Тригонометрийн харьцааны нэг төрлийн жишээ асуултууд ба хэлэлцүүлэг: tan θ
Тригонометр бол гурвалжингийн өнцөг ба талуудын уртын хоорондын хамаарлыг судалдаг математикийн салбар юм. Тригонометрийн харьцааны талаар байнга хэлэлцдэг нэг зүйл бол тангенс (tan) юм. Энэ нийтлэлд бид tan харьцааг янз бүрийн төрлийн бодлогод ашиглахад анхаарлаа хандуулж, tan θ-тэй холбоотой хэд хэдэн жишээг авч үзэх болно.
Тан θ-ийн тодорхойлолт
θ өнцгийн тангенсийг тэгш өнцөгт гурвалжны эсрэг талын уртын зэргэлдээ талын урттай харьцуулсан харьцаагаар тодорхойлно. Математикийн хувьд үүнийг дараах байдлаар бичнэ:
\[ \tan θ = \frac{\text{эсрэг тал}}{\text{зэргэлдээ тал}} \]
Нэгжийн тойрогт tan-г төвөөс нэг нэгжийн зайд орших тойрог дээрх цэгийн y координат (урд тал) ба x координат (хажуу тал)-ын харьцаа гэж тайлбарлаж болно.
Математик ба физикийн судлалын бор шаргал өнгөний функц
Тригонометр, ялангуяа борлох функцийг математик болон физикийн янз бүрийн хэрэглээнд ашигладаг. Жишээлбэл, сонгодог физикт борлох функцийг сумны хөдөлгөөний шинжилгээнд ашигладаг бөгөөд инженерчлэлд гадаргуугийн налуу өнцөг эсвэл градиентийг тооцоолоход ашигладаг.
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
tan θ-г илүү гүнзгий ойлгохын тулд зарим жишээ асуултууд болон тэдгээрийн хэлэлцүүлгийг энд оруулав.
Асуулт 1: Тэгш өнцөгт гурвалжны tan θ-г тооцоолох
Өгөгдсөн: Тэгш өнцөгт гурвалжны θ өнцгийн эсрэг талын урт нь 4 см, θ өнцгийн хажуу талын урт нь 3 см байна. Тан θ-ийн утгыг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Бор гэдэг үгийн тодорхойлолтыг ашиглана уу:
\[ \tan θ = \frac{\text{урд тал}}{\text{хажуу тал}} \]
Мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулна уу:
\[ \tan θ = \frac{4}{3} \]
Тиймээс tan θ-ийн утга нь \( \frac{4}{3} \) байна.
Асуулт 2: Тан θ ашиглан талын уртыг тодорхойлох
Өгөгдсөн: θ өнцөгтэй тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд tan θ = 0.75 гэж мэдэгдэж байна. θ өнцөгтэй зэргэлдээ талын урт нь 8 см. θ өнцгийн эсрэг талын уртыг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Эсрэг талын уртыг олохын тулд tan-ийн тодорхойлолтыг ашиглана уу:
\[ \tan θ = \frac{\text{урд тал}}{\text{хажуу тал}} \]
\[ 0.75 = \frac{\text{урд тал}}{8} \]
Тэгшитгэлийг бодохын тулд хоёр талыг 8-аар үржүүлнэ үү.
\[ \текст{урд тал} = 0.75 \8-г үржүүлсэн \]
\[ \текст{урд тал} = 6 см \]
Тэгэхээр урд талын урт нь 6 см байна.
Асуулт 3: Хэрэв tan θ мэдэгдэж байвал θ өнцгийг тооцоолох
Өгөгдсөн: Тэгш өнцөгт гурвалжин нь tan θ = 1 гэж мэдэгдэж байна. θ өнцгийг нэрлэнэ үү.
Хэлэлцүүлэг:
Эсрэг тал болон зэргэлдээ тал нь тэнцүү урттай үед өнцгийн бор өнгө нь 1-тэй тэнцүү байна. Үндсэн тригонометрийн хувьд энэ нь 45° өнцгөөр явагддаг.
