्रव कणांचा वेग बदलू शकतो. तथापि, बिंदू B वर पोहोचल्यावर, मागून येणारे द्रव कण त्यांच्या आधीच्या द्रव कणांच्या वेगानेच वाहतात. त्याचप्रमाणे बिंदू C वर येताना आणि पुढेही असेच घडते. प्रवाह रेषा ही A, B आणि C या बिंदूंना जोडणारी एक वक्ररेषा आहे.
प्रवाह नळी
आपण द्रव प्रवाहातील प्रत्येक बिंदूतून जाणाऱ्या प्रवाहरेषांचे वर्णन करू शकतो. जर आपण स्थिर द्रव प्रवाहाची कल्पना केली, तर काल्पनिक पृष्ठभागावर एका विशिष्ट कोनातून जाणाऱ्या काही प्रवाहरेषा मिळून एक प्रवाह नलिका तयार होते. द्रवाचे कण एकमेकांना छेदत नाहीत, तर ते नेहमी समांतर असतात आणि ही प्रवाह नलिका एका पाईपसारखी दिसेल, जिचा आकार तसाच राहतो. नलिकेच्या एका टोकातून आत येणारा द्रव दुसऱ्या टोकातून बाहेर येतो.
[irp]
डेबिट
विसर्ग म्हणजे एका विशिष्ट कालावधीत, एका विशिष्ट छेदामधून वाहणाऱ्या द्रवाचे घनफळ. गणितानुसार, ते असे मांडता येते:
विसर्जन = द्रवाचे प्रमाण / कालावधी
Q = V / t
तुमची समज वाढवण्यासाठी, आपण एक उदाहरण वापरूया. उदाहरणार्थ, एका पाईपमधून द्रव वाहतो. पाईप सामान्यतः दंडगोलाकार असतात आणि त्यांचे एक विशिष्ट आडवे क्षेत्रफळ असते. पाईपला एक लांबीसुद्धा असते.
जेव्हा द्रव पाईपमधून L अंतरापर्यंत वाहतो, तेव्हा पाईपमधील द्रवाचे घनफळ V = AL असते (V = द्रवाचे घनफळ, A = आडछेद क्षेत्रफळ आणि L = पाईपची लांबी). कारण जोपर्यंत द्रव पाईपमधून L लांबीपर्यंत वाहतो, तोपर्यंत त्याला ठराविक कालावधी लागतो, म्हणून आपण असे म्हणू शकतो की द्रवाचे प्रमाण हे आहे:
कारण v = s / t = L / t —> L = vt, म्हणून वरील समीकरण बदलून असे होते:
अशाप्रकारे, जेव्हा विशिष्ट छेद क्षेत्रफळ आणि लांबी असलेल्या पाईपमधून विशिष्ट कालावधीसाठी द्रव वाहतो, तेव्हा द्रव प्रवाहाचे प्रमाण (Q) हे छेद क्षेत्रफळ (A) आणि द्रव प्रवाह वेग (v) यांच्या गुणाकाराच्या समान असते.
सातत्य समीकरण
खालील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे, वेगवेगळा व्यास असलेल्या पाईपमधील द्रव प्रवाहाचे पुनरावलोकन करा.
या प्रतिमेत डावीकडून उजवीकडे होणारा द्रवाचा प्रवाह दाखवला आहे (द्रव मोठ्या व्यासाच्या पाईपमधून लहान व्यासाच्या पाईपमध्ये वाहतो). तुटक रेषा सुव्यवस्थित आहे.
A 1 = मोठ्या व्यासाच्या पाईपचे आडवे क्षेत्रफळ, A 2 = लहान व्यासाच्या पाईपचे आडवे क्षेत्रफळ, v 1 = मोठ्या व्यासाच्या पाईपमधील द्रव प्रवाहाचा वेग, v 2 = लहान व्यासाच्या पाईपमधील द्रव प्रवाहाचा वेग, L = द्रवाने कापलेले अंतर.
