Contoh Soal dan Pembahasan Titik Ekstrim: Nilai Balik Minimum dan Nilai Balik Maksimum
Menentukan titik ekstrim, yaitu titik-titik di mana fungsi mencapai nilai minimum atau maksimum, adalah konsep inti dalam kalkulus dan analisis matematika. Dalam artikel ini, kita akan mendalami cara mencari dan menganalisis titik ekstrim melalui beberapa contoh soal yang melibatkan nilai balik minimum dan maksimum.
Definisi dan Teorema Subjek
Sebelum membahas contoh soal, kita perlu memahami beberapa konsep dan teorema dasar:
1. Titik Kritik (Critical Point): Adalah nilai dari \( x \) di mana turunan pertama \( f'(x) \) dari fungsi \( f(x) \) adalah nol atau tidak ada.
2. Nilai Balik Maksimum: Adalah nilai \( f(x) \) yang lebih besar daripada nilai \( f(x) \) di sekitar titik tersebut.
3. Nilai Balik Minimum: Adalah nilai \( f(x) \) yang lebih kecil daripada nilai \( f(x) \) di sekitar titik tersebut.
4. Teorema Fermat: Jika \( f \) memiliki nilai ekstrem lokal di \( c \) dan turunan \( f'(c) \) ada, maka \( f'(c) = 0 \).
Contoh Soal 1: Fungsi Kuadrat
Pertama, kita mulai dengan fungsi kuadrat sederhana:
\[ f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \]
Langkah-langkah:
1. Temukan turunan pertama \( f'(x) \):
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 – 4x + 1) = 4x – 4
\]
2. Temukan titik kritik dengan menyelesaikan \( f'(x) = 0 \):
\[
4x – 4 = 0 \implies x = 1
\]
3. Tentukan nilai dari fungsi pada titik kritik:
\[
f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 = -1
\]
4. Gunakan turunan kedua untuk menentukan sifat titik tersebut:
\[
f”(x) = \frac{d}{dx}(4x – 4) = 4
\]
Karena \( f”(1) > 0 \), titik \( x = 1 \) adalah titik minimum lokal.
Contoh Soal 2: Fungsi Polinomial
Sekarang kita coba dengan fungsi polinomial yang lebih kompleks:
\[ g(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \]
Langkah-langkah:
1. Tentukan turunan pertama \( g'(x) \):
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2) = 3x^2 – 6x
\]
2. Temukan titik kritik dengan menyelesaikan \( g'(x) = 0 \):
\[
3x^2 – 6x = 0 \implies 3x(x – 2) = 0 \implies x = 0 \text{ atau } x = 2
\]
3. Tentukan nilai dari fungsi pada titik kritik:
\[
g(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2
\]
\[
g(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 2 = -2
\]
4. Gunakan turunan kedua untuk menentukan sifat titik tersebut:
\[
g”(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 – 6x) = 6x – 6
\]
\[
g”(0) = 6(0) – 6 = -6 \quad (\text{nilai maksimum lokal})
\]
\[
g”(2) = 6(2) – 6 = 6 \quad (\text{nilai minimum lokal})
\]
Jadi, \( g(x) \) memiliki nilai maksimum lokal di \( x = 0 \) dan nilai minimum lokal di \( x = 2 \).
Contoh Soal 3: Fungsi Transenden
Mari kita lihat fungsi yang melibatkan eksponensial:
\[ h(x) = xe^{-x} \]
Langkah-langkah:
1. Tentukan turunan pertama \( h'(x) \):
\[
h'(x) = \frac{d}{dx}(xe^{-x}) = e^{-x} – xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}
\]
2. Temukan titik kritik dengan menyelesaikan \( h'(x) = 0 \):
\[
(1 – x)e^{-x} = 0 \implies 1 – x = 0 \implies x = 1
\]
3. Tentukan nilai dari fungsi pada titik kritik:
\[
h(1) = 1e^{-1} = \frac{1}{e}
\]
4. Gunakan turunan kedua untuk menentukan sifat titik tersebut:
\[
h”(x) = \frac{d}{dx}((1 – x)e^{-x}) = -e^{-x} – (1 – x)e^{-x} = (x – 2)e^{-x}
\]
\[
h”(1) = (1 – 2)e^{-1} = -\frac{1}{e}
\]
Karena \( h”(1) < 0 \), titik \( x = 1 \) adalah titik maksimum lokal.
Contoh Soal 4: Fungsi Rasional
Terakhir, kita evaluasi fungsi rasional:
\[ k(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1} \]
