Contoh Soal Pembahasan Pembagian Polinomial
Pembagian polinomial adalah salah satu topik penting dalam matematika, khususnya dalam aljabar. Polinomial sering digunakan dalam berbagai bidang ilmu seperti fisika, ekonomi, dan teknik untuk memodelkan fenomena yang kompleks. Melalui pembagian polinomial, kita dapat menyederhanakan masalah menjadi lebih mudah dipahami. Artikel ini akan membahas metode pembagian polinomial, lengkap dengan contoh soal dan pembahasannya.
1. Metode Pembagian Panjang
Metode pertama yang kita bahas adalah pembagian panjang, yang mirip dengan pembagian panjang pada bilangan. Ini adalah metode yang sistematis dan rinci, sehingga sangat membantu dalam memahami dasar pembagian polinomial.
Contoh Soal:
Bagilah \( 2x^3 + 3x^2 – 5x + 7 \) dengan \( x + 1 \).
Langkah-langkah:
1. Tuliskan polinom yang akan dibagi (dividend) dan polinomial pembagi (divisor).
Dividend: \( 2x^3 + 3x^2 – 5x + 7 \)
Divisor: \( x + 1 \)
2. Bagilah suku pertama dividend dengan suku pertama divisor.
Bagilah \( 2x^3 \) dengan \( x \) untuk mendapatkan \( 2x^2 \).
3. Kalikan divisor dengan hasil bagi.
\( (x + 1) \times 2x^2 = 2x^3 + 2x^2 \)
4. Kurangkan hasil perkalian dari dividend.
\( (2x^3 + 3x^2 – 5x + 7) – (2x^3 + 2x^2) = x^2 – 5x + 7 \)
5. Ulangi langkah 2 sampai 4 dengan hasil pengurangan sebagai dividend yang baru.
– \( x^2 ÷ x = x \)
– \( (x + 1) \times x = x^2 + x \)
– \( (x^2 – 5x + 7) – (x^2 + x) = -6x + 7 \)
6. Lanjutkan proses:
– \( -6x ÷ x = -6 \)
– \( (x + 1) \times -6 = -6x – 6 \)
– \( (-6x + 7) – (-6x – 6) = 13 \)
Hasil akhir adalah:
\[ 2x^2 + x – 6, \text{ dengan sisa } 13 \]
Jadi, \( \frac{2x^3 + 3x^2 – 5x + 7}{x + 1} = 2x^2 + x – 6 + \frac{13}{x+1} \).
2. Metode Pembagian Sintetis
Metode kedua adalah pembagian sintetis, yang lebih cepat dan efisien daripada pembagian panjang, tapi hanya berlaku untuk pembagian dengan polinom yang berbentuk \( x – k \).
Contoh Soal:
Bagilah \( 2x^3 + 3x^2 – 5x + 7 \) dengan \( x – 1 \).
Langkah-langkah:
1. Substitusi invers koefisien pembagi.
Karena pembagi adalah \( x – 1 \), inversnya adalah \( 1 \).
2. Catat koefisien polinom yang akan dibagi.
\( [2, 3, -5, 7] \)
3. Lakukan sintesis:
– Turunkan koefisien pertama: \( 2 \)
– Kalikan invers pembagi \( 1 \) dengan nilai yang baru, dan tambahkan ke koefisien berikutnya.
– \[ 2 \]
– \( 2 \times 1 = 2 \)
– \( 3 + 2 = 5 \)
– \[ 2, 5 \]
– \( 5 \times 1 = 5 \)
– \(-5 + 5 = 0 \)
– \[ 2, 5, 0 \]
– \( 0 \times 1 = 0 \)
– \( 7 + 0 = 7 \)
– \[ 2, 5, 0, 7 \]
Hasil akhir adalah:
\[ 2x^2 + 5x + 0, \text{ dengan sisa } 7 \]
Jadi, \( \frac{2x^3 + 3x^2 – 5x + 7}{x – 1} = 2x^2 + 5x + \frac{7}{x-1} \).
3. Pembagian dengan Polinomial yang Lebih Tinggi
Pembagian polinomial juga berlaku untuk pembagi yang lebih kompleks.
Contoh Soal:
Bagilah \( x^4 – 3x^3 + 2x^2 – x + 5 \) dengan \( x^2 – x + 1 \).
Langkah-langkah:
1. Tuliskan dividend dan divisor.
Dividend: \( x^4 – 3x^3 + 2x^2 – x + 5 \)
Divisor: \( x^2 – x + 1 \)
2. Bagilah suku pertama dividend dengan suku pertama divisor.
\( x^4 ÷ x^2 = x^2 \)
3. Kalikan divisor dengan hasil bagi.
\( (x^2 – x + 1) \times x^2 = x^4 – x^3 + x^2 \)
4. Kurangkan hasil kali dari dividend.
\( (x^4 – 3x^3 + 2x^2 – x + 5) – (x^4 – x^3 + x^2) = -2x^3 + x^2 – x + 5 \)
5. Ulangi langkah 2 sampai 4.
– \( -2x^3 ÷ x^2 = -2x \)
– \( (x^2 – x + 1) \times -2x = -2x^3 + 2x^2 – 2x \)
– \( (-2x^3 + x^2 – x + 5) – (-2x^3 + 2x^2 – 2x) = -x^2 + x + 5 \)
6. Lanjutkan proses:
– \( -x^2 ÷ x^2 = -1 \)
– \( (x^2 – x + 1) \times -1 = -x^2 + x – 1 \)
– \( (-x^2 + x + 5) – (-x^2 + x – 1) = 6 \)
Hasil akhir adalah:
\[ x^2 – 2x – 1, \text{ dengan sisa } 6 \]
Jadi, \( \frac{x^4 – 3x^3 + 2x^2 – x + 5}{x^2 – x + 1} = x^2 – 2x – 1 + \frac{6}{x^2 – x + 1} \).
Kesimpulan
Pembagian polinomial adalah keterampilan penting yang harus dikuasai oleh siswa dan mahasiswa yang mempelajari aljabar. Dua metode utama—pembagian panjang dan pembagian sintetis—menawarkan pendekatan yang berbeda, masing-masing dengan kelebihan dan kekurangannya. Sementara metode pembagian panjang cocok untuk pembagi yang lebih kompleks, metode pembagian sintetis memberikan cara yang lebih cepat dan efisien untuk pembagian oleh polinomial bentuk \( x – k \). Dengan latihan yang cukup, memahami konsep dan teknik ini dapat diterapkan dalam berbagai masalah matematika yang lebih lanjut.