स्थिर प्रवाहात, एका बिंदूवरील द्रव कणांच्या प्रवाहाचा वेग हा त्या बिंदूतून जाणाऱ्या इतर द्रव कणांच्या प्रवाहाच्या वेगाइतका असतो. तसेच, द्रव प्रवाह एकमेकांना छेदत नाही (रेषा समांतर असतात). त्यामुळे, नळीच्या एका टोकातून आत येणाऱ्या द्रवाचे वस्तुमान हे दुसऱ्या टोकातून बाहेर पडणाऱ्या द्रवाच्या वस्तुमानाइतकेच असले पाहिजे. जर मोठ्या व्यासाच्या नळीमध्ये येणाऱ्या द्रवाचे वस्तुमान विशिष्ट असेल, तर तोच द्रव लहान व्यासाच्या नळीतून बाहेर पडतानाही त्याच वस्तुमानासह बाहेर पडेल.
आता वरील पाईपच्या आकृतीचा विचार करा. मोठ्या व्यासाच्या पाईपचे आणि लहान व्यासाच्या पाईपचे पुनरावलोकन करा.
एका विशिष्ट कालावधीत, काही द्रव मोठ्या व्यासाच्या पाईपच्या भागातून (A 1 ) L 1 पर्यंत वाहतात (L 1 = v 1 t). वाहणाऱ्या द्रवाचे घनफळ V 1 = A 1 L 1 = A 1 v 1 t आहे. त्याच कालावधीत, काही इतर द्रव लहान व्यासाच्या पाईपच्या भागातून (A 2 ) L 2 पर्यंत वाहतात (L 2 = v 2 t). वाहणाऱ्या द्रवाचे घनफळ V 2 = A 2 L 2 = A 2 v 2 t आहे.
[irp]
असंपीड्य द्रवांसाठी सातत्य समीकरण
असंपीड्य द्रवांमध्ये, द्रवाची घनता तो जात असलेल्या प्रत्येक बिंदूवर नेहमी सारखीच असते. A1 छेद क्षेत्रफळ (मोठा पाईप व्यास) असलेल्या पाईपमधून एका विशिष्ट कालावधीत वाहणाऱ्या द्रवाचे वस्तुमान आहे:
त्याचप्रमाणे, A² छेद क्षेत्रफळ (लहान पाईपचा व्यास) असलेल्या पाईपमधून एका विशिष्ट कालावधीत वाहणाऱ्या द्रवाचे वस्तुमान खालीलप्रमाणे आहे:
स्थिर प्रवाहात, आत येणाऱ्या द्रवाचे वस्तुमान आणि बाहेर जाणाऱ्या द्रवाचे वस्तुमान समान असते, म्हणून:
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
A 1 v 1 = A 2 v 2
तर, असंपीड्य द्रवांमधील सातत्य समीकरण :
A 1 v 1 = A 2 v 2 — समीकरण १
A 1 = छेद क्षेत्रफळ 1, A 2 = छेद क्षेत्रफळ 2, v 1 = विभाग 1 मधील द्रव प्रवाहाचा वेग, v 2 = विभाग 2 मधील द्रव प्रवाहाचा वेग, A v = प्रवाहाचा दर (V / t) = विसर्ग.
समीकरण १ दर्शवते की पाईप किंवा प्रवाह नलिकेतील प्रत्येक बिंदूवर विसर्ग नेहमी सारखाच असतो. जेव्हा पाईपचा आडवा छेद कमी होतो, तेव्हा द्रव प्रवाहाचा दर वाढतो, तर जेव्हा पाईपचा आडवा छेद मोठा होतो, तेव्हा द्रव प्रवाहाचा दर कमी होतो.
