Contoh soal dan pembahasan Sifat-Sifat Turunan Fungsi
Turunan fungsi adalah konsep fundamental dalam kalkulus yang sangat bermanfaat untuk menganalisis perilaku fungsi-fungsi tertentu. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal dan pembahasan mengenai sifat-sifat turunan fungsi.
Pengenalan Turunan Fungsi
Turunan fungsi \( f \) dinyatakan sebagai \( f'(x) \). Turunan pertama dari fungsi memberikan laju perubahan fungsi terhadap variabel independennya. Istilah lain yang sering digunakan adalah diferensial. Jika \( y = f(x) \), maka turunan \( f \) terhadap \( x \) adalah:
\[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \]
Sifat-sifat Turunan Fungsi
Beberapa sifat penting dari turunan fungsi adalah:
1. Linearitas : Jika \( f(x) \) dan \( g(x) \) masing-masing adalah fungsi yang dapat diturunkan, dan \( c \) adalah konstanta, maka:
\[
\frac{d}{dx} [cf(x) + g(x)] = c f'(x) + g'(x)
\]
2. Aturan Rantai : Untuk fungsi komposit \( g(f(x)) \):
\[
\frac{d}{dx} g(f(x)) = g'(f(x)) \cdot f'(x)
\]
3. Produk : Untuk fungsi \( u(x) \) dan \( v(x) \):
\[
\frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
\]
4. Quotient : Untuk fungsi \( u(x) \) dan \( v(x) \) dimana \( v(x) \neq 0 \):
\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{(v(x))^2}
\]
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh 1: Menentukan Turunan Fungsi Sederhana
Misalkan \( f(x) = 3x^2 + 5x – 4 \). Tentukan turunan dari fungsi tersebut.
Penyelesaian:
Kita akan menggunakan aturan diferensiasi dasar.
\[
f(x) = 3x^2 + 5x – 4
\]
Turunan pertama:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^2) + \frac{d}{dx} (5x) – \frac{d}{dx} (4)
\]
Menghitung masing-masing turunan:
\[
\frac{d}{dx} (3x^2) = 6x
\]
\[
\frac{d}{dx} (5x) = 5
\]
\[
\frac{d}{dx} (4) = 0
\]
Sehingga:
\[
f'(x) = 6x + 5
\]
Contoh 2: Menggunakan Aturan Rantai
Diberikan fungsi \( y = (2x^3 – x^2 + 1)^5 \). Tentukan turunan fungsi tersebut.
Penyelesaian:
Gunakan aturan rantai. Misalkan \( u = 2x^3 – x^2 + 1 \), maka fungsi bisa ditulis ulang sebagai \( y = u^5 \).
Pertama, cari turunan dari \( y \) terhadap \( u \):
\[
\frac{dy}{du} = 5u^4
\]
Selanjutnya, cari turunan dari \( u \) terhadap \( x \):
\[
u = 2x^3 – x^2 + 1
\]
\[
\frac{du}{dx} = 6x^2 – 2x
\]
Gabungkan dua turunan dengan aturan rantai:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot (6x^2 – 2x)
\]
Substitusikan kembali \( u = 2x^3 – x^2 + 1 \):
\[
\frac{dy}{dx} = 5(2x^3 – x^2 + 1)^4 \cdot (6x^2 – 2x)
\]
Contoh 3: Penggunaan Aturan Produk
Diberikan \( f(x) = x^2 e^x \). Tentukan turunan fungsi tersebut.
Penyelesaian:
Gunakan aturan produk, yaitu jika \( u(x) = x^2 \) dan \( v(x) = e^x \), maka:
\[
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]
Pertama, hitung turunan dari \( u(x) \) dan \( v(x) \):
\[
u(x) = x^2 \implies u'(x) = 2x
\]
\[
v(x) = e^x \implies v'(x) = e^x
\]
Dengan menerapkan aturan produk:
\[
f'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x (2x + x^2)
\]
Contoh 4: Penggunaan Aturan Quotient
Diberikan \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 2} \). Tentukan turunan fungsi tersebut.
Penyelesaian:
Gunakan aturan quotient, yaitu jika \( u(x) = x^2 + 1 \) dan \( v(x) = x + 2 \), maka:
\[
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
\]
Pertama, hitung turunan dari \( u(x) \) dan \( v(x) \):
\[
u(x) = x^2 + 1 \implies u'(x) = 2x
\]
\[
v(x) = x + 2 \implies v'(x) = 1
\]
Dengan menerapkan aturan quotient:
\[
f'(x) = \frac{2x(x + 2) – (x^2 + 1)(1)}{(x + 2)^2}
\]
\[
f'(x) = \frac{2x^2 + 4x – x^2 – 1}{(x + 2)^2}
\]
\[
f'(x) = \frac{x^2 + 4x – 1}{(x + 2)^2}
\]
Kesimpulan
Dalam kalkulus, memahami konsep dasar turunan dan sifat-sifatnya adalah sangat penting untuk menyelesaikan berbagai masalah matematis. Artikel ini merangkum beberapa cara untuk turunan fungsi dengan menunjukkan penggunaan aturan dasar seperti linearitas, rantai, produk, dan quotient melalui beberapa contoh soal dan pembahasan terperinci. Dengan memahami dan sering berlatih soal-soal turunan, kita dapat lebih mahir dalam menganalisis perubahan fungsi dalam berbagai konteks.
