Contoh Soal Pembahasan Perbandingan Trigonometri
Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sisi-sisi dan sudut-sudut dalam suatu segitiga. Salah satu aspek penting dalam trigonometri adalah memahami perbandingan trigonometri, yang mencakup sinus (sin), kosinus (cos), dan tangen (tan). Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal perbandingan trigonometri beserta pembahasannya secara detail untuk memudahkan pemahaman konsep-konsep dasar trigonometri.
Contoh Soal 1: Menghitung Nilai Sin, Cos, dan Tan
Soal:
Seorang siswa diminta untuk mencari nilai sin, cos, dan tan dari sudut \( \theta \) dalam segitiga siku-siku, jika panjang sisi depan (depan sudut \(\theta\)) adalah 3 cm, panjang sisi samping (alas) adalah 4 cm, dan panjang sisi miring (hipotenusa) adalah 5 cm.
Pembahasan:
Langkah pertama adalah mengidentifikasi masing-masing sisi yang relevan terhadap sudut yang diberikan. Seperti diketahui, pada segitiga siku-siku yang memiliki panjang sisi-sisi berbentuk tripel Pythagoras klasik (3, 4, 5), kita dapat langsung memakai rumus dasar trigonometri.
– Sinus (sin) adalah perbandingan antara panjang sisi depan dan hipotenusa.
\[
\sin(\theta) = \frac{\text{sisi depan}}{\text{hipotenusa}} = \frac{3}{5}
\]
– Kosinus (cos) adalah perbandingan antara panjang sisi samping dan hipotenusa.
\[
\cos(\theta) = \frac{\text{sisi samping}}{\text{hipotenusa}} = \frac{4}{5}
\]
– Tangen (tan) adalah perbandingan antara panjang sisi depan dan sisi samping.
\[
\tan(\theta) = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{3}{4}
\]
Dengan demikian, nilai-nilai dari perbandingan trigonometri untuk sudut \(\theta\) adalah:
\[
\sin(\theta) = \frac{3}{5}, \quad \cos(\theta) = \frac{4}{5}, \quad \tan(\theta) = \frac{3}{4}
\]
Contoh Soal 2: Mencari Sisi Segitiga Menggunakan Perbandingan Trigonometri
Soal:
Diketahui sebuah segitiga siku-siku dengan sudut \( \alpha = 30^\circ \). Jika panjang sisi depan dari sudut \( \alpha \) adalah 4 cm, tentukan panjang sisi lainnya.
Pembahasan:
Dengan menggunakan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut \( 30^\circ \):
– \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)
\[
\sin(30^\circ) = \frac{\text{sisi depan}}{\text{hipotenusa}} = \frac{4}{\text{hipotenusa}}
\]
\[
\text{Hipotenusa} = \frac{4}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8 \text{ cm}
\]
– \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\[
\cos(30^\circ) = \frac{\text{sisi samping}}{\text{hipotenusa}} = \frac{\text{sisi samping}}{8}
\]
\[
\text{Sisi samping} = 8 \cos(30^\circ) = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ cm}
\]
Dengan demikian, panjang sisi lainnya adalah \(4\sqrt{3}\) cm dan hipotenusa adalah 8 cm.
Contoh Soal 3: Menggunakan Trigonometri di Koordinat Kartesius
Soal:
Tentukan nilai sin, cos, dan tan untuk titik \( P(3, 4) \) di koordinat Kartesius jika titik tersebut membentuk sudut \(\theta\) dengan sumbu x positif di kuadran I.
Pembahasan:
Pertama, menghitung jarak titik \(P(3, 4)\) dari titik asal (O), yaitu hipotenusa dari segitiga yang terbentuk.
– Hipotenusa (\(r\)) dapat dihitung dengan menggunakan teorema Pythagoras:
\[
r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Kemudian, trigonometri titik P dapat dihitung sebagai berikut:
– Sinus (sin) adalah perbandingan antara ordinat (y) dengan hipotenusa (r):
\[
\sin(\theta) = \frac{y}{r} = \frac{4}{5}
\]
– Kosinus (cos) adalah perbandingan antara absis (x) dengan hipotenusa (r):
\[
\cos(\theta) = \frac{x}{r} = \frac{3}{5}
\]
– Tangen (tan) adalah perbandingan antara ordinat (y) dengan absis (x):
\[
\tan(\theta) = \frac{y}{x} = \frac{4}{3}
\]
Dengan demikian, nilai-nilai trigonometri untuk titik P adalah:
\[
\sin(\theta) = \frac{4}{5}, \quad \cos(\theta) = \frac{3}{5}, \quad \tan(\theta) = \frac{4}{3}
\]
Contoh Soal 4: Menggunakan Identitas Trigonometri
Soal:
Jika \( \sin(\theta) = \frac{3}{5} \), tentukan nilai \( \cos(\theta) \) menggunakan identitas trigonometri \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \).
Pembahasan:
Kita mulai dengan identitas trigonometri dasar:
\[
\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1
\]
Diketahui \( \sin(\theta) = \frac{3}{5} \), maka:
\[
\sin^2(\theta) = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}
\]
\[
\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1
\]
\[
\frac{9}{25} + \cos^2(\theta) = 1
\]
\[
\cos^2(\theta) = 1 – \frac{9}{25} = \frac{25}{25} – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
\]
\[
\cos(\theta) = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}
\]
Nilai \( \cos(\theta) \) bisa bernilai positif atau negatif tergantung pada kuadran tempat sudut \(\theta\) berada. Tetapi untuk masalah ini tanpa kejelasan kuadran eksplisit, kita gunakan \(\cos(\theta) = \frac{4}{5}\) untuk kuadran I atau \( -\frac{4}{5}\) untuk kuadran II, III, atau IV.
Kesimpulan
Memahami perbandingan trigonometri sangat penting dalam menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan sudut dan panjang dalam segitiga. Dengan berlatih menjawab soal-soal seperti di atas, kemampuan menghitung dan memahami hubungan antara sisi dan sudut dalam segitiga dapat meningkat. Trigonometri tidak hanya diterapkan dalam matematika murni tetapi juga dalam berbagai bidang ilmu seperti fisika, teknik, dan astronomi. Selamat berlatih!