[irp]
जेव्हा नळाच्या तोंडाचा काही भाग बंद असतो, तेव्हा पाण्याचा प्रवाह, नळाच्या तोंडाचा काही भाग बंद नसतानाच्या तुलनेत अधिक जड होतो. याचे कारण असे की, नळाच्या तोंडाचा काही भाग बंद केल्यावर नळाचे आडवे क्षेत्रफळ कमी होते, ज्यामुळे पाण्याच्या प्रवाहाचा वेग वाढतो. परंतु हे जाणून घेणे महत्त्वाचे आहे की, आपल्या नळाच्या तोंडाचा काही भाग बंद असो वा नसो, पाण्याच्या प्रवाहाच्या मार्गावरील प्रत्येक बिंदूवर द्रवाचा प्रवाह दर किंवा विसर्ग नेहमी सारखाच असतो. मग द्रवाच्या प्रवाह दरात बदल कशामुळे होतो?
मग नदीतील पाण्याच्या प्रवाहाबद्दल काय? नदीच्या उथळ भागापेक्षा खोल भागाचा आडवा छेद मोठा असतो, त्यामुळे खोल नदीतील पाण्याच्या प्रवाहाचा दर हा नदीच्या उथळ भागातील पाण्याच्या प्रवाहाच्या वेगापेक्षा कमी असतो.
संपीड्य द्रवांसाठी सातत्य समीकरण
संपीडित द्रवाची घनता नेहमी सारखी नसते. दुसऱ्या शब्दांत सांगायचे झाल्यास, संपीडित केल्यावर द्रवाची घनता बदलते. जर द्रव संपीडित केला नाही, तर द्रवाची घनता समीकरणातून वगळली जाते, म्हणून या प्रकरणात द्रवाची घनता समीकरणात समाविष्ट केली जाते. पूर्वी मिळवलेल्या समीकरणाचा संदर्भ घेऊन, आपण संपीडित द्रवासाठी समीकरण मिळवूया.
आत येणाऱ्या द्रवाचे वस्तुमान हे बाहेर जाणाऱ्या द्रवाच्या वस्तुमानाइतकेच असते, म्हणून :
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
द्रव प्रवाहाचा कालावधी समान असल्याने तो वगळता येतो. समीकरणे बदलून अशी होतात:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → समीकरण 2
हे संकुचित द्रवाचे समीकरण आहे. फरक द्रवाच्या घनतेमध्ये आहे. जर द्रव संकुचित केला, तर घनता बदलते. याउलट, जर द्रव संकुचित केला नाही, तर घनता नेहमी सारखीच राहते, त्यामुळे ते समीकरणातून वगळले जाऊ शकते.
उदाहरण समस्या १:
१० सेमी व्यासाच्या पाईपमधून पाणी २ मी/से वेगाने वाहते. पाण्याचा विसर्ग किती आहे?
ज्ञात :
पाईपचा व्यास = १० सेमी
पाईपची त्रिज्या (r) = 5 सेमी = 0.05 मीटर
पाण्याचा वेग (v) = 2 मी/से
डेबिट पाहिजे आहे
उपाय:
Q = A v
Q = ( π r 2 ) (2 m/s)
Q = (3.14)(0.05 मी) 2 (2 मी/से)
Q = (3.14)(0.0025 m 2 )(2 m/s)
Q = 0.0157 m 3 /s
[irp]
उदाहरण समस्या १:
20 सेमी व्यासाचा एक पाईप 10 सेमी व्यासाच्या दुसऱ्या पाईपला जोडलेला आहे. जर 20 सेमी व्यासाच्या पाईपमधील पाण्याचा वेग 4 मी/से असेल, तर 10 सेमी व्यासाच्या पाईपमधील पाण्याचा वेग किती असेल?
ज्ञात :
व्यास 1 = 20 सेमी (r 1 = 10 सेमी = 0.1 मीटर)
v 1 = 4 m/s
व्यास २ = १० सेमी (रुंदी २ = ५ सेमी = ०.०५ मीटर)
पाहिजे आहे : v 1
उत्तर :
प्रश्न १ = प्रश्न २
A 1 v 1 = A 2 v 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0.1 मी) 2 (4 मी/से) = (0.05 मी) 2 (v 2 )
(0.01 m 2 )(4 m/s) = (0.0025 m 2 )(v 2 )
(0.04 m 3 /s) = (0.0025 m 2 )(v 2 )
v 2 = 16 m/s
[irp]
