Contoh Soal dan Pembahasan Fungsi Distribusi Normal
Distribusi normal, juga dikenal sebagai distribusi Gaussian, adalah salah satu distribusi probabilitas yang paling fundamental dalam dunia statistik dan analisis data. Distribusi ini dicirikan oleh kurva lonceng yang simetris di sekitar mean (rata-rata), dengan penyebaran data yang mencerminkan standar deviasi (simpangan baku) dari nilai yang ada di sekitarnya. Distribusi normal menjadi dasar banyak konsep dalam statistik inferensial, serta banyak digunakan dalam berbagai bidang termasuk ekonomi, psikologi, dan ilmu sosial.
Pada artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal dan penyelesaiannya untuk lebih memahami fungsi distribusi normal.
Konsep Dasar Distribusi Normal
Distribusi normal digambarkan oleh dua parameter utama:
1. Mean (μ) : Rata-rata data set.
2. Standar Deviasi (σ) : Mengukur seberapa tersebar data di sekitar mean.
Fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi normal adalah:
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \]
Berikut adalah beberapa langkah dasar dalam menyelesaikan soal dengan menggunakan distribusi normal:
1. Menentukan nilai Z : Nilai Z adalah ukuran seberapa jauh sebuah data berada dari mean dalam satuan standar deviasi dan dihitung dengan formula:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
2. Menggunakan tabel Z : Tabel Z atau tabel standar distribusi normal digunakan untuk menemukan probabilitas atau persentase data yang ada di bawah atau di atas nilai Z tertentu.
Contoh Soal dan Pembahasan Distribusi Normal
Soal 1
Sebuah kelas memiliki nilai rata-rata ujian matematika sebesar 70 dengan standar deviasi 10. Jika nilai ujian distribusi normal, berapakah persentase siswa yang mendapatkan nilai lebih dari 85?
Pembahasan:
1. Menentukan Z-score : Pertama, hitung nilai Z untuk X = 85.
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} = \frac{85 – 70}{10} = 1.5 \]
2. Melihat Tabel Z : Kita mencari nilai probabilitas untuk Z = 1.5 dari tabel Z. Nilai probabilitas untuk Z = 1.5 adalah 0.9332. Ini berarti 93.32% nilai ada di bawah Z = 1.5.
3. Menghitung Persentase: Karena kita butuh persentase siswa yang mendapatkan nilai lebih dari 85, kita hitung 1 – 0.9332 = 0.0668.
Jadi, 6.68% siswa mendapatkan nilai lebih dari 85.
Soal 2
Tinggi badan pria dewasa di suatu negara mengikuti distribusi normal dengan mean 175 cm dan standar deviasi 6 cm. Tentukan persentase pria yang memiliki tinggi badan antara 170 cm dan 180 cm.
Pembahasan:
1. Menentukan Z-score untuk 170 cm :
\[ Z_{170} = \frac{170 – 175}{6} = – \frac{5}{6} \approx -0.83 \]
2. Menentukan Z-score untuk 180 cm :
\[ Z_{180} = \frac{180 – 175}{6} \approx 0.83 \]
3. Melihat Tabel Z :
– Probabilitas untuk Z = -0.83 adalah 0.2033.
– Probabilitas untuk Z = 0.83 adalah 0.7967.
4. Menghitung Persentase :
– Probabilitas tinggi badan antara 170 cm dan 180 cm adalah 0.7967 – 0.2033 = 0.5934.
– Jadi, 59.34% pria memiliki tinggi badan antara 170 cm dan 180 cm.
Soal 3
Sebuah tes IQ menggunakan distribusi normal dengan mean 100 dan standar deviasi 15. Berapa skor yang termasuk dalam persentil ke 85?
Pembahasan:
1. Mencari nilai Z untuk persentil ke-85 : Dari tabel Z atau dengan menggunakan calculator, persentil ke-85 sesuai dengan Z = 1.04.
2. Menghitung skor IQ :
\[ X = Z\sigma + \mu \]
\[ X = 1.04 \times 15 + 100 \]
\[ X = 15.6 + 100 \]
\[ X = 115.6 \]
Jadi, skor IQ yang termasuk dalam persentil ke-85 adalah sekitar 115.6.
Soal 4
Jika diketahui bahwa nilai rata-rata hasil tes kognitif siswa SMA adalah 65 dengan standar deviasi 12, berapakah nilai yang berada di persentil ke-25?
Pembahasan:
1. Mencari nilai Z untuk persentil ke-25 : Dari tabel Z atau menggunakan kalkulator, Z untuk persentil ke-25 adalah sekitar -0.674.
2. Menghitung skor tes :
\[ X = Z\sigma + \mu \]
\[ X = -0.674 \times 12 + 65 \]
\[ X = -8.088 + 65 \]
\[ X \approx 56.912 \]
Jadi, nilai yang berada di persentil ke-25 adalah sekitar 56.912.
Kesimpulan
Distribusi normal adalah konsep vital dalam statistik yang memungkinkan kita untuk menganalisis dan memahami data dari sudut pandang probabilitas. Dengan pendekatan distribusi normal, kita bisa menghitung persentase, menentukan nilai tertentu berdasarkan persentil, dan membandingkan data terhadap rata-rata.
Menyelesaikan soal distribusi normal tidak hanya berguna untuk ujian dan riset akademis, tetapi juga memiliki aplikasi praktis dalam banyak bidang kehidupan nyata seperti psikologi, bisnis, dan ilmu sosial. Melalui contoh-contoh soal dan pembahasan di atas, diharapkan Anda dapat lebih memahami fungsi distribusi normal dan cara menerapkannya dalam berbagai konteks.
