Kedudukan Dua Lingkaran: Sebuah Analisis Geometris
Dalam matematika, khususnya dalam bidang geometri, pemahaman mengenai kedudukan dua lingkaran memegang peranan penting. Lingkaran adalah salah satu bentuk geometri dasar yang sering dijumpai baik dalam teori maupun penerapan praktis. Kedudukan dua lingkaran memberikan wawasan mengenai interaksi dua bentuk ini ketika ditempatkan dalam satu bidang. Studi ini mencakup analisis berbagai kemungkinan interaksi yang dapat terjadi, mulai dari tidak bersinggungan hingga beririsan. Artikel ini akan mengulas secara lengkap mengenai kedudukan dua lingkaran dan berbagai aspek terkait.
Definisi dan Notasi
Pertama, mari kita definisikan dua lingkaran secara formal dalam bidang kartesian. Lingkaran \(C_1\) dengan pusat \(P_1(x_1, y_1)\) dan jari-jari \(r_1\) dapat dinyatakan dengan persamaan:
\[
C_1 : (x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r_1^2
\]
Demikian pula, lingkaran \(C_2\) dengan pusat \(P_2(x_2, y_2)\) dan jari-jari \(r_2\) dinyatakan dengan:
\[
C_2 : (x – x_2)^2 + (y – y_2)^2 = r_2^2
\]
Kedudukan dua lingkaran ini sangat bergantung pada jarak antara pusat kedua lingkaran tersebut (\(d\)) dan panjang jari-jari mereka. Jarak \(d\) antara dua pusat lingkaran \(P_1\) dan \(P_2\) dapat dihitung dengan rumus:
\[
d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
\]
Kategori Kedudukan Dua Lingkaran
Secara umum, terdapat lima kedudukan yang mungkin dialami oleh dua lingkaran tersebut:
1. Kebetulan (Dua Lingkaran Berimpit)
2. Tidak Beririsan (Saling Lepas)
3. Bersentuhan Luar (Tangent External)
4. Bersentuhan Dalam (Tangent Internal)
5. Beririsan (Intersecting)
Setiap kategori ini memiliki kondisi geometris tersendiri, yang akan kita bahas secara detail di bawah ini.
1. Kebetulan (Dua Lingkaran Berimpit)
Dua lingkaran dianggap kebetulan atau berimpit jika keduanya memiliki pusat yang sama dan jari-jari yang sama pula. Secara matematis, ini berarti:
\[
P_1 \equiv P_2 \quad \text{dan} \quad r_1 = r_2
\]
Dalam hal ini, \(d = 0\). Kedua lingkaran secara keseluruhan sama, dan setiap titik pada satu lingkaran adalah titik pada lingkaran lainnya.
2. Tidak Beririsan (Saling Lepas)
Dua lingkaran dikatakan tidak beririsan dalam dua kondisi:
– Kondisi Pertama: Ketika jarak antara pusat kedua lingkaran (d) lebih besar daripada jumlah panjang jari-jari keduanya:
\[
d > r_1 + r_2
\]
– Kondisi Kedua: Ketika satu lingkaran berada di dalam lingkaran lainnya tanpa menyentuh sama sekali. Ini terjadi jika:
\[
d < |r_1 - r_2|
\]
Pada kedua kondisi tersebut, tidak ada titik yang sama antara lingkaran \(C_1\) dan \(C_2\).
3. Bersentuhan Luar (Tangent External)
Dua lingkaran bersentuhan luar apabila mereka menyentuh di satu titik dan berada di sisi luar satu sama lain. Ini terjadi jika jarak antara pusat kedua lingkaran sama dengan jumlah jari-jari keduanya:
