Дугуй нумын талаарх хэлэлцүүлгийн асуултын жишээ
Геометрт тойрог гэдэг нь судлах олон сонирхолтой ойлголттой хавтгай дүрс бөгөөд тэдгээрийн нэг нь нум юм. Нум гэдэг нь тойргийн хоёр цэгийн хооронд орших тойргийн ирмэгийн хэсэг юм. Энэ нийтлэлд бид нумтай холбоотой янз бүрийн жишээ бодлого болон тэдгээрийн шийдлүүдийг судлах болно.
Дугуй нумын үндсэн ойлголт
Жишээ асуултууд руу шилжихээсээ өмнө эхлээд зарим үндсэн ойлголтуудыг ойлгох нь чухал юм.
1. Тойрог:
Тойрог гэдэг нь өгөгдсөн төв цэгээс ижил зайд орших хавтгай дээрх бүх цэгүүдийн цуглуулга юм.
2. Радиус (Хуруу):
Радиус гэдэг нь тойргийн төвөөс тойргийн ирмэг дээрх аль ч цэг хүртэлх зай юм.
3. Диаметр:
Диаметр гэдэг нь тойргийн ирмэг дээрх нэг цэгээс төвөөр дамжин эсрэг талын нөгөө цэг хүртэлх хамгийн урт зай юм. Диаметр нь радиусын хоёр дахин их байна.
4. Нум:
Нум нь тойргийн ирмэгийн нэг хэсэг юм. Хэрэв А ба В цэгүүд тойргийн ирмэг дээр оршдог бол AB нум нь А ба В цэгүүдийн хоорондох тойргийн хэсэг юм.
Тойргийн нумтай холбоотой томъёонууд
Нумын уртыг хэмжихийн тулд бид хэд хэдэн томъёог ойлгох хэрэгтэй:
1. Нуман урт (У):
Дугуй нумын урт нь нумыг багтаасан тойргийн ирмэгийн урт юм. Томъёо нь:
\[
L = r \times \theta
\]
энд \(r \) нь тойргийн радиус ба \(\theta \) нь нумтай огтлолцдог төвийн өнцөгийг радианаар илэрхийлнэ.
2. Нумын урт (градусаар):
Хэрэв төвийн өнцөг градусаар илэрхийлэгдсэн бол бид дараах томъёог ашиглана.
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r
\]
энд \( \theta \) нь төвийн өнцөг (градусаар) байна.
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Асуулт 1: Нумын уртыг тооцоолох
Пертаняан:
Тойрог нь 10 см радиустай. 60 градусын төвийн өнцгөөр тасарсан нумын уртыг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
– Тойргийн радиус (\( r \)) = 10 см
– Төвийн өнцөг (\( \theta \)) = 60°
Нумын уртын томъёог градусаар ашиглана уу:
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r
\]
\[
L = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2 \pi \times 10 \text{ cm}
\]
\[
L = \frac{1}{6} \times 2 \pi \times 10 \text{ cm}
\]
\[
L = \frac{20\pi}{6} \text{cm}
\]
\[
L \ойролцоогоор 10.47 \текст{ см}
\]
Тэгэхээр нумын урт нь ойролцоогоор 10.47 см байна.
Асуулт 2: Нумын уртаас төвийн өнцгийг тодорхойлох
Пертаняан:
14 см радиустай тойрог өгөгдсөн бөгөөд түүний нумын урт нь 22 см байна. Нумтай огтлолцсон төв өнцгийг градусаар тодорхойлно уу.
Хэлэлцүүлэг:
– Тойргийн радиус (\( r \)) = 14 см
– Нумын урт (\( L \)) = 22 см
Нумын уртын томъёог ашиглан \( \theta \)-г олоорой:
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r
\]
Мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулна уу:
\[
22 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi \times 14
\]
Тусгаарлалт \( \theta \):
\[
22 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 28 \pi
\]
\[
22 \times 360^\circ = \theta \times 28 \pi
\]
\[
7920 = \theta \удаа 28 \pi
\]
\[
\theta = \frac{7920}{28 \pi}
\]
\[
\theta \approx 90.72^\circ
\]
Тиймээс төвийн өнцгийн хэмжээ нь ойролцоогоор 90.72 градус байна.
Асуулт 3: Салбарын талбайг тооцоолох
Пертаняан:
Тойргийн сектор нь 7 см радиустай 120 градусын төв өнцгөөр үүсдэг. Секторын талбайг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
– Тойргийн радиус (\( r \)) = 7 см
– Төвийн өнцөг (\( \theta \)) = 120°
Салбарын талбайн томъёог ашиглана уу:
\[
A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2
\]
Мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулна уу:
\[
A = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 7^2
\]
\[
A = \frac{1}{3} \times \pi \times 49
\]
\[
A = \frac{49\pi}{3}
\]
\[
А ойролцоогоор 51.43 см^2
\]
Тиймээс салбарын талбай ойролцоогоор 51.43 см² байна.
Асуулт 4: Секторын талбайгаас нумыг тодорхойлох
Пертаняан:
6 см радиустай тойргийн салбарын талбай нь 18π см² байна. Секторын нумын урт хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
– Тойргийн радиус (\( r \)) = 6 см
– Секторын талбай (\( A \)) = 18π см²
Секторын талбайн томъёог ашиглан төвийн өнцгийг олно уу \( \theta \):
\[
A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2
\]
Мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулна уу:
\[
18\pi = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times 6^2
\]
\[
18\pi = \frac{\theta}{360^\circ} \удаа 36\pi
\]
\[
18 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 36
\]
\[
18 \times 360^\circ = \theta \times 36
\]
\[
6480 = \theta \удаа 36
\]
\[
\theta = \frac{6480}{36}
\]
\[
\theta = 180^\circ
\]
Одоо 180 градусын төвийн өнцөгтэй бол бид нумын уртыг тодорхойлно:
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r
\]
\[
L = \frac{180^\circ}{360^\circ} \times 2 \pi \times 6
\]
\[
L = \frac{1}{2} \times 2 \pi \times 6
\]
\[
L = \pi \times 6
\]
\[
L \ойролцоогоор 18.85 \текст{ см}
\]
Тэгэхээр нумын урт нь ойролцоогоор 18.85 см юм.
Дүгнэлт
Тойрог нум болон тэдгээрийг хэрхэн тооцоолохыг ойлгох нь геометр болон ерөнхийдөө математикийн чухал үндэс суурь юм. Энэ нийтлэлд авч үзсэн жишээнүүдээр дамжуулан уншигчид нумын урт, секторын талбайг хэрхэн тооцоолох, нумтай огтлолцдог төвийн өнцгийг хэрхэн тодорхойлох талаар илүү сайн ойлголттой болно гэж найдаж байна. Эдгээр үндсэн ойлголтуудыг сайн ойлгох нь тойрогтой холбоотой янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд маш их тустай байх болно.