Тиймээс θ-ийн утга нь 45° байна.
Асуулт 4: Алгебрийн бодлогод Тан θ-г ашиглах нь
Өгөгдсөн: 15 метрийн өндөртэй шонгийн оройноос сууриас 20 метрийн зайд байрлах газар дээрх цэг хүртэл олс уясан. tan θ-г тооцоол, энд θ нь олс ба шонгийн үүсгэсэн өнцөг юм.
Хэлэлцүүлэг:
Бор гэдэг үгийн тодорхойлолтыг ашиглана уу:
\[ \tan θ = \frac{\text{урд тал (туйлын өндөр)}}{\text{хажуу тал (хэвтээ зай)}} \]
\[ \tan θ = \frac{15}{20} \]
Бутархайг хялбаршуулна уу:
\[ \tan θ = \frac{3}{4} \]
Тиймээс tan θ-ийн утга нь \( \frac{3}{4} \) байна.
Асуулт 5: Алсын зай болон налуу өнцгөөс өндрийг тодорхойлох
Өгөгдсөн: Ажиглагч өндөр барилгаас 100 метрийн зайд зогсож байна. Ажиглагчийн байрлалаас барилгын орой хүртэлх ажиглалтын tan θ нь \(\tan 30^\circ\) байна. Барилгын өндрийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
\(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) гэдэг нь мэдэгдэж байна.
\[ \tan θ = \frac{\text{урд тал (барилгын өндөр)}}{\text{хажуу тал (зай)}} \]
Мэдэгдэж буй утгуудыг тэгшитгэлд оруулна уу
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{барилгын өндөр}}{100} \]
Өндөрийг ялгахын тулд хоёр талыг 100-аар үржүүлнэ.
\[ \text{барилгын өндөр} = \frac{100}{\sqrt{3}} \]
\[ \text{барилгын өндөр} = \frac{100 \times \sqrt{3}}{3} \]
\[ \text{барилгын өндөр} ≈ 57.73 \text{ метр} \]
Тэгэхээр барилгын өндөр нь ойролцоогоор 57.73 метр юм.
Асуулт 6: Өндөр ба зайнаас өнцгийг тодорхойлох
Өгөгдсөн: Та цамхагийн өндөр 50 метр, ажиглалтын цэгээс цамхагийн ёроол хүртэлх хэвтээ зай 70 метр гэдгийг мэднэ. Цамхагийн орой хүртэлх өндрийн өнцгийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
\[ \tan θ = \frac{\text{tower height}}{\text{horizontal distance}} \]
\[ \tan θ = \frac{50}{70} \]
\[ \tan θ = \frac{5}{7} \]
θ-г олохын тулд бид урвуу тангенс функц (tan⁻¹) эсвэл арктаныг ашиглана.
\[ θ = \tan⁻¹ (\frac{5}{7}) \]
Тооцоолуур эсвэл тригонометрийн хүснэгт ашиглан бид θ-ийн утгыг олж чадна.
\[ θ ≈ 35.54° \]
Тиймээс цамхагийн орой хүртэлх өндрийн өнцөг нь ойролцоогоор 35.54° байна.
Дүгнэлт
Тригонометр бол шинжлэх ухааны олон салбарт хүчирхэг хэрэгсэл юм. Жишээлбэл, тангенс нь өнцөг ба хажуугийн урттай холбоотой бодлогуудыг бодоход ашигладаг энгийн боловч хүчирхэг харьцаа юм. Үүний тодорхойлолт болон хэрхэн ашиглахыг ойлгосноор бид геометр болон физикийн олон төрлийн бодлогуудыг бодож чадна. Дээрх жишээ шиг бодлогуудыг дадлагажуулснаар бид өдөр тутмын тооцоололд tan θ-г ашиглахад илүү чадварлаг болж чадна.
